计量经济学7-平稳性

1、 计量经济学理论和应用张红霞张红霞Zhanghx_ 时间序列数据的建模时间序列数据的建模n时间序列数据反映某变量在时间上的变化时间序列数据反映某变量在时间上的变化n横截面数据可以理解为一个抽样的结果，横截面数据可以理解为一个抽样的结果，时间序列数据一般理解为一个随机过程的时间序列数据一般理解为一个随机过程的一个实现。一个实现。主要内容主要内容n时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验n随机时间序列模型的识别和估计随机时间序列模型的识别和估计n协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验n时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n平稳性的图

2、示判断平稳性的图示判断n平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验n单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n平稳性平稳性n平稳的定义n白噪声序列n典型非平稳序列n序列不平稳的影响时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n平稳的定义平稳的定义n平稳性就是一个系统达到统计平衡状态，其统计特性不随时间而变化。n统计特性可以用概率分布来描述，所以如果：为完全平稳序列。则称如下性质：的任意有穷维分布具有随机序列tnrt , rt , rtnt ,t ,ttXX,X,XFX,X,XFXnn21212121时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n

3、完全平稳（严平稳）的条件十分苛刻，所完全平稳（严平稳）的条件十分苛刻，所以，一般只要求二者分布的主要统计特征以，一般只要求二者分布的主要统计特征相同即可。相同即可。n实践中常用的平稳概念实际是二阶平稳，实践中常用的平稳概念实际是二阶平稳，称为宽平稳。称为宽平稳。时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性 假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic processstochastic process）生成的）生成的，即假定时间，即假定时间序列序列XtXt（t=1, 2, t=1, 2, ）的每一个数值都是从）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果

4、满足下列条件：一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件： 1 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是与时间与时间t t 无关的常数；无关的常数； 2 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是与时间与时间t t 无关的常数；无关的常数； 3 3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是只与时期间隔是只与时期间隔k k有关，与时间有关，与时间t t 无关的常数；无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（则称该随机时间序列是平稳的（stationary)stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（而该随机过程是一平稳随机过

5、程（stationary stationary stochastic processstochastic process）。）。 时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n白噪声序列白噪声序列n如果一个平稳序列具有如下特征，则称为白噪声序列： Xt=t tN(0,2)0tsX,Xcovts，对所有时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n典型非平稳序列典型非平稳序列n随机游走213213212111uttjjttttttXvaruXuuuXuuXuXuuXX为白噪声时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n序列不平稳的影响（序列不平稳的影响（1）n经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是经典回归

6、分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。平稳的。n数据非平稳，大样本下的统计推断基础数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致性一致性”要求要求被破怀。被破怀。n经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随是非随机变量机变量n放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X, )=0 (2) 概率收敛概率收敛nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim )(limnPnxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2如果X是非平稳数据（如表

7、现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。如在双变量模型中：第（1）条是OLS估计的需要第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性序列不平稳的影响（序列不平稳的影响（2）数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的（有较高的R2)： 例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意

8、义的化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中： 情况往往是情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n两个变量独立，期望回归系数为两个变量独立，期望回归系数为0，进行，进行检验应该有很大概率不能拒绝原假设检验应该有很大概率不能拒绝原假设tttttttt

9、ttXYv ,uvYYuXX1011建立如下方程：为白噪声且相互独立时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n根据模拟研究，当样本容量为根据模拟研究，当样本容量为50时，在时，在5%的显著性水平上，的显著性水平上，t检验拒绝原假设检验拒绝原假设的概率为的概率为66.2%；n当样本容量为当样本容量为250时，时， t检验拒绝原假设检验拒绝原假设的概率为的概率为84.7%；时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n在现象上，两个非平稳序列往往会表现出在现象上，两个非平稳序列往往会表现出随时间有共同变化趋势随时间有共同变化趋势的现象，造成谬误的现象，造成谬误回归回归n在本质上，非平稳序列在本质上，非

10、平稳序列不能满足回归模型不能满足回归模型基本假定基本假定，是出现谬误回归的根本原因。，是出现谬误回归的根本原因。时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性本假定走过程，根本不满足基在原假设下是个随机游所以，的随机游走，则：是一个初始值为假定在原假设下：tttttttttuuYYuYHuXY0001010时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n判断谬误回归的经验法则判断谬误回归的经验法则 Granger & Newbold（1974）提出当）提出当用时间序列数据进行回归时，如果用时间序列数据进行回归时，如果R2在数在数值上大于值上大于DW统计量，就有理由怀疑谬误统计量，就有理由怀疑谬误回

11、归存在。回归存在。时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性n一般认为，如果序列非平稳，不能使用回一般认为，如果序列非平稳，不能使用回归模型，归模型，这应该视作一个基本规则这应该视作一个基本规则n所以，在用时序数据进行回归时，首先要所以，在用时序数据进行回归时，首先要判断序列是否平稳，判断序列是否平稳，要进行平稳性检验要进行平稳性检验。平稳性的图示判断平稳性的图示判断n给出一个随机时间序列，首先可通过该序给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。稳的。n一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一个平稳的时间序列在图形上往往表现出

12、一种围绕其均值不断波动的过程；一种围绕其均值不断波动的过程；n而非平稳序列则往往表现出在不同的时间而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。降）。平稳性的图示判断平稳性的图示判断 tXt平稳性的图示判断平稳性的图示判断 Xtt平稳性的图示判断平稳性的图示判断 02RrRrrRXXEXXEX,XcovrXrttrttrttt自相关函数为：整数为平稳序列，则对任意设自相关函数自相关函数平稳性的图示判断平稳性的图示判断n实际上实际上, ,对一个随机过程只有一个实现（样本），对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算因此，

13、只能计算样本自相关函数样本自相关函数（Sample Sample autocorrelation functionautocorrelation function）。）。 随着随着k k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。快得多。nttkntkttkXXXXXXr121平稳性的图示判断平稳性的图示判断 kr kr 1 1 0 k 0 k (a) (b) 平稳性的图示判断平稳性的图示判断 Bartlett曾证明曾证明:如果时间序列由白噪声过程生如果时间序列由白噪声过程生成，

14、则对所有的成，则对所有的k0，样本自相关系数近似地服，样本自相关系数近似地服从以从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为为样本数。样本数。 也可检验对所有也可检验对所有k0k0，自相关系数都为，自相关系数都为0 0的联合的联合假设，这可通过如下假设，这可通过如下Q QLBLB统计量进行：统计量进行：mkkLBknrnnQ12)2(平稳性的图示判断平稳性的图示判断 该统计量近似地服从自由度为该统计量近似地服从自由度为m m的的 2 2分布（分布（m m为为滞后长度）。滞后长度）。 因此因此: :如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为

15、的临的临界值，则有界值，则有1-1- 的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的假设。的假设。1-0.031-0.03120.1880.15730.1080.2644-0.455-0.1915-0.426-0.61660.387-0.2297-0.156-0.38580.204-0.1819-0.34-0.521100.157-0.364110.228-0.13612-0.315-0.45113-0.377-0.82814-0.056-0.884150.478-0.406160.244-0.16217-0.215-0.377180.141-0.236190.236

16、0序号Random1Random2平稳性的图示判断平稳性的图示判断nrandom1random1：该样本序列的均值为：该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。可以用正态分布和。可以用正态分布和Q QLBLB统计量来检统计量来检验。验。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC平稳性的图示判断平稳性的图示判断nRandom2也一样可以这样检验也一样可以这样检验 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.

17、00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC平稳性的图示判断平稳性的图示判断n图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。 样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。 该随机游走序列是非平稳的。平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验n除了图示判断，还可以用单位根检验来判除了图示判断，还可以用单位根检验来判断序列是否平稳。断序列是否

18、平稳。单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验是统计检验中普遍应用的一种检验方法。方法。平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验nDF检验检验我们已知道，随机游走序列我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+ t是是非平稳的，其中非平稳的，其中 t是白噪声。是白噪声。而该序列可看成是随机模型而该序列可看成是随机模型 Xt= Xt-1+ t中参数中参数 =1时的情形。时的情形。平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验0101111101111：为方便检验：是单位根检验的对象，就单位根；是非平稳序列，称为有时，则当HHuXXuXXXXuXXttttttttttt平稳性的单位

19、根检验平稳性的单位根检验n为检验单位根问题，可以对上述方程用为检验单位根问题，可以对上述方程用OLS进行估计，可以得到进行估计，可以得到t统计量，统计量，但是，但是，由于原假设为真时，变量为随机游走过程，由于原假设为真时，变量为随机游走过程，t统计量不再具有统计量不再具有t分布，需要构造特殊临分布，需要构造特殊临界值才能检验界值才能检验。n临界值最早由临界值最早由Dickey&Fuller提出，提出，所以所以单位根检验称为单位根检验称为DF检验检验。检验的统计量。检验的统计量习惯称为习惯称为统计量统计量平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验通过通过OLS法估计法估计 Xt=+rXt-1+

20、t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的分布表中给定显著性水平下的临界值比较：临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设H0：r =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。 DF 分布临界值表分布临界值表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 平稳性的单位根检验平稳性的单

21、位根检验nADFADF检验检验n在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致），导致DF检验无效。检验无效。n如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。相关随机误差项问题。n为保证为保证D

22、F检验中随机误差项的白噪声特性，检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和和Fuller对对DF检验进行了扩充，形成了检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验。）检验。平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验 检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1: r0,检验检验 H0：r=0，即存在一单位根。模型，即存在一单位根。模型1与另两模与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。tmiititttmiititttmiitittuXXtXuXXXuXXX111011011平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验n1978-

23、2000支出法支出法GDP年份GDP年份GDP19783605.6199018319.519794073.9199121280.419804551.3199225863.619814901.4199334500.619825489.2199446690.719836076.3199558510.519847164.4199668330.419858792.1199774894.2198610132.8199879003.3198711784199982673.1198814704200089112.5平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验模型3模型2模型121101. 150. 10093. 0

24、27.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26） (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程n单整单整n有些时间序列经过差分，可以拥有平

25、稳性 例如随机游走序列 Xt=Xt-1+ t 差分：差分： Xt= t 由于由于 t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此差分后的序列Xt是平稳的。单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程n单整单整n如果一个时间序列经过一次差分后变成平稳的，则称该时间序列是一阶单整的一阶单整的（integrated of 1），记为），记为I(1)。n如果一个时间序列经过d次差分后变为平稳序列，则称原序列是d阶单整（阶单整（integrated of d）序列，记为）序列，记为I(d)。nI(0)代表平稳时间序列单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程n单整单整n现实中，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率n一般认为：一般认为：n 以不变价表示的流量数据，通常为1阶单整；如消费、收入等n 以不变价表示的存量数据，通常为2阶单整；如资本总额n 以现价表示的流量数据，通常为2阶单整；如现价GDP等单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程n单整单整n分析我国1978-2000支出法GDP的单整性 1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18