随机试验 样本空间 随机事件

1、概率论与数理统计概率论与数理统计（2008 2009 学年第学年第 一一 学期）学期）课程名称：概率论与数理统计课程名称：概率论与数理统计年年 级：级：2007教教 研研 室：公共数学教研室室：公共数学教研室任课教师：任课教师：西南科技大学理学院西南科技大学理学院 在我们所生活的世界上，在我们所生活的世界上， 充满了不确定性充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到过马路时是否遇到绿灯等复机会游戏，到过马路时是否遇到绿灯等复杂的社会现象；从新生儿的性别，到世间杂的社会现象；从新生儿的性别，到世间万物的繁衍生息；万物的繁衍生息；，我们无时无刻不，

2、我们无时无刻不面临着不确定性和随机性面临着不确定性和随机性. 将将不定性数量化不定性数量化，来尝试回答这些，来尝试回答这些问题，是直到问题，是直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的. . 还还不能说这个努力已经十分成功了，但就不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命的一切领域带来了一场革命. . 这场革命为研究新的设想，发展自这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路路. . 而且也改变了我们的思维方法，使而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆

3、探索自然的奥秘我们能大胆探索自然的奥秘. . 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 第一节第一节 随机试验随机试验 第二节第二节 样本空间样本空间 随机事件随机事件 教学重点教学重点 事件的运算关系事件的运算关系 教学内容教学内容 一一 随机试验随机试验 1 现象现象 (1) 确定性想象确定性想象(必然现象必然现象) 是指在一定的是指在一定的条件下条件下,必然会出现某种确定的结果必然会出现某种确定的结果. (2) 随机现象随机现象(偶然现象偶然现象)是在个别试验中是在个别试

4、验中其结果呈现不确定性其结果呈现不确定性,在大量重复试验中在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象其结果又具有统计规律的现象. 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象研究随机现象,首先要对研究对象进行首先要对研究对象进行观察试验观察试验. 这里的这里的试验试验是一个含义广泛的术是一个含义广泛的术语语.它包括各种各样的科学试验它包括各种各样的科学试验,甚至对某一甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验事物的某一特征的观察也认为是一种试验. . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚

5、硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现 . , : 3观察出现的点数观察出现的点数抛一颗骰子抛一颗骰子E . : 4内内接接到到的的呼呼唤唤次次数数记记录录电电话话交交换换台台一一分分钟钟E . : 6温温度度和和最最低低温温度度记记录录某某地地一一昼昼夜夜的的最最高高E : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. .5 : E在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命测试它的寿命.上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点:(1) 试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; (2)

6、 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为.E简单地说简单地说,随机试验是对随机现象的观察随机试验是对随机现象的观察.注注:(1)说明了试验的可观测性。说明了试验的可观测性。 (2)(3)说明了试验结果的说明了试验结果的不确定性不确定性,即随机性即随机性,这是有别这是有别于确定性试验的本质特征于确定性试验的本质特征.因此因此,概率论与数理统计是对概率

7、论与数理统计是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学,是是从数量上从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科研究随机现象的客观规律的一门数学学科. . : 6温度和最低温度温度和最低温度记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高E试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命. : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现

8、的次数出现的次数. .试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的,目的不同试验的目的不同试验的结果也不同结果也不同我们注意到我们注意到根据这个目的根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果. 试验的全部可能结果试验的全部可能结果,是在试验前就明确的是在试验前就明确的;或者虽不能确切知道试验的全部可能结果或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可但可知道它不超过某个范围知道它不超过某个范围. 试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的 的的集集合合的的所所有有可可能能结结果果所所组组成成一一个个随随机机试试验验

9、 E 的的称为随机试验称为随机试验 E 记为记为 . S , , 称为称为的每个结果的每个结果即即样本空间中的元素样本空间中的元素E . 样本点样本点 , 样本空间样本空间样本点样本点e. S样本空间样本空间=一个随机试验的所有可能的结果一个随机试验的所有可能的结果,注意注意:样本空间是随随机试验的目的而发生改变的样本空间是随随机试验的目的而发生改变的. 即样本空间的元素是由试验的目的所确定的即样本空间的元素是由试验的目的所确定的 例如例如,试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T

10、,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，S = t ：t 0样本空间样本空间故故 若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现观察正面出现的次数：的次数： 则样本空间则样本

11、空间 0,1,2S 由以上两个例子可见由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验样本空间的元素是由试验的目的所确定的的目的所确定的. 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（出，结果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分别是烟、分别是烟、酒年支出的元数酒年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档档. 这时，样本点有（高这时，样本点有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本空间就由这种，样本空间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平面第一象限内一

12、定区域这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成内一切点构成 . . 1本空间本空间写出下列随机试验的样写出下列随机试验的样例例 . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 1S , TH : 2S 1,2,3 , 0 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. . . : 3内接到的呼唤次数内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟记录电话交换台一分钟E : 3S 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中个个大大小小完完全全相相同同的的球球一一个个袋袋中中装装在在例例 , 4 , 4 搅

13、匀后从中任取搅匀后从中任取个是红色的个是红色的个是白色的个是白色的有有 . , 间间求求此此随随机机试试验验的的样样本本空空一一球球 : S , 红球红球白球白球 请注意请注意： 实际中实际中,在进行随机试验时在进行随机试验时,我们往往我们往往会关心会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定若规定灯泡的寿命灯泡的寿命 (小时小时) 小于小于500为次品为次品, 那么我们关心那么我们关心灯泡的寿命灯泡的寿命 是否满足是否满足 .t500t 或者说或者说, 我们关心我们关心满足这一条件的

14、样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合 .500t t 这就是：这就是： . , , 等表示等表示常用常用随机事件简称事件随机事件简称事件CBA试验试验 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 的的随机事件随机事件.EES : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点事件事件 A=掷出掷出1点点 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C 出现的点数大于出现的点数大于44 基本事件基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)事件事件 B=

15、掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点, i =1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.基本事件基本事件 当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.两个特殊的事件：两个特殊的事件：

16、必件事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必是必然事件然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示表示 .而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.然2, AACBASE、的样本空间为的样本空间为设试验设试验1 . 的事件的事件试验试验 E1. : 包含关系 BA发发生生必必然然导导致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或称事件或称事件包含事件包含事件则称事件则称事件发生发生 ( , AAB , ) 记作记作的子事

17、件的子事件B . ABBA 或或 , 都有都有对于任何事件对于任何事件 A . SA 相等关系 , 与与则称事件则称事件且且若若AABBA , 记作记作或称等价或称等价相等相等事件事件 B . BA 2. : 和事件 的的至少有一个发生所构成至少有一个发生所构成、事件事件BA . 记作记作的和的和与事件与事件事件叫做事件事件叫做事件BA . BA , 称事件称事件类似地类似地 2中至少有一个发中至少有一个发、nAAA1 生的事件为事件生的事件为事件. 21的和事件的和事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 2件为件为中至少有一个发生的事中至少有一个

18、发生的事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事件AA1 记之为记之为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA 3. : 积事件 同同时时发发生生所所构构成成的的事事件件、事事件件BA . 记作记作的积事件的积事件与事件与事件叫做事件叫做事件BA. ABBA或或 , 称事件称事件类似地类似地 21同同时时发发生生所所构构成成的的、nAAA 的事件为事件的事件为事件. 21的积事件的积事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 21件为事件为事、同时发生所构成的事、同时发生所构成的事、AA. 21的积事件的积事件、件件AA 记之为记之为 ,21 AA 简记

19、为简记为. 1iiA 例如例如 ,5 , 3 , 2 , 1, 4 , 2 CB CB 则则 性质性质 ; , 1BABBAA ; , 2BBABABAA CB 则则; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 则则若若 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 . 24. : 互斥事件 , 即即不能同时发生不能同时发生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 记为记为可将可将当两事件互不相容时当两事件互不相容时 在一次试验在一次试验与事件与事件若事件若事件BA5. : 对立事件 ,满足条件满足条件、即即发生发生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之

20、一BA ABSAB 且且 , 、或称事件或称事件为互逆事件为互逆事件与事件与事件则称事件则称事件BABA . 的对立事件记为的对立事件记为事件事件互为对立事件互为对立事件A . A . 容的容的基本事件是两两互不相基本事件是两两互不相 , ABAB 事事件件与与事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不则称则称为为 : 对立事件与互斥事件的关系 . , 但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，还要求外，还要求 AB

21、ABS6. : 差事件 不发生所构不发生所构发生而事件发生而事件称事件称事件BA , 记作记作的差事件的差事件与事件与事件成的事件为事件成的事件为事件BA . BA ABABABA 系及运算可以用下列系及运算可以用下列以上事件之间的各种关以上事件之间的各种关 . 各种图示来直观地表示各种图示来直观地表示BA BABABAB互斥互斥、 BAA 对立事件对立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交换律交换律 , : 2CBACBA 结合律结合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的运算满足的规律事件的运算满足的规律

22、: 4对偶律对偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 即差积转换即差积转换 例题1 设一个工人生产了设一个工人生产了3个零件个零件.若记若记:iA 第i个零件是正品.(i=1,2,3)试表示下列事件试表示下列事件 1) 没有一个零件是次品没有一个零件是次品 2) 只有第一个零件是次品只有第一个零件是次品 3) 恰有一个零件是次品恰有一个零件是次品 4) 至少有一个零件是次品至少有一个零件是次品 5) 没有一件是正品没有一件是正品 6) 至少有一件是正品至少有一件是正品 3检验某种圆柱形产品检验某种圆柱形产品按长度和直径两个指标按长度和直径两个指标例例 , , . 直径合格直径合格长度合格长度合格若设若设是否为合格品是否为合格品 BA , 产品为合格品产品为合格品的运算表示事件的运算表示事件、试用试用 CBA . 产产品品为为不不合合格格品品 D 解解 度和直径两个指标度和直径两个指标产品为合格品必须是长产品为合格品必须是长 , 因此因此合格合格ABC 度和直径两个指标度和直径两个指标产品为不合格品是指长产品为不合格品是指长 , 因此因此格格中至少有一个指