复变函数与积分变换第四章级数

1、天才？请你看看我的臂肘吧。 印度数学家拉玛努扬第四章第四章 解析函数的级数表示法解析函数的级数表示法 本章介绍复变函数级数的概念本章介绍复变函数级数的概念, ,重点重点是是taylor级数、级数、laurent级数及其展开级数及其展开. .1 1 复数序列复数序列2 2 复数项级数复数项级数4.14.1 复数项级数复数项级数3 3 复变函数项级数复变函数项级数4 4 幂级数幂级数5 5 幂级数的运算性质幂级数的运算性质4.1.1 4.1.1 复数序列复数序列称称 为复数列为复数列, 简称简称 (1,2,3,)nnnaibn 为数列为数列, 记为记为 .n 定义定义4.1设设 是数列，是数列，

2、是常数是常数. n aib 如果如果 e e 0, 存在正整数存在正整数n, 使得当使得当nn 时时, 不等式不等式 n e e 成立成立, 则称当则称当n时时, 收敛于收敛于 na, 或称或称 是是 的极限的极限, 记作记作 n lim,nn 或或 .nn 复数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系.lim,limbbaannnn 定理定理4.1 limnn 的充分必要条件是的充分必要条件是 该结论说明该结论说明: : 判别复数列的敛散性可转化为判别判别复数列的敛散性可转化为判别两两个实数列的敛散性个实数列的敛散性. .4.1.2 4.1.2 复数项级数复数项级数 nnn 21

3、1为复数项级数为复数项级数. .称称nnkkns 211为该级数的前为该级数的前 n 项项部分和部分和.设设 是复数列是复数列, 则称则称 nnnaib 级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念定义定义4.2如果级数如果级数 nnn 211的部分和数列的部分和数列 收敛于复数收敛于复数 s, 则称则称级数收敛级数收敛, ns这时称这时称s为为级数的和级数的和, 并记做并记做 1.nns 如果如果 不收敛，则称不收敛，则称级数发散级数发散. ns复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系定理定理4.2 级数级数 收敛的充要收敛的充要11()nnnnnaib 条件是条件是 都

4、收敛都收敛, 并且并且 11, nnnnab111.nnnnnnaib 说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题解解 因为级数因为级数2111 nnnbn 收敛收敛, 所以原复数项级数发散所以原复数项级数发散. 练习练习 级数级数 是否收敛是否收敛?111ninn 111nnnan 发散发散, 而级数而级数级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件lim0.nn 推论推论4.1如果级数如果级数 收敛收敛, 则则 1nn 重要结论重要结论: : 发散发散. .1lim0nnnn 于是在判别级数的敛散性时于是在判别级数的敛散性时, 可先考察可先考

5、察lim0.nn ?非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数. .定义定义4.3设设 是复数项级数是复数项级数, 如果正项如果正项1nn 级数级数 收敛收敛, 则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质定理定理4.3若级数若级数 绝对收敛绝对收敛, 则它收敛则它收敛, 1nn 并且并且11.nnnn 补充补充 因为因为 所以所以22,nnnnnabab 221111.nnnnkkkkkkkkkabab 综上可得综上可得: :因此因此, 如果如果 和和 都绝对收敛时都绝对收敛时, 也也 1nna 1nnb 1nn 绝

6、对收敛绝对收敛. 1nn 绝对收敛绝对收敛 和和 都绝对收敛都绝对收敛. 1nna 1nnb 都收敛都收敛, 故原级数收敛故原级数收敛. 但是级数但是级数条件收敛条件收敛, 所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的是条件收敛的.解解 因为因为例例4.1 4.1 级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛? ? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn 1. 复变函数项级数的定义复变函数项级数的定义(2) 称称 为区域为区域 g 内内 )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 称称 为区域为区域 g 内的内的复变函数序列复变函数序列。,2,1

7、)( nnzf定义定义 设复变函数设复变函数 在区域在区域 g 内有定义，内有定义，)(zfn的的复变函数项级数复变函数项级数，简记为简记为. )( zfn4.1.3 4.1.3 复变函数项级数复变函数项级数2. 复变函数项级数收敛的定义复变函数项级数收敛的定义(1) 称称 为级数为级数 的的部分和部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定义定义 设设 为区域为区域 g 内的内的复变函数项级数复变函数项级数， )(zfn称级数称级数 在在 点收敛点收敛。 )(zfnz0则称级数则称级数 在区域在区域 d 内收敛内收敛。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在区域如果

8、存在区域 d g ， 有有 ,dz 此时，称此时，称)(zs, )()(lim00zszsnn (2) 如果对如果对 g 内的某一点内的某一点 ，有，有z0则则为为和函数和函数，d 为为收敛域收敛域。4.1.3 4.1.3 复变函数项级数复变函数项级数1 1 幂级数的概念幂级数的概念2 2 幂级数的敛散性幂级数的敛散性3 3 幂级数的性质幂级数的性质4.1.4 4.1.4 幂幂 级级 数数(1) 下面主要是对下面主要是对 型幂级数进行讨论，所得到的结论型幂级数进行讨论，所得到的结论( () )注注1. 幂级数的概念幂级数的概念其中，其中， 为复常数。为复常数。aan,定义定义 称由下式给出的复

9、变函数项级数为称由下式给出的复变函数项级数为幂级数幂级数：,)()()(22100 azaazaaazannn( ( i i ) )特别地，当特别地，当 时有时有0 a.22100 zazaazannn( () )只需将只需将 换成换成 即可应用到即可应用到 型幂级数。型幂级数。( ( i i ) )(az z(2) 对于对于 型幂级数，在型幂级数，在 点肯定收敛。点肯定收敛。0 z( () )定理定理4.6 (abel定理定理)若级数若级数 在在 0nnnc z 10z 处收敛，则当处收敛，则当 时时, 级数级数 绝对收敛绝对收敛; 0nnnc z 1zz 若级数若级数 在在 处发散，则当处

10、发散，则当 时时, 级数级数 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 发散发散. 2. 幂级数的敛散性幂级数的敛散性(1) 对所有的复数对所有的复数z都收敛都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .由由 , 幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:0nnnc z (2) 除除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, 级数在复平面内除级数在复平面内除z=0外处处发散外处处发散. (3)存在一点存在一点z10,使级数收敛使级数收敛(此时此时,根据根据阿贝尔定理知阿贝尔定理知,它必在圆周它必在圆周|z|=|z1|内部绝对收内部绝对收敛敛),

11、 另外又存在一点另外又存在一点z2,使级数发散使级数发散.(肯定肯定|z2|z1|);根据阿贝尔定理的推论知根据阿贝尔定理的推论知,它它必在圆周必在圆周|z|=|z2|外部发散外部发散.)如下图如下图xyo1z.2z.r收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径收敛圆周收敛圆周 在这种情况下在这种情况下,可以证明可以证明,存在一个有限正存在一个有限正数数r,使得级数在圆周使得级数在圆周|z|=r内部绝对收敛内部绝对收敛,在圆周在圆周|z|=r外部发散外部发散.幂级数幂级数的收敛的收敛范围是范围是以原点以原点为中心为中心的圆域的圆域动画演示动画演示 幂级数幂级数00()nnnczz 的收敛范围是的收敛范围是因

12、此，因此，事实上事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别分别, 0, . r规定为规定为论比较复杂论比较复杂, 没有一般的结论没有一般的结论, 要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.例如例如, 级数级数: 0200nnnnnnnznzz1, 1 zr收敛圆周收敛圆周均为均为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处

13、收敛在收敛圆周上处处收敛.解解2111(1).1nnnzszzzzz 1 z1lim1nnsz 级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.绝对收敛绝对收敛, 且有且有在在 内内, 级数级数1z 0nnz例例4.24.2 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径所以收敛半径1,r 11.1nnzz 收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法( (一一) )(3) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 .1 r0 1lim,nnncc ;r (1) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 0 0;r (2) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 定理定理

14、4.7 (比值法比值法)设级数设级数 如果如果0.nnnc z 则则收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法( (二二) )(3) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 .1 r0 lim,nnnc ;r (1) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 0 0;r (2) 当当 时时, 收敛半径收敛半径 定理定理4.8 (根值法根值法)设级数设级数 如果如果0.nnnc z 则则例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。 02nnnz由由解解221)1(lim|lim nnaannnn,1 收敛圆为收敛圆为.1| z收敛半径为收敛半径为,1 r例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛

15、半径与收敛圆。 0!nnnz由由解解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收敛圆为收敛圆为.| z收敛半径为收敛半径为, r得得得得例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。 0)1(112)(nnnzn收敛圆为收敛圆为.1| 1|e z故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为,1e r由于由于解解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 1limlim1.1pnnnncncn 练习练习 求幂级数求幂级数 1npnnz的收敛半径的收敛半径, 其中其中p为正整数为正整数. .解解 因为因为 所以所以1npcn ，于是收敛半径

16、于是收敛半径11.r 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令令则在则在 内有内有rz | 00)(nnnkknkzba1. 幂级数的四则运算性质幂级数的四则运算性质p68 4.1.5 4.1.5 幂级数的运算性质幂级数的运算性质2. 幂级数的分析性质幂级数的分析性质即即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分，即即)(zf(1) 函数函数在收敛圆在收敛圆 内内解析解析。rzz |0设设性质性质,|,)()(000rzzzzazfnnn 则则(2) 函

17、数函数 的导数可由其幂函数的导数可由其幂函数逐项求导逐项求导得到，得到，)(zfp69 4.1.5 4.1.5 幂级数的运算性质幂级数的运算性质3. 幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)性质性质 在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数又设函数 在在 内解析，且满足内解析，且满足)(zgrz |,| )(|rzg 设级数设级数 在在 内收敛，内收敛，和函数和函数为为性质性质 0nnnzarz |,)(0 nnnzazf. )( )(0 nnnzgazgf当当 时，有时，有rz |则则4.1.5 4.1.5 幂级数的运算性质

18、幂级数的运算性质解解 方法一方法一 利用乘法运算性质利用乘法运算性质zzz 1111)1(12)1( )1(22 zzzz,)1(3212 nznzz.1| z方法二方法二 利用逐项求导性质利用逐项求导性质)(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z,)()()()()()(11322 nnabazabazabazababazab 111解解)()(11abazbz 其收敛半径为其收敛半径为, |abr 收敛圆为收敛圆为. |abaz 一一 taylor定理定理二二 将函数展开成将函数展开成taylor级数级数4.2 4.2 泰勒级数泰勒级数实函数在一点的邻域内

19、展开成实函数在一点的邻域内展开成taylor级数是级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数taylor级数级数. 这是解析函数的重要特征这是解析函数的重要特征. z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf

20、则当则当 时，有时，有rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 d 内解析，内解析，)(zfc 为为 d 的边界，的边界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，证明证明 ( (略略) ) r.d)()(2110 lnzzzzfil 为为 d 内包围内包围 点的点的z0的任意一条闭曲线。的任意一条闭曲线。 l p70定理定理 4.10 ( (进入证明进入证明?)?)一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (1) 为什么只能在圆域为什么只能在圆域 上展开为幂级数，上展开为幂级数，rzz |0z0rdc而不是在整个解析区域而不是在整个解

21、析区域 d 上展开？上展开？回答回答这是由于受到幂级数本身这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：的收敛性质的限制： 幂级数的收敛域必须幂级数的收敛域必须是圆域。是圆域。 幂级数一旦收敛，其幂级数一旦收敛，其和函数和函数一定解析。一定解析。一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (2) 展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。na方法一方法一 101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010 nnnnzzazza, )()(!0)(0)(zpzzanzfnn ,!)(0)(nnanzf . )(!10)(zfnann 一、

22、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (2) 展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。na方法二方法二. )(!1d)()(210)(10zfnzzzzfianlnn 20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10 nnazza nnzzaazf)()(00z0rdcl,020 nai lnzzzzfd)()(10一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (3) 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。其结果都是一样的，即具有唯一性

23、。将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。比如比如zzf 11)(0 z方法一方法一 利用已知的结果利用已知的结果( (4.2 ) ):方法二方法二 利用泰勒定理利用泰勒定理 :. )1| (,1112 zzzz方法三方法三 利用长除法。利用长除法。.1!)0()( nfann( (长除法长除法) )一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (4) 对于一个给定的函数，能不能在对于一个给定的函数，能不能在不具体不具体展开为幂级数展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？的情况下，就知道其收敛域？ 可以知道可以知道。函数函数 在在 点展开为泰勒级数，其收敛半径点展开为泰勒级数

24、，其收敛半径)(zf0z结论结论等于从等于从 点到点到 的最近一个奇点的最近一个奇点 的距离。的距离。0zz)(zf(1) 幂级数在收敛圆内解析，幂级数在收敛圆内解析， 因此奇点因此奇点 不可能不可能理由理由z在收敛圆内；在收敛圆内；(2) 奇点奇点 也也不可能在收敛圆外，不然收敛半径不可能在收敛圆外，不然收敛半径z还可以扩大，还可以扩大，故奇点故奇点 只能在收敛圆周上。只能在收敛圆周上。z将函数展开为将函数展开为taylor级数的方法级数的方法: :1. 直接方法直接方法; 2. 间接方法间接方法.1. 直接方法直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由由taylor定理计算级数

25、的系数定理计算级数的系数然后将函数然后将函数 f (z)在在z0 展开成幂级数展开成幂级数.二、将函数展开成泰勒二、将函数展开成泰勒级数级数例例 求求( )zf ze 在在0z 的的taylor展开式展开式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在所以它在 0z 处的处的taylor级数为级数为( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收敛半径并且收敛半径.r 因为因为( )zf ze 在复平面上解析，且在复平面上解析，且 2. 间接方法间接方法 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数

26、运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 逐项逐项积分等积分等)和其它的数学技巧和其它的数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的求函数的taylor展开式展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .附附: 常见函数的常见函数的taylor展开式展开式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )

27、1( z)1( z)( z)( z242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例例 求求 21( )(1)f zz 在在0z 点邻域内点邻域内 的的taylor级数级数. 解解11z 是是( )f z的惟一奇点的惟一奇点, 且且 101,z 故收敛半径故收敛半径1.r 逐项求导，得逐项求导，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzzn

28、zzz 因为因为1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例例 将函数将函数 ( )1zf zz 在在01z 处展开处展开 成成taylor级数，并指出该级数的收敛范围级数，并指出该级数的收敛范围. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 当当 即即 时时,11,2z 12z .2|1 | ir故收敛半径故收敛半径函数函数 有奇点有奇点解解)(zf,1 znniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin

29、 .2| iz)()1(1izi 4.3 洛朗级数洛朗级数一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”二、罗朗二、罗朗( (laurent) )定理定理三、将函数展开为洛朗级数的方法三、将函数展开为洛朗级数的方法一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析引例引例 根据前面的讨论已知，根据前面的讨论已知，函数函数 在在 点的幂级数点的幂级数z 110 z展开式为展开式为. )1| (,1112 zzzz 事实上，该函数在整个复平面上仅有事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，一个奇点，1 z但正是这样一个奇点，使得函数只能在但正是这样一个奇点，使得函数

30、只能在 内展开内展开1| z为为 z 的幂级数，的幂级数，而在而在 如此广大的如此广大的解析区域解析区域内不能内不能1| z展开为展开为 z 的幂级数。的幂级数。 有没有其它办法呢？有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！一粒老鼠屎，坏了一锅汤！一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析设想设想 这样一来，在整个复平面上就有这样一来，在整个复平面上就有由由 ，,1|1 z1| z有有 从而可得从而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂

31、级数”1. 问题分析问题分析启示启示 如果如果不限制不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开复平面上展开( (除了奇点所在的圆周上除了奇点所在的圆周上) )。 在引入了负幂次项以后，在引入了负幂次项以后，“幂级数幂级数”的收敛特性如何呢？的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数下面将讨论下列形式的级数:.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0双边幂级数双边幂级数一、含有负幂次项的一、含有负幂

32、次项的“幂级数幂级数”分析分析2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0将其分为两部分：将其分为两部分：正幂次项部分正幂次项部分与与负幂次项部分负幂次项部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(a) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(b)(1) 对于对于 (a) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为;|20rzz (2) 对于对于 (b) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为;|10rzz 根据上一节的讨论可知：根据上一节的讨论可知：nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半

33、径r收敛收敛时时,r 101rrzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径r220rzz 收敛域收敛域:)1( 21rr 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21rr 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201rzzr z0r1r2有有公公共共收收敛敛域域21rr z0r2r1无无公公共共收收敛敛域域21rr :)1( 21rr 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21rr 两收敛域有两收敛域有公共部分公共部分h.201rzzr h一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数如果级数

34、收敛，收敛， nnnzza)(0.|201rzzr 则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域： 如果只含如果只含正正幂次项幂次项( (或者加上有限个或者加上有限个负负幂次项幂次项) )，特别地特别地则其收敛域为：则其收敛域为：rzz |00.|00rzz 或或 如果只含如果只含负负幂次项幂次项( (或者加上有限个或者加上有限个正正幂次项幂次项) )，则其收敛域为：则其收敛域为：.|0 zzr 上述两类收敛域被看作是一种上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域特殊的环域。一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1)

35、如果级数如果级数 收敛，收敛， nnnzza)(0.|201rzzr 则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域：而且具有与幂级数同样的而且具有与幂级数同样的运算性质运算性质和和分析性质分析性质。(2) 级数级数 在收敛域内其和函数是在收敛域内其和函数是解析解析的的, nnnzza)(0 因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。为上述形式的级数。r2z0r1d二、罗（洛）朗二、罗（洛）朗( (laurent) )定理定理设函数设函数 在圆环域在圆环域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfc 为在圆环域内绕为在

36、圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。0z解析解析,201|:rzzrd 内内在此圆环域中展开为在此圆环域中展开为则则 一定能一定能)(zf,d)()(2110 cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中，证明证明 ( (略略) ) c p75定理定理 4.12 ( (进入证明进入证明?)?)说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的罗朗罗朗(laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 注注 (1) 展开式中的系数展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。可以用下面得方法直接给出。na.d)()(

37、2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai cnzzzzfd)()(10二、罗朗二、罗朗( (laurent) )定理定理r2 z0r1cd 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf注注 (2) 罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数二、罗朗二、罗朗( (laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。的级数是唯一的

38、。(4) 系数系数 cnnzfia d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函数若函数 在圆环在圆环 内解析，则内解析，则 在在rzz |00)(zf)(zf在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。三、将函数展开为罗朗级数的方法三、将函数展开为罗朗级数的方法1. 直接展开法直接展开法 根据罗朗定理，在根据罗朗定理，在指定指定的解析环上的解析环上101( )d .2()nncfaizr2 z0r1cd直接计算展开系数：直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！有点繁！有点烦！三、将函数展开为罗朗级数的方法三、将函数展开为罗朗级数的方法 根据唯一性，

39、利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 间接展开法间接展开法三、将函数展开为罗朗级数的方法三、将函数展开为罗朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面都需要根据函数的奇点位置，将复平面( (或者题目指定或者题目指定无论是无论是直接展开法直接展开法还是还是间接展开法间接展开法，在求展开式之前，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开

40、区域 ) )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为,321zzz展开点为展开点为,0z则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：0z1z2z3zr1r2r31 2函数函数 有两个奇点：有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点以展开点 为中心，为中心，0 z将复平面分为三个解析环：将复平面分为三个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环;1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 将函数进行将函数进行部分分式部分分式分解分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz 解解 当当 时，时，1|0 z(3) 将函数在每个将函

41、数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz1 2解解 当当 时，时，2|1 z(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz1 2解解 当当 时，时， |2z(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.1201 nnnz1 2函数函数 有两个奇点：有两个奇点：)(zf,

42、2,1 zz以展开点以展开点 为中心，为中心，1 z解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环注意：注意：不需要将函数进行不需要将函数进行部分分式部分分式分解分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：12解解 当当 时，时，1| 1|0 z(2) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz解解 当当 时，时， | 1|1z(2) 将函

43、数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz12次次积积分分等等计计算算来来获获得得。、逐逐次次求求导导、逐逐泰泰勒勒展展开开式式，经经过过代代换换基基本本初初等等函函数数的的展展开开式式，可可以以利利用用已已知知等等函函数数的的洛洛朗朗对对于于无无理理函函数数及及其其他他初初)1(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：小结：把把f (z)展成洛朗展成洛朗( laurent )级数的方法：级数的方法：a 根据区域判别级数方式根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( laurent )级数。级数。(1) 0