数系的扩充和复数的概念学习教案

1、数系的扩充和复数数系的扩充和复数(fsh)的概念的概念第一页，共24页。数集扩充数集扩充(kuchng)(kuchng)到实数到实数集集正正整整数数自自然然数数整整数数零零有有理理数数负负整整数数实实数数分分无无理理数数数数 小小数数 正数与负数，有理数与无理数，都是具有正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的实际意义的量量”，称之为，称之为“实数实数”，构成实数系统，构成实数系统. . 实数系统是一个实数系统是一个(y )(y )没有缝隙的连续系统没有缝隙的连续系统. .NZQR第1页/共24页第二页，共24页。21x 探究点探究点2 2 复数复数(fsh)(fsh)的概念的概念平方

2、平方(pngfng)(pngfng)等于等于-1-1的数用符号的数用符号i i来表示。来表示。（2 2）可以和实数一起进行的四则运算）可以和实数一起进行的四则运算(yn (yn sun), sun), 原有的加法乘法运算原有的加法乘法运算(yn (yn sun)sun)律仍成立律仍成立（1）12i的的 引引 入入i第2页/共24页第三页，共24页。把把实实数数a a与与新新引引入入的的数数i i相相加加, ,结结果果记记作作; ;把把实实数数b b与与i i相相乘乘, ,结结果果记记作作; ;把把实实数数a a与与实实数数b b和和i i相相乘乘的的结结果果相相加加, ,结结果果记记作作a a

3、+ +i ib bi ia a+ +b bi i. .a+1ia+1i0+bi0+bia+ia+i可可以以看看作作是是, ,bibi可可以以看看作作是是, ,a a可可以以看看作作是是, ,i i可可以以看看作作a+0ia+0i0 0是是 +1i+1i. .第3页/共24页第四页，共24页。这这样样的的数数都都可可以以看看作作是是(a,b(a,bR)R)的的特特殊殊形形式式, ,所所以以实实数数系系经经过过扩扩充充后后得得到到的的新新数数集集a+bia+biC =a+bi|aC =a+bi|a应应该该是是,b,bR R . .虚数单位 iz),(RbRaab实部实部虚虚部部复数复数(fsh)(

4、fsh)的概的概念念定义：把形如定义：把形如a+bia+bi的数叫做的数叫做(jiozu)(jiozu)复数复数（a,b a,b 是实数）是实数）复数复数(fsh)(fsh)全体组成的集合叫复数全体组成的集合叫复数(fsh)(fsh)集，集，记作：记作：C C复数的代数形式复数的代数形式第4页/共24页第五页，共24页。最最后后还还要要指指出出的的是是, ,一一般般地地说说, ,两两个个复复数数只只能能说说相相等等或或不不相相等等, ,而而不不能能比比较较大大小小. .例例如如1+i1+i与与2+3i2+3i不不能能比比总总结结提提升升较较大大小小. .在在复复数数集集C = a+bi|a,b

5、C = a+bi|a,bR R 中中任任取取两两个个数数a,b,c,da,b,c,dR ,R ,我我们们规规定定: :a+bia+bi与与c+dic+di相相等等的的充充 a a要要条条件件是是+bi,c+di+bi,c+dia = ca = c且且b = db = d. .第5页/共24页第六页，共24页。思思考考复复数数集集C C和和实实数数集集R R之之间间有有什什么么关关系系? ?0,0;ab当且仅当时 它是实数0,.0ab当且时 叫做纯虚数,;0b 当时 叫做虚数i,0;bba对于复数当且仅当时 它是实数第6页/共24页第七页，共24页。复数集复数集实数集实数集虚数集虚数集纯虚数集纯

6、虚数集,RC,RC.显然 实数集 是复数集 的真子集 即 zabi:这样，复数可以分类如下0 ,00.实数复数虚数当时为纯虚数bzba,.复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系可用图 示表示第7页/共24页第八页，共24页。1；实实数数m m取取什什么么值值时时, ,复复数数z= m+1+ m -1 iz= m+1+ m -1 i是是（1 1）实实数数（2 2） 虚虚数数（3 3）例例纯纯虚虚数数. .（1 1） 当当m -1= 0,m -1= 0, 即即m =1m =1时时, ,复复数数解解z z是是实实数数; ;（2 2）当当m -1m -10,0, 即即m m1 1时时, ,复复数数

7、z z是是虚虚数数; ;（3 3）当当m+1= 0,m+1= 0,且且m -1m -10,0, 即即m = -1m = -1时时, ,复复数数z z是是纯纯虚虚数数. .第8页/共24页第九页，共24页。xy0Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示表示(biosh)(biosh)复数的平面复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴abz=a+bi这是复数的一种几何这是复数的一种几何(j h)(j h)意义意义. .探究探究(tnji)(tnji)点点3 3 复数的几复数的几何表示何表示第9页/共24页第十页，共24页。复数复数(fsh)z=a+(fs

8、h)z=a+bibi有序实数有序实数(shsh)(shsh)对对(a,b)(a,b)复平面内的点复平面内的点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究探究(tnji)(tnji)点点3 3 复数的几何复数的几何表示表示第10页/共24页第十一页，共24页。(A)(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)(B)在复平面内，对应于纯虚数在复平面内，对应于纯虚数(xsh)(xsh)的点都在虚轴上；的点都在虚轴上；(C)(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，实轴上的点所对应的

9、复数都是实数；(D)(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数(xsh).(xsh).下列下列(xili)(xili)命题中的假命题是（命题中的假命题是（ ）D D【即时【即时(jsh)(jsh)训练】训练】第11页/共24页第十二页，共24页。总结提升总结提升 一般一般(ybn)(ybn)地，实轴上的点，虚轴上的点，各象地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？限内的点分别表示什么样的数？ 实轴上的点表示实数实轴上的点表示实数(shsh)(shsh)， 虚轴上的点除原点外虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，都表示纯虚数， 各象

10、限内的点表示实各象限内的点表示实部不为零的虚数部不为零的虚数. .第12页/共24页第十三页，共24页。xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi复复数数z z = = a a + + b bi i的的向向量量O OZ Z的的模模r r叫叫做做, ,记记作作 z z 或或 a ai i模模+ + b b. . 2222易易知知 z =a +bz =a +b这是复数的又一种几何这是复数的又一种几何(j h)(j h)意义意义. .探究点探究点4 4 复数的模的几何复数的模的几何(j h)(j h)意义意义: :第13页/共24页第十四页，共24页。复数的模其实复数的模其实(qsh)(qsh)

11、是实数绝对值概念的推广是实数绝对值概念的推广xOz= =a+ +biy| |z|=|=r=| |OZ| |探究点探究点4 4 复数的模的几何复数的模的几何(j h)(j h)意义意义: : 复数复数 z=a+bi z=a+bi的模的模 r r 就是就是(jish)(jish)复数复数 z=a+bi z=a+bi在复在复平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)Z(a,b)到原点的距离到原点的距离. .Z(a,b)22ab第14页/共24页第十五页，共24页。复数复数(fsh)z=a+b(fsh)z=a+bi i有序实数有序实数(shsh)(shsh)对对(a,b)(a,b)复平面内的点复平面内的

12、点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应 平平面面向向量量OZOZ探究探究(tnji)(tnji)点点4 4 复数的向量表复数的向量表示示一一对应一一对应第15页/共24页第十六页，共24页。第16页/共24页第十七页，共24页。例例4 4 已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)iz=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平在复平面内所对应的点位于第二面内所对应的点位于第二(d r)(d r)象限，求实象限，求实数数m m的取值范围的取值范围. . 020622mmmm解：由解：由 1223mmm或或得

13、得m( 3, 2)(1,2) 所以第17页/共24页第十八页，共24页。若复数若复数(fsh)z(x,y)(fsh)z(x,y)对应点集为圆对应点集为圆: : Ry,x,)y()x( )y,x( 13122试求试求zz的最大值与最小值的最大值与最小值. .xyoo121131变式训练(xnlin)1：第18页/共24页第十九页，共24页。变式训练变式训练2 2：已知复数：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)iz=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内在复平面内所对应所对应(duyng)(duyng)的点在直线的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m

14、m的值。的值。 解：因为解：因为(yn wi)(yn wi)复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)iz=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平在复平面内所对应的点是（面内所对应的点是（m2+m-6m2+m-6，m2+m-2m2+m-2） 所以所以(suy)(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0(suy)(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 所以所以m=1m=1或或m=-2m=-2表示复数的点所在象表示复数的点所在象限的问题限的问题复数的实部与虚部所满足的复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思

15、想一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想第19页/共24页第二十页，共24页。1.a=01.a=0是复数是复数(fsh)a+bi(a,bR(fsh)a+bi(a,bR）为纯虚数的（）为纯虚数的（ ）A.A.必要条件必要条件 B. B.充分条件充分条件C.C.充要条件充要条件 D. D.非必要非充分条件非必要非充分条件A A2 2“a=0”“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)a+bi (a , bR)所对应的点所对应的点在虚轴上在虚轴上”的（的（ ）A.A.必要不充分必要不充分(chngfn)(chngfn)条件条件 B. B.充分充分(chngfn)(chngfn)不必不必

16、要条件要条件C.C.充要条件充要条件 D. D.不充分不充分(chngfn)(chngfn)不必要条件不必要条件C C第20页/共24页第二十一页，共24页。3.3.以以3i-23i-2的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i2+3i3i2+3i的实部为虚部的实部为虚部 的复数的复数(fsh)(fsh)是（是（ ）A.-2+3i B.3-3iA.-2+3i B.3-3iC.-3+3i D.3+3iC.-3+3i D.3+3iB B4.4.我们已知我们已知i i是是1 1的一个的一个(y )(y )平方根，即方程平方根，即方程x2=x2=1 1的一的一个根，那么方程个根，那么方程x2=x2=1 1的

17、另一个的另一个(y )(y )根是根是_. _. i i第21页/共24页第二十二页，共24页。5.(1)5.(1)下列下列n n的取值中，使的取值中，使in =1(iin =1(i是虚数单位是虚数单位(dnwi)(dnwi)）的的是（是（ ）A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5(2)(2)复数复数z=i+i2+i3+i4z=i+i2+i3+i4的值是（的值是（ ）A.-A.- B.0 C.1 B.0 C.1 .i.iC CB B(4)(4)由此来推测由此来推测 的值有什么规律，并把这的值有什么规律，并把这个个(zh ge)(zh ge)规律用式子表示出来规律用式子表示出来)(Nnin(3)i2+i3