数字逻辑 第2章 逻辑代数基础

1、第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念2.2 逻辑代数的基本定理和规则逻辑代数的基本定理和规则2.3 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 逻辑代数逻辑代数：由一个逻辑变量集由一个逻辑变量集K，常量，常量0和和1以及以及“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算构成。满足以下公理：三种基本运算构成。满足以下公理： 交换律交换律 A+B=B+A AB=BA 结合律结合律 (A+B)+C=A+(B+C) (AB) C=A (BC) 分配律分配律 A+(BC)=(

2、A+B) (A+C) A (B+C)=AB+AC 0-1律律 A+0=A A+1=1 A1=A A0=0 01A, AAA 互补律互补律 逻辑代数（逻辑代数（又称布尔代数又称布尔代数），它是分析和），它是分析和设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，数一样也用字母表示变量，但变量的取值只但变量的取值只有有“0”，“1”两种两种，分别称为逻辑，分别称为逻辑“0”和逻辑和逻辑“1”。这里这里“0”和和“1”并不表示数量的大小并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。而是表示两种相互对立的逻辑状态。 逻辑代数表示的是逻辑代数表示的

3、是逻辑关系逻辑关系，而不是，而不是数量数量 关系关系，这是它与普通代数的本质区别。，这是它与普通代数的本质区别。 一、逻辑变量及基本逻辑运算一、逻辑变量及基本逻辑运算1、逻辑变量逻辑变量 设：开关断开、灯不亮用逻辑设：开关断开、灯不亮用逻辑 “0”表示，开关闭合、灯亮表示，开关闭合、灯亮用逻辑用逻辑“1”表示。表示。（1） “与与”逻辑关系逻辑关系B灯灯。220V。A “与与”逻辑关系是指当决定某事件的逻辑关系是指当决定某事件的条件全部具备时条件全部具备时，该事件才发生。该事件才发生。灭灭AB灯灯断开断开断开断开闭合闭合断开断开断开断开闭合闭合闭合闭合闭合闭合灭灭灭灭亮亮真值表真值表 2、基本

4、逻辑运算基本逻辑运算F=AB逻辑式逻辑式逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与逻辑符号逻辑符号 实现与逻辑的电路实现与逻辑的电路称为与门。称为与门。 F A B & （2） “或或”逻辑关系逻辑关系 “或或”逻辑关系是指当决定某事件的逻辑关系是指当决定某事件的条件之一具备时条件之一具备时，该事件就发生。该事件就发生。灭灭AB灯灯断开断开断开断开闭合闭合断开断开断开断开闭合闭合闭合闭合闭合闭合亮亮亮亮亮亮。+UABLF=A+B逻辑式逻辑式 逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或逻辑符号逻辑符号1ABY 实现或逻辑的电路实现或逻辑的电路称为或门。称为或门。 （3） “非非”逻辑关系逻辑关系 “非非”逻辑关系是

5、指逻辑关系是指否定或相反否定或相反的意思。的意思。某事情发生某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。亮亮A灯灯闭合闭合断开断开灭灭。AL+UR。010输入输入输出输出AY1逻辑式逻辑式逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反AF （4）其他常用逻辑运算）其他常用逻辑运算2）或非）或非 由或运算和非运算组合而成。由或运算和非运算组合而成。 1）与非）与非 由与运算和非运算组合而成。由与运算和非运算组合而成。A B000011111110&ABL=A

6、B(a)(b)L=AB01A B1011L=A+BA00B1(a)(b)000L=A+B13 3）异或）异或 异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑运算，当两个变量逻辑运算，当两个变量取值相同取值相同时，时， 逻辑函数逻辑函数值为值为0 0；当两个变量当两个变量取值不同取值不同时，逻辑函数时，逻辑函数值为值为1 1。 异或的逻辑表达式为：异或的逻辑表达式为：BAL1100(b)BA0A B10101(a)01L=A=1+AB+ B4 4）同或）同或 同或是一种同或是一种二变量二变量逻辑运算，当两个变量逻辑运算，当两个变量取值相同取值相同时，时， 逻辑函数逻辑函数值为值为1 1；当两个变量当两个变

7、量取值不同取值不同时，逻辑函数时，逻辑函数值为值为0 0。 同或的逻辑表达式为：同或的逻辑表达式为：Y= AB +AB001 100100111ABY二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法 定义：定义：用有限个与、或、非逻辑运算符号按某用有限个与、或、非逻辑运算符号按某种逻辑关系将逻辑变量种逻辑关系将逻辑变量A，B，C，连接起来，连接起来，所得到的表达式所得到的表达式YF（A，B，C,.）称为称为逻辑逻辑函数函数。 四种表示方法四种表示方法逻辑表达式、真值表、逻辑图、卡诺图逻辑表达式、真值表、逻辑图、卡诺图1 1、真值表、真值表 将将输入变量输入变量所有取值下所有取值下对应的输出值对应的

8、输出值找出找出来，列成来，列成表格表格。+_ABYA BY0 00 11 01 10111Y=A+B逻辑表达式逻辑表达式 n n个输入变量可以有个输入变量可以有2 2n n个组合，一般个组合，一般按二按二进制的顺序进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。出所有可能的状态。方法：方法：将将Y1的项的项相加。相加。 如，由上述的真值表可写出逻辑表达式：如，由上述的真值表可写出逻辑表达式：2 2、逻辑表达式、逻辑表达式BAABBABAL函数表达式也可以转换成真值表函数表达式也可以转换成真值表例例2、列出下列函数的真值表：、列出下列函数的真值表：BABAL

9、把输入与输出之间的逻辑关系写成把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非与、或、非等运算的组合式等运算的组合式（即逻辑表达式）（即逻辑表达式）由真值表可以转换为函数表达式由真值表可以转换为函数表达式方法：方法：用用变量的所有取值组合变量的所有取值组合列出列出Y的值的值；+ABCY等效电路图3 3、逻辑图、逻辑图1&ABCY 将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用逻辑关系用图形符号图形符号表示出来。表示出来。由函数表达式可以画出其相应的逻辑图由函数表达式可以画出其相应的逻辑图方法：方法：用用逻辑符号逻辑符号画出画出对应的对应的运算运算逻辑逻辑表达

10、表达式：式：Y=(A+B) C 由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式ACBCABL方法：方法：从输入到输出从输入到输出依次列出依次列出逻辑符号所对应逻辑符号所对应 的的逻辑运算的输出逻辑运算的输出；例例4 4：写出如图所示逻辑图的函数表达式。写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式： 4 4、卡诺图、卡诺图0100011110 ABC输入变量输入变量输出变量输出变量Y Y的值的值 由表示由表示逻辑变量所有取值组合逻辑变量所有取值组合的小方格所的小方格所构成的构成的平面图平面图。0 0=0 1=

11、1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=1一、基本定理一、基本定理2.2 2.2 逻辑代数的基本定理和规则逻辑代数的基本定理和规则 从三种基本的逻辑关系出发，我们可以得到以下从三种基本的逻辑关系出发，我们可以得到以下逻辑运算结果：逻辑运算结果：10 01 定理定理1 1A+0=A A 0 =0 A=0 A+1=1 A 1=A1 AAAAA0 AAAAA AA定理定理2 2定理定理3 31 1）原变量的吸收：）原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDABFEDABCDA

12、B)(被吸收被吸收定理定理4 4：吸收定理：吸收定理2 2）反变量的吸收：）反变量的吸收：BABAA证明：证明：BAABABAABAAABA)(例如：例如：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收3 3）混合变量的吸收：）混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB1吸收吸收 帮助记忆此公式的一句话：如果两个乘积项中的部分帮助记忆此公式的一句话：如果两个乘积项中的部分因子恰好互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三因子恰好互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三个乘积项中的因子，则这第三个乘积项是多余的。个乘积项中的因子，则这第三个乘

13、积项是多余的。定理定理5：摩根定律摩根定律BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：公式的证明方法：公式的证明方法：（2 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真）用真值表证明，即检验等式两边函数的真 值表是否一致。值表是否一致。（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。 1 1、代入规则、代入规则二、逻辑代数的基本规则二、逻辑代数的基本规则例如：例如：BABADCBADCBA则则由此反演律能推广到由此反演律能推广到 n 个变量：个变量：n 21n 21n 2

14、1n 21AAAAAAAAAA A A 在任何一个包含变量在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代替式中所有的以另外一个逻辑式代替式中所有的A，则等式，则等式仍然成立。仍然成立。 2 2、反演定理、反演定理 例如：例如：CDCBAY)()(DCCBAY 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的若将其中的“.”.”换成换成“+”“+”，“+”“+”换成换成“. .”，原变量换成反，原变量换成反变量，反变量换成原变量，变量，反变量换成原变量，“1”“1”换成换成“0”“0”，“0”“0”换成换成“1”“1”，则得到的结果就是，则得到的结果就是Y Y的反函

15、的反函数。数。 注意：注意： 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先先“与与”后后“或或”， 必要时适当地加入括号。必要时适当地加入括号。 不属于单个变量上的非号要保留不变。不属于单个变量上的非号要保留不变。CBA C) B(AB AF(A,B,C)C)B(ABCAB)A(F例如：例如：例如：例如： 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的若将其中的“ ”“ ”换成换成“+”“+”，“+”“+”换成换成“ ”“ ”，“1”“1”换成换成“0”“0”，“0”“0”换成换成“1”“1”，则得到的结果就是，则得到的结果就是Y Y的对偶式的对偶式YYA(B+C)=A B+A CA+

16、B C=(A+B)(A+C) 3 3、对偶定理、对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变换运算符变换运算符 和常量和常量，其，其变量是不变变量是不变的。的。注意：注意： 对偶式和反演式不同，不需将原变量和反变量对偶式和反演式不同，不需将原变量和反变量 互换。互换。BCAAB F1其对偶式其对偶式 B)(C )A( B)(AF0例：例：DCACL与或式与或式例：一个逻辑函数的五种表达式例：一个逻辑函数的五种表达式DCACL与非与非与非式与非式或与式或与式D)(CC(AL或非或非或非式或非

17、式D)(C)C(AL与或非式与或非式DCCAL 2.2.3 3 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换变换常用公式：反演定律变换常用公式：反演定律AA逻辑表达式的基本形式逻辑表达式的基本形式“与或与或”表达式表达式如：如：ABCCBACBACBACBAF无论任何形式都可以转换成与或表达式无论任何形式都可以转换成与或表达式函数化简的依据函数化简的依据 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度

18、和可靠性2.2.4 4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简一、代数化简法一、代数化简法利用公式化简利用公式化简1、并项法、并项法常用公式：常用公式：1 AA例例1:化简化简)()(CBCBACBBCA 与或表达式的简化与或表达式的简化最简式的标准最简式的标准 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的乘积项中含的变量少变量少A2、吸收法、吸收法常用公式：常用公式：CAABBCCAABAABA,例例2：化简：化简ABDDCABCCDBAAC3、消去法、消去法常用公式：常用公式：BABAA例例3：化简：化简CBCAABDCAC 提示：提示：C与与C的非的非提示：注意提示：注意C4、配项法：、

19、配项法：常用公式：常用公式：BCCAABCAABAA , 1例例4：化简：化简BACBCBBA综合使用上述方法：综合使用上述方法：要求：对公式熟练；有一定的技巧要求：对公式熟练；有一定的技巧P35例题例题二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法1 1、函数的最小项及其性质、函数的最小项及其性质最小项的定义最小项的定义 n个变量的最小项是个变量的最小项是n个因子的乘积；每个变个因子的乘积；每个变量都以它的原变量或反变量的形式在乘积项中量都以它的原变量或反变量的形式在乘积项中出现；且仅仅出现一次。出现；且仅仅出现一次。n个变量则有个变量则有2n个最小项个最小项A B C0 0 00 0 10 1 00 1

20、 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001CBACBABCACBACBACABABC3 3变量最小项真值表变量最小项真值表CBA 最小项的性质最小项的性质对于任意一个最小项，只有一组变量取值使对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为它的值为1，而在变量取其它各值时，这个，而在变量取其它各值时，这个最小项的值都是零；最小项的值都是零；不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为1的那组变量取的那组变量取值也不同；值也不同； 对于变量的同一组取值，任意两个最小

21、项对于变量的同一组取值，任意两个最小项的乘积为零；的乘积为零；对于变量的同一组取值，所有最小项的逻辑对于变量的同一组取值，所有最小项的逻辑或为或为1。最小项的编号最小项的编号 注：注：下标与编码所对应的十进制数值相同下标与编码所对应的十进制数值相同 函数的最小项表达式函数的最小项表达式 将逻辑函数表达式化成一组最小项之和，称将逻辑函数表达式化成一组最小项之和，称为最小项表达式。任何一个函数均可表达成为最小项表达式。任何一个函数均可表达成 唯一唯一的最小项之和。的最小项之和。)7 , 6 , 5 , 3()()(),(7653mmmmmABCCABCBABCAABCBAABABCBAABABCB

22、AABCBAL如：如：2 2、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数所谓卡诺图，就是所谓卡诺图，就是与逻辑函数的最小项相对与逻辑函数的最小项相对应应的的按一定的规则按一定的规则排列的方格图，每一个小方格排列的方格图，每一个小方格填入一个最小项。填入一个最小项。（1）卡诺图的概念）卡诺图的概念（2）卡诺图的画法）卡诺图的画法 卡诺图（卡诺图（K图）图）A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m

23、2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二变变量量K图图三三变变量量K图图四四变变量量K图图图中的图中的一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一行一行，即对应一个即对应一个最小项最小项，又称真值图，又称真值图 用卡诺图表示逻辑函数时，先将逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数时，先将逻辑函数式变换成最小项表达式，再根据最小项表达式式变换成最小项表达式，再根据最小项表达式填卡诺图。填卡诺图。 具体方法是：将逻辑函数中具体方法是：将逻辑函数中包含的最小项包含的最小项对应的小方格填入对应的小方格填入“1”，其余其余填填“0”（一般情（一般情况下省

24、略）；熟悉之后可以用况下省略）；熟悉之后可以用观察法观察法直接填图。直接填图。（3）用卡诺图表示逻辑函数）用卡诺图表示逻辑函数ABACY例例1：画出画出 的卡诺图的卡诺图ABACY)()(CCABBBACCABABCCBAABCCABCBAABC765mmm0100011110 ABC00000111输入变量输入变量输出变量输出变量Y Y的值的值m6m7m5m41m2m3m1m0010110100ABC765mmmCABCBAABCYABACY例例1：画出画出 的卡诺图的卡诺图例例2：将：将ACBCADCBABDCADCBAF),( 用用K图表示。图表示。解：解：010001111000111

25、0CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15两次填两次填10000ABC00011110010010001 11ABCBCABCBCAABC3 3、卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数ABC00011110010010001 11AB? 相邻最小项：相邻最小项：如果两个最小项中只有如果两个最小项中只有一一个变量互为个变量互为反反变量，其变量，其余余变量均相变量均相同同，则称这两个最小项为逻辑相，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称邻，简称相邻项。相邻项。 例如：如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，例如：如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并

26、为一项，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量同时消去互为反变量的那个量。互为相邻最互为相邻最小项小项ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC化简过程：化简过程： 卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的原理 （相邻项的合并规律相邻项的合并规律）:（1）2个相邻个相邻的小方格可以合并为的小方格可以合并为1项，项，消去消去1个个变量。变量。（2）4个相邻个相邻的小方格可以而合并为的小方格可以而合并为1项，项，消去消去2个个变量。变量。（3）8个相邻个相邻的小方格可以合并为的小方格可以合并为1项，项，消去消去3个个变量。变量。001110011010110100

27、 ABCF = B画圈的原则画圈的原则:（1）相临相临单元的个数是单元的个数是2n个，并组成个，并组成矩形矩形时，可以合时，可以合 并。并。（2）相邻：包括）相邻：包括上下底上下底相邻、相邻、左右边左右边相邻和相邻和四角四角相邻。相邻。（3）圈尽量大圈尽量大，圈的，圈的个数尽量少个数尽量少。（4）每个）每个“1”格均要被圈过格均要被圈过，不能遗漏。，不能遗漏。（5）同一方格可被重复圈，但在）同一方格可被重复圈，但在新画的圈中至少要有新画的圈中至少要有1 个未被圈过的个未被圈过的“1”格格，否则该包围圈是多余的。，否则该包围圈是多余的。（6）同一卡诺图）同一卡诺图可有不同的圈法可有不同的圈法，所

28、得的最简式也不，所得的最简式也不 同，以总圈数最少为佳。同，以总圈数最少为佳。ABCD0001 11 1000010000010 0011 10 00100 001110不是矩形不是矩形ABCD0001 11 1000011110是矩形是矩形是矩形是矩形不是不是2 2n n 用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画画出逻辑函数的出逻辑函数的卡诺图卡诺图。（2）合并相邻的最小项合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。，即根据前述原则画圈。（3）写写出化简后的出化简后的表达式表达式。 每一个圈写一个最简与项，每一个圈写一个最简与项，最简与项由圈内没最简与项由圈内没 有有0、1变化的那些变量组成变化的那些变量组成（