常微分方程--第四章 高阶微分方程(41节）ppt课件

1、 对于二阶及二阶以上的微分方程的解包括根本实际和求对于二阶及二阶以上的微分方程的解包括根本实际和求解方法。这部分内容有两部分：解方法。这部分内容有两部分： 1、线性微分方程组：在第四、五章讨论、线性微分方程组：在第四、五章讨论2、非线性微分方程组：在第六章简单引见、非线性微分方程组：在第六章简单引见 4. 1 线性微分方程的普通实际线性微分方程的普通实际第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 一、引言一、引言 n阶线性微分方程普通方式阶线性微分方程普通方式:1111( )( )( )( ), (4.1)nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt称(4.2)为n阶齐次线性微

2、分方程，简称齐次线性方程，而(4.1)称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程。把(4.2)叫做对应于方程(4.1)的齐次线性微分方程。 其中其中 及及 都是区间都是区间 上的上的延续函数延续函数 ( ) (1,2, ) ( ) ia tinf tatb 假设假设 ，那么方程变为，那么方程变为 ( )0f t 1111( )( )( )0, (4.2)nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt 其中其中 及及 都是区间都是区间 上的上的延续函数延续函数 ( ) (1,2, ) ( ) ia tinf tatb 其中其中 及及 都是区间都是区间 上的上的延续函数延续函数 假

3、设假设 ，那么方程变为，那么方程变为 ( )0f t 假设假设 ，那么方程变为，那么方程变为 ( )0f t 定理定理1方程方程(4.1)的解的存在独一性定理的解的存在独一性定理 假设 及 都是区间 上的延续函数，那么对于任一 及恣意的 ，方程(4.1)存在独一解 ，定义于区间 上，且满足初值条件0 , ta b1(1)(1)0000001( )( )( ),nnndtdttxxxdtdt( ) (1,2, ) ( ) ia tinf tatb (1)(1)000,nx xx( ) xtatb 定理2叠加原理假设二、齐次线性微分方程的解的性质与构造12( ),( ),( )kx tx tx t

4、是方程(4.2)的k个解，那么它们的线性组合1 122( )( )( )kkc x tc x tc x t也是方程4.2的解，这里12,kc cc为恣意常数。 kn1122 ( ) ( ) ( )nnxc x tc x tc x tn特别地，当时，即方程4.2有解它含有 个恣意常数，问题：它是n阶齐次线性方程4.2的通解吗？ 线性相无关、朗斯基(Wronsky)行列式 线性相无关的定义线性相无关的定义12( ),( ),( )kx tx tx t , ta bcos ,sintt21, ,nt ttatb atb 假设存在不全为零的常数假设存在不全为零的常数 ，使得，使得 定义在区间定义在区间

5、 上的函数上的函数12,kc cc对于一切 都成立，那么称这些函数是线性相关的，否那么称这些函数在所给区间上线性无关。1 122( )( )( )0kkc x tc x tc x t 例如例如 在任何区间上都是线性无关的；在任何区间上都是线性无关的；在任何区间上都是线性相关的；22cos,sin1tt 在任何区间上都是线性相关的。朗斯基行列式的定义朗斯基行列式的定义atb 在上，121212(1)(1)(1)12( ),( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkkW x tx tx tW tx tx tx tx tx tx txtxtxt称为这些函数

6、的朗斯基行列式定义k个k-1次可微的函数12( ),( ),( )kx tx tx t所成的行列式定理定理 3假设函数atb 证明证明:由假设知，存在一组不全为零的常数依次对t微分得到下面的方程组12( ),( ),( )nx tx tx t在区间 上线性相关，那么在 上它们的朗斯基行列式atb ( )0W t 12,nc cc1 122( )( )( )0, nnc x tc x tc x tatb 1 1221 122(1)(1)(1)1 122( )( )( )0( )( )( )0( )( )( )0nnnnnnnnnc x tc x tc x tc x tc x tc x tc xt

7、c xtc xt可以看成关于 的齐次线性代数方程组，它的系数就是朗斯基行列式12,nc cc( )W t 要使此方程组存在非零解，那么它的系数行列式必需为零，即朗斯基行列式在区间a,b上为零。v留意：上述定理的逆命题不成立。例如：留意：上述定理的逆命题不成立。例如：v设设v在区间在区间 上满足上满足 ，但它们，但它们在此区间上却是线性无关的。由于，假设存在此区间上却是线性无关的。由于，假设存在恒等式在恒等式 ，那，那么么v当当 时，得时，得 ；当；当 时，又可时，又可推得推得 ，所以，所以 线性无关。线性无关。 21, 10,( )0, 01,ttx tt 220, 10,( ), 01,tx

8、 ttt 11t 12 ( ),( )0W x tx t1 122( )( )0, 11c x tc x tt 10t 10c 01t 20c 12( ),( )x tx t问题：如何运用朗斯基行列式断定函问题：如何运用朗斯基行列式断定函数相关性？数相关性？v假设 是齐次线性微分方程4.2的解，那么有下述定理 12( ),( ),( )nx tx tx tv定理定理4 4：假设：假设 是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程4.24.2的的n n个解，个解，那么它们在区间那么它们在区间 v 上线性无关的充分必要条件是朗斯上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式基行列式 12( ),( ),( )nx

9、 tx tx tatb 12( ),( ),( )nW x tx tx t在这个区间的任何点上都不等于零。 n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的 朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零； 2. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与 这n个解线性相关等价； 3. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零 与这n个解线性无关等价； 4.普通情况下，上述结论不一定成立。阐明：阐明： 定理定理5 n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在一定存在n个线性无关解。个线性无关解。定理定理6通解构造定理通解构造定理假设是方程(4.2)的n个线性无关解，那么方程(4.2)的通解为其中12( )

10、,( ),( )nx tx tx t1 122( )( )( )nnxc x tc x tc x t12,nc cc是恣意常数。且它包含了方程4.2的一切解。 推论推论: : 方程方程4.24.2的线性无关解的最大个数是的线性无关解的最大个数是n;n;且且n n阶齐次线性微分方程的一切阶齐次线性微分方程的一切解构成一个解构成一个n n维线性空间。维线性空间。 方程4.2的n个线性无关解称为方程的一个根本解组。 三、非齐次线性微分方程与常数变易法三、非齐次线性微分方程与常数变易法性质性质1 假设( )x t是方程(4.1)的解，而( )x t是对应的齐线性方程(4.2)的解，那么( )( )x

11、tx t是非齐线性方程4.1的解。 性质性质2 非齐线性方程4.1的恣意两个解之差是其对应的齐线性方程4.2的解。 性质性质312( )( )( )f tf tf t1( )x t2( )x t设方程4.1的非齐次项为，且与分别是方程11111ddd( )( )( )( )dddnnnnnnxxxa tata t xf tttt11121ddd( )( )( )( )dddnnnnnnxxxa tata t xf tttt的解，那么12( )( )x tx t是方程 111121ddd( )( )( )( )( )dddnnnnnnxxxa tata t xf tf tttt的解。注：该性质称

12、为非齐线性方程的解的叠加原理注：该性质称为非齐线性方程的解的叠加原理 12( ), ( ), , ( )nx tx tx t( )x t1 122( )( )( )( )( )nnx tC x tC x tC x tx t12,nC CC定理定理7 假设假设是齐线性方程4.2那么非齐线性方程4.1的通解可表为其中 为恣意常数，且它包括了方程的一个根本解组，而是非齐线性方程4.1的解，4.1的一切解。求解非齐线性方程4.1的常数变易法： 12( ), ( ), , ( )nx tx tx t1 122( )( )( )( )nnx tC x tC x tC x t设根本解组，那么其通解可表示为是

13、对应的齐线性方程(4.1)的一个那么非齐次线性方程的通解可由得出11(2)1(1)1 ( ) ( )0 ( )( )0 ( )( )0 ( )( )( )niiiniiinniiinniiiCt x tCt x tCt xtCt xtf x ( )( )d 1,2,iiiC tttCin( )iC t1122( )( ) ( )( )( )( )( )nnx tC t x tC t x tC t x t将所得代入到中， 得非齐线性方程4.1的通解为 11( )( )( )( )dnniiiiiix tC x tx ttt解运用常数变易法，令12( )cos( )sinxc ttc tt代入方程可得例例11coscos sin .xxttt求方程的通解。已知它的对应的齐次线性微分方程的基本解组为 ,12sin( ), ( )1costc tc tt 12cossin(cos ln |cos |sin )xctcttttt12,c c这里是任常数.1212( )cos( )sin01( )sin( )coscosc ttc ttc ttc ttt解得所以1122( )ln|cos |, ( )c ttcc ttc 于是原方程通解为例例220.txxtt求方程于域上