cho1 第一节 环的定义和基本性质

1、 第三章 二、环内一些特殊元素和性质二、环内一些特殊元素和性质四、小结与思考四、小结与思考 一、环的定义一、环的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 环的定义和基本性质三、环的分类三、环的分类机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、定义、定义1 1 设设A是一个非空集合，在是一个非空集合，在 中定义中定义 A两种二元运算，一种是加法，记为两种二元运算，一种是加法，记为+ + ， 另一种另一种 称为乘法，记为称为乘法，记为.且满足：且满足：),(A是一个可换群；是一个可换群；（1 1） （2 2） ),(A是一个半群；是一个半群；（3 3） 左、右分配律成立，即对任何左、右分配律成立，即对

2、任何 Acba,有有.)( ,)(bcaccbaacabcba机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称代数系则称代数系),(A是一个环（是一个环（ringring）. .即环是有两种运算，对加法是可换群，即环是有两种运算，对加法是可换群， 对乘法对乘法 是半群，并适合分配律的代数系统是半群，并适合分配律的代数系统. .2 2、定义、定义2 2 如果环如果环),(A对乘法也是可交换的对乘法也是可交换的, , 则称是可换环则称是可换环(Commutative ring).(Commutative ring).),(Z),(Q),(R例例1 都是环，都是环， 而且是可换环而且是可换环. . 例例2

3、2 设设,iZiZbabiaiZ1对复数对复数 加法和复数乘法构成环加法和复数乘法构成环, ,称为称为GuassGuass整数环整数环. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 设设,1210nZn是整数模是整数模 n的同余类的同余类 集合，定义模集合，定义模n的加法和乘法的加法和乘法:.,abbababa),(nZn则则是环，称为整数模是环，称为整数模的同余类环的同余类环. . 例例4 4 设设,)( AaaAMijnnijn则则)(AMn对矩阵的加法和乘法构成环对矩阵的加法和乘法构成环,称为数环称为数环 A上的全矩阵环上的全矩阵环. .),(xZ),(xQ),(xR 例例5 都是

4、相应数环上的多项式环都是相应数环上的多项式环. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、设、设),(A是一个环，加群是一个环，加群 ),(A中的单位元中的单位元, , 记为记为0，称为零元，称为零元. . 加群中的元素加群中的元素a的逆元的逆元, 记为记为aa,称为称为的负元的负元. . 而环中的单位元是指乘法而环中的单位元是指乘法 ),(A. 1半群半群中的单位元中的单位元, 记为记为环中元素环中元素a的逆元的逆元 ),(A.1a是指乘法半群是指乘法半群中的逆元中的逆元, , 记为记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2、环中可定义减法、环中可定义减法: :);( baba环中的

5、零元和负元有如下性质环中的零元和负元有如下性质: :;,Aaaa000.,)( ,)()(Abaabbaabbaba此外此外, ,元素的倍数和幂可定义为元素的倍数和幂可定义为.,aaaaaaanan机动 目录 上页 下页 返回 结束 A,Aba3 3、定义、定义3 3 设设是一个环是一个环, ,若若0ab 且且,00ba则称为则称为a左零因子左零因子(left zerodivisor)，b为右零因子为右零因子(right zero divisor).(right zero divisor). 若一个元素既是左零因子又是右零因子若一个元素既是左零因子又是右零因子, ,则称其则称其为零因子为零因子

6、(zero divisor).(zero divisor).例例6 在在)(ZM2中，由于中，由于,.)(,)(00110000001ABBAAB所以所以是左零因子，而是左零因子，而是右零因子是右零因子. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(6Z, 032又如在又如在中中,因为因为23所以所以和和都是零因子都是零因子.4 4、定理、定理1 1 环中无环中无( (右右) )左零因子的充分必要条件左零因子的充分必要条件 是乘法消去律成立是乘法消去律成立. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、定义、定义4 4 设设),(A是一个环是一个环. .若若,0A可交换可交换, ,且无零因子

7、且无零因子, ,则称则称 A是整环是整环(domain).(domain).若若A满足满足:(1) :(1) A中至少有两个元中至少有两个元 10,（2 2）*0AA 构成乘法群构成乘法群,则称则称 A是一个除环是一个除环(division ring).(division ring).AA若若是一个可换的除环是一个可换的除环, ,则称则称是域是域(field).(field).机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(nZn2 2、定理、定理2 2 是域的充要条件是是域的充要条件是为素数为素数.3 3、具有有限个元素的域，称为有限域（、具有有限个元素的域，称为有限域（finitefinite field）,pZ是最简单的有限域是最简单的有限域.显然显然, ,在一个除环中在一个除环中, ,由于非零元成群由于非零元成群, ,乘法消去律乘法消去律 成立成立, ,因而除环中无零因子因而除环中无零因子. .域中也无零因子域中也无零因子, ,且域且域 必须是整环必须是整环. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 设设),(),(10011001ie).(),(01100110kj,RkjieH32103210 则则H是一个除环是一个除环, ,此环称为实四元数除环此环称为实四元数除环 (division ring of real quatern