第三章导数与微分(1)

1、1第三章第三章2第一节第一节 导数的概念导数的概念1 1、直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题0tt ,)(0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求函函数数为为设设变变速速直直线线运运动动的的路路程程ttst,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,0ttt 运动时间运动时间tsv 平平均均速速度度ttstts )()(00,0时时当当 t取极限得取极限得ttsttst )()(lim000一、引例一、引例瞬时速度瞬时速度ttsttst )()(lim000 v3自自由由落落体体221)(gtts , ,求求速速度度函函数数 )(tv. . 解解所以所以tstvt 0lim)()21(li

2、m0tggtt .gt 例例1 1221tgtgt 2221)(21gtttgs tggtts 2142 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置52 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置62 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置72 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置82 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置92 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置102 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置112

3、2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置122 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置132 2、切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置14 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线 tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx 割线割线 MN 的斜率为的斜率为切线切线 MT 的斜率为的斜率为15求抛物线求抛物线2xy 在在1 x处的切线方程处的切线方程. . 解解, )1(2

4、1 xy.012 yx即即例例2 21xy因此切线方程为：因此切线方程为： 221)1( xy,22xx ,2xxy 切线斜率为切线斜率为xykx 0lim)2(lim0 xx ,2 16二、导数的定义二、导数的定义,)()(00内内有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数xUxxfy 定义定义xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000如如果果对对于于自自变变量量 x 在在点点0 x的的增增量量x )(00 xUxx 和和相相应应的的函函数数值值的的增增量量)()(00 xfxxfy , xy 当当0 x时时有有极极限限， 比值比值 则则称称函函数数)(xf在在点点0

5、 x可可导导， 称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在点点0 x处处的的导导数数(微微商商)， 并并)(0 xf ，即即 记作记作 17000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000导数定义形式一导数定义形式一导数定义形式二导数定义形式二记记xxx 0, ,则则0 x等等价价于于0 xx , , 得到导数定义的第二种形式：得到导数定义的第二种形式： )(0 xf ，0ddxxxy 也可记为也可记为，0 xxy 等等。0d)(dxxxxf 18例例3 3. )()(03xfxxf 求求，设设函函数数解解hxhxxfh303000)

6、(lim)( .320 x hxhxhhxxh303022030033lim )33(lim20200hhxxh 19在在实实际际应应用用中中，常常把把导导数数0ddxxxy 称称为为变变量量 y对对变变量量x 在在0 x点点的的变变化化率率, 的变化的快慢的变化的快慢. .它表示函数值的变化相对于自变量它表示函数值的变化相对于自变量 变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化变化率，线密度就是物质线段的质

7、量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等. . 这样这样, ,曲线的切线的斜率可以说成是曲曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率， 速度可以说速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率成是行走的路程对于时间的变化率. .20单侧导数单侧导数2 2、右导数右导数：1 1、左导数左导数：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在

8、点点0 x处处可可导导 左左导导数数)(0 xf 和和右右 导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 21例例4 4.0|)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解,|)0()0( hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0| 点点不不可可导导在在函函数数 xxy| xy xyo(0)f (0)f 22设设 0 , 0 , 00 , )(32xxxxxxf, 求求)0(f . 所所以以 0)0( f. . 例例5 5解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxx

9、x20lim ,0 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx30lim ,0 xyo23三、导函数三、导函数如如果果函函数数)(xfy 在在开开区区间间 I中中的的每每一一点点都都可可导导，则则称称函函数数)(xf在在区区间间 I上上可可导导. 这这时时, 对对每每一一个个Ix , xxfxxfxfx )()(lim)(0)( )(Ixxf 可可以以看看成成是是定定义义在在 I上上的的一一个个新新的的函函数数， 称称它它为为原原来来的的函函数数)(xf的的导导函函数数(或或简简称称导导数数), 也也可可以以说说成成 y 对对 x的的导导数数，并并记记作作y 或或 xydd. 24利用导数

10、的定义求导数步骤利用导数的定义求导数步骤：);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限( )( )lim.txf tf xytx 或或者者用用公公式式：25例例.)()(的的导导数数为为常常数数求求函函数数CCxf 解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx .0 .0)( C即即00limxx 26例例1010.ln的的导导数数求求函函数数xy 解解0ln()lnlimxxxxyx xx1)(ln 0ln(1)limxxxx 11lnexx 即即0ln(1)1limxxxxxx 11

11、lim ln(1)txtxtxt 令令11limln(1)ttxt27四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 x)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy M注注：经过切点且与切线垂直的直线称为曲线的法线：经过切点且与切线垂直的直线称为曲线的法线. . 28.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边

12、边双双曲曲线线xy 例例7 7解解，21xy 2121 xxk. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即29五、函数可导与连续的关系五、函数可导与连续的关系定理定理 函数在可导点处必连续函数在可导点处必连续. .证证.)(0连连续续在在点点所所以以函函数数xxf由由于于)(xfy 在在0 xx 处处可可导导, , 0)(0 xf,0 30注意注意：该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立：连续未必可导连续未必可导。xy xyo31)( C,0 )(sin x,cos x )( x,1 x)(co

13、s x.sin x )( xa)e ( x)(log xa,lnaax )(ln x,ex ,ln1ax ,1x )( x)1( x一、基本初等函数的导数公式一、基本初等函数的导数公式,21x ,12x 第二节第二节 导数的基本公式与四则运算导数的基本公式与四则运算32)(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x.cotcscxx )(arcsin x)(arctan x,112x )(arccos x,112x ,112x )cotarc( x.112x 33二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则设设)(xuu , ,)(xv

14、v 可可导导, ,则则vu , ,uv, ,vu )0( v均均可可导导, ,且且有有 证证.)()1(vuvu 注注: : 可推广到有限多个函数的和与差。可推广到有限多个函数的和与差。 . )()(xvxu )( vuxxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxx )()(lim)()(lim0034因因为为)(xv可可导导, ,必必连连续续, , 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 证证.)()2(vuvuuv )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xxvxuxxvxxu )()()()(xvxuxxvxu ,)()(vx

15、uxxvu xvxuxxvxuxyxxxx 0000lim)()(limlimlim. )()()()(xvxuxvxu 35证略证略. .特别特别,.)()3(2vvuvuvu .)1(2vvv 1 1、ukuk )(； 推论推论wuvwvuvwuuvw )(.)()2(vuvuuv 证证wuvwuvuvw )()()(wuvwvuvu )(.wuvwvuvwu 2 2、可推广到有限多个函数的乘积，如可推广到有限多个函数的乘积，如 36例例1 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 32(1) 3254sinyxxxx 2(2) 3xyx 2(3) e cosxyxx xxyxcose2

16、xxxcose2 ;sine2xxx xxy32 3ln32xx .cos45492xxxy 37例例2 22sincossectan.利利用用及及的的求求公公式式明明（）xxxx 证明证明)(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 类似可得类似可得即即)cossin( xx，x2sec 38例例3 3 cossecsectan .利利用用的的求求公公式式明明xxxx 解解)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(cs

17、c 类似可得类似可得即即xxxtansec)(sec )cos1( x39例例4 4.cos1sin5的的导导数数求求xxy 解解例例5 5.sectan的的导导数数求求xxxy 解解2)cos1( 5xy 2)cos1(1cos5xx .cos15x xxytan21 xx2sec .tansecxx )cos1(cosxx )sin(sinxx 40训练训练：求导数：求导数,ee )1(ee xyx.ee1e xyx,lncot )2(xxxxyn .lncsccot21112 nnxxnxxxxxy2)ln1(1)ln1()ln1(1xxxxxy .)ln1(22xx ,ln1ln1 )

18、3(xxy 或解：或解：1ln12 xy41三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则问问题题：xy2sin , , 是否有是否有 xx2cos)2(sin ？ 解解,cossin2xxy )sin(cos222xxy .2cos2x 42定理定理 设函数设函数)(xu 在点在点 x 处可导， 函数处可导， 函数)(ufy 在在对应的点对应的点)(xu 处可导，则复合函数处可导，则复合函数)(xfy 在在点点 x 处可导，且其导数为处可导，且其导数为 证略证略说明：说明：)()()(xufxf 也可写为也可写为 , )()()(xxfxf 符符号号)( xf 表表示示复复合合函函数数)(xf

19、y 对对自自变变量量 x 求求导导, 而而符符号号)(xf 表表示示)(xfy 对对中中间间变变量量)(xu 求求导导，两两者者不不可可混混淆淆。 43例例5 5.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot 44例例6 6.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解92)1(10dd xxy 21x .)1(2092 xx例例7 7解解求求函函数数21xy 的的导导数数。 221(1)2 1yxx .12xx 45例例8 8解解例例9 9解解求求函函数数)1ln(2xxy 的的导导数数。 221(1

20、)1yxxxx221111xxxx （）.e1sin的的导导数数求求函函数数xy 1sin1e(sin)xyx1sin11=ecos( )xxx1sin211=ecos()xxx 2221)1(1xxxxx .112x .1cose11sin2xxx 46例例1010解解2(3cos32sin3 ).xxx e 223cos3sin32xxx exe sin3yx 2xe 2sin3xxe 47例例1111解解=sinlnxxye=sinlnxxe =sinlne(sinln )xxyxx=+sinlnsine(cosln)xxxxxx=+sinsin(cosln)xxxxxx48训练训练：求

21、导数：求导数,)sin23( )1(5xy )cos2()sin23(54xxy .)sin23(cos104xx ,1tan )2(xy )1(1sec22xxy ,)13csc( )3(3 xy33)13cot()13csc( xxy.)13cot()13csc()13(9332 xxx,2 )4(ln xxy xxyln2 2ln .ln1ln2xx 2)13(3 x3 .1sec122xx 49第三节第三节 高阶导数高阶导数问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设路路程程函函数数为为)()(tftv 则则瞬瞬时时速速度度为为的的变变化化率率对对时时间间

22、是是速速度度加加速速度度tva )()()( tftvta如如果果)(xfy 的的导导数数)(xfy 仍仍可可导导, ,则则 )( xf称称为为)(xf的的二二阶阶导导数数, ,记记为为)(xfy 或或22ddxy. . 一一般般, ,如如果果)(xf的的) 1( n阶阶导导数数仍仍可可导导, ,则则它它的的导导数数称称为为)(xf的的n阶阶导导数数, ,记记)()(xfn或或nnxydd. . 50解解例例1 1 求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数： baxy )1(nxycos )2( xysine )3( xytanln )4( (1)(1),ay .0 y(2)(2),sinn

23、xny .cos2nxny (3)(3),cosesinxyx xxyxxsinecosesin2sin . )sin(cose2sinxxx (4)(4)xxytansec2 xxcossin1 ,2sin2x .2sin2cos42xxy 51例例2 2求求 n 阶导数：阶导数：.),0()(nyxy求求设设 解解，1 xy)(1 xy，2)1( x，3)2)(1( x)1(2 xy.)1()1()(nnxny 则则不不为为正正整整数数若若, )(ny, !n ) !()1( nyn,0 则则为为正正整整数数若若,n ，nxy ，1 nnxy，2)1( nxnny，例例3 3.,sin)(

24、nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxxn类似可得类似可得归纳可证归纳可证53例例4 4解解1)(!)1()1( nnnxnx.,1)(nyxy求求设设 ，21xy ，3!2xy ，4! 3xy ，归纳可证归纳可证, ,思考：思考：( )ln,nyxy 若若？解解，xy1 .)!1()1(1)(nnnxny 54第四节第四节 隐函数的导数隐函数的导数 问题问题: 隐函数隐函数能否不经显化而直接求导能否不经显化而直接求导 ?例例如如, , 隐隐函函数数: :133

25、 yx, , 显显化化: :331xy . . 如如果果二二元元方方程程0),( yxF确确定定了了一一个个函函数数)(xyy , ,称称之之为为隐隐函函数数. . 当当然然, ,)(xy一一经经解解出出, ,则则称称为为显显函函数数. . 方方程程222ayx 可可以以确确定定函函数数22xay 与与22xay , ,有有两两个个. . 但但有有时时不不易易或或不不能能显显化化, ,如如Kepler方方程程： 0sin yxy )10( . . 55求求由由方方程程222ayx 所所确确定定的的隐隐函函数数)(xyy 的的导导数数. . 方方程程两两边边关关于于 x求求导导( (将将 y视视

26、为为 x的的函函数数) ), ,得得 解解得得 yxy . . 显显化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , ,22xaxy yx . . 例例1 1解解，022 yyx比较：比较：22xaxy ；yx 56求求由由方方程程ee xyy所所确确定定的的隐隐函函数数)(xyy 在在 0 x处处的的导导数数. . 例例2 2解解方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 当当0 x时时, ,1 y, , ，0e yxyyy，xyyy e.e1| 0 xy注注：先代入数值，再解方程，较简便。：先代入数值，再解方程，较简便。57求椭圆求椭圆14922 yx在点在点)3

27、24 , 1(P处的切线方程处的切线方程. . 即即 0923 yx. . 例例3 3解解，04292 yyx，yxy94 ，62 Pyk所以所求切线方程为：所以所求切线方程为： ，) 1(62324 xy58练习练习解解223sin0,xy yy y方程方程两边关于两边关于 x 求导求导, 得得22 ;3sinxyyy 解解得得59第五节第五节 函数的微分函数的微分实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正正方方形形面面积积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2

28、(:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、微分的概念一、微分的概念|.xx的 高 次 方 ， 当很 小 时 可 忽 略,;xA的 线 性 函 数 且 是的 主 要 部 分60200(1)2xxAxxx注 意 到中的 系 数恰 好 为在处 的 导 数 ，2002xxAxx我们称为函数在处的微分0 ( )yf xxx定义设函数在点处可导，为自变量0 x在处 的 改 变 量 则 称0d |d (),xxoyf x 或或即即00d |.()xxfxxy 0()fxx61由定义可知：由定义可知：00d( )()|,d .yxyf xfxxxyy是自变量的改变量与在的乘积处导数， 且当很

29、小时( )( )( ).(yf xIyf xxxfdfxIdyxx，处的微分： 同时，若函数在开区间 上可导，则对任意 在 yx dd.yxxxx 特别地，一次函数特别地，一次函数的微分有：的微分有：.dxxdx因此，可用表示，也称为自变量的微分xxfyd)(d 62微分的几何意义：微分的几何意义：)(xfy 0 xMNTydy）yxo x 几何意义几何意义：( (如图如图) ).d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P .,|MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 以

30、直代曲以直代曲 xyy d63例例1 1解解求求函函数数xysin 在在点点0 x和和2 x的的微微分分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例例2 2解解.02. 0, 23时时的的微微分分当当求求函函数数 xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 64三、基本微分公式与微分运算法则三、基本微分公式与微分运算法则d( ) d,d ( )( )dyfxxf xfxx=或或0)(d Cxxxd)(d1 xaaaxxdln)(d xxxde)e (d xaxxa

31、dln1)(logd xxxd1)(lnd xxxdcos)(sind xxxdsin)(cosd xxxdsec)(tand2 xxxdcsc)(cotd2 xxxxdtansec)(secd xxxxdcotcsc)(cscd xxxd1)1(d2 xxxd21)(d 65xxxd11)(arcsind2 xxxd11)(arctand2 xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 66微分运算法则微分运算法则1 1、函数和、差、积、商的微分法则、函数和、差、积、商的微分法则例如，从函数的商的求导法则例如，从函数的商的求导法则 2)(vvuuvvu 以以及及xuudd 和和在在xvvdd ，即即有有 )(dvu2ddvxvuxuv xvud)( .dd2vvuuv vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu 67结论结论：的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是