2020-2021学年北京石景山区高三统一测试一模数学理试题及答案解析

1、高考数学模拟试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合Ax|x0,且AIBB,则集合B可能是（A.1,2B.x|x1C1,0,1D.Rsin11有零点”是“函数ylogmx在（0,+）上为减函数”2.在极坐标系中，圆2被直线截得的弦长为（）A,屈B,2C.2.3D,33.执行如右图的程序框图，若输出的则输入k的值可以为（）A.4B.6C.8D.104.已知mR,“函数y2xmA.充分不必要条件B.必

2、要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.二项式（2x1、6）的展开式中，常数项的值是（xA.240B.60C.192D.1801,，,（mk）,则该数列刖mk项之和为（m一、,116.等差数列an中，amkmkB.2mk1C.2cmk.D.127.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0),(1,2,1),（2,2,2）,给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）8.如果双曲线的离心率51e,则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题:21是黄金双曲线；双曲线y22x251是黄金双曲线;122在双曲线二与a2b21中，

3、F1为左焦点，A2为右顶点,B1(0,b),若/RB1A90，则该双曲线是黄金双曲线;1中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若/MON120,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为（）A.和B.和C.和D.和第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 .z1i,Z为复数z的共知复数，则zz10 .如图，AB是半径等于3的圆O的直径，C皿圆O的弦，BA、DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,贝U/CBA.y1,11 .设不等式组xy0,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一点M,则点M落在xy20圆x2y21内的概率为.12

4、.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量v,b,v满足vxavyb,(x,yR),则二=.y13 .若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法,有种(用数字作答)14 .已知集合M(x,y)|yf(x),若对于任意(yy)M,都存在(x2,y2)M，使得XiX2y1y20成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：.1.M(x,y)|y；M(x,y)|ylog2x；xM(x,y)|yex2；M(x,y)|ysinx1.其中是“垂直对点集”的序号是.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)在

5、平面直角坐标系xOy中，设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(Xi,火)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转一后与单位圆交于点Q(X2,y2).记2f()y1y2.(i)求函数f()的值域；(n)设ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)夜，且a，c1,求b.16 .(本小题满分13分)空气质量等优良轻度污染中度污染重度污染严重污染AQI值范围0,50)50,100)100,150)150,200)200,300)300及以上国家环境标准制定的空气质量指数(简称AQI)与空气质量等级对应关系如下表:(I)求x的值，并根据上表中的统计数据,卜表是由天气网获得

6、的全国东西部各6个城市3月某时刻实时监测到的数据:四部城巾AQI数值东部城巾AQI数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI平均值：135AQI平均值：90判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系(只需写出结果)；(n)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为,求的分布列和数学期望.17 .(本小题满分14分)如图，多面体ABCDEF中，平面ADE吐平面ABCD,正方形ADEF的边长为2,直角梯形ABCD中，AB/CD,AD&

7、#177;DC,AB=2,CD=4.(I)求证：BC,平面BDE;(n)试在平面CDE上确定点P,使点P到直线DCDE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.18 .(本小题满分13分)1a已知函数f(x)xalnx,g(x)(a0).x(i)若a1,求函数f(x)的极值；(n)设函数h(x)f(x)g(x),求函数h(x)的单调区间;（出）若存在xo1,e,使得f（xo）g（xo）成立，求a的取值范围.19 .（本小题满分14分）22已知椭圆C:勺y-a2b21(ab0）离心率e等,短轴长为2死.（I）求椭圆C的标准方程；（n）如图，椭圆左顶点为A,过原点O的直线（与坐标

8、轴不重合）与椭圆C交于P,Q两点，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论.20 .（本小题满分13分）设数列an满足：a11；所有项anN*；1a1a2anan1设集合Amn|anm,mN*，将集合Am中的元素的最大值记为bm,即bm是数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值.我们称数列bn为数an的伴随数列.例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.(I)若数列an的伴随数列为1,1,12,2,2,3,请写出数列an;n1(D)设an3，求数列an的伴随数列bn的前30项之和；2(出)若数列an的前n

9、项和Snnc(其中c常数)，求数列an的伴随数列bm的前m项和Tm.石景山区高三统一测试数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ACCBACDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.答题题，共、用牛共6小80分.题号91011121314答案1+应6811218015.(本小题共13分)(I)由题意，得y1sin,y2sin()cos,3分所以f()sincosT2sin(),5分3一因为（0,万），所以4（7丁），故f（）°，物.7分(口)因为f(C)2sin(C)V2,C(0,),所以C,9分24在ABC中，由余弦定理得c2a2b2

10、2abcosC,即12b22J2-y-b,解得b1.13分16.(本小题共13分)(I)x822分D东部口西部4分（n）优”类城市有2个，轻度污染”类城市有4个.根据题意的所有可能取值为：1,2,3.QP(1)c；c2c：5,P(C2C12)妾C；3P(3)5c3c0c311分的分布列为：,1所以E1-517.(本小题共14分)(I)证明：因为平面所以ED平面ABCD123P153515ABEF又因为BC平面ABCD,所以13分平面ABCD,EDAB.EDBC.在直角梯形ABCD中，由已知可得B(C=8,BD2=8,CD=16,所以，CD2=BC2+BD2,所以，BDBC又因为EDIBD=D,

11、所以BC平面BDE.(n)如图建立空间直角坐标系Dxyz0,0,0A2,0,0,E0,0,2,B2,2,0,F2,0,2ULUEFLUU2,0,0,EB2,2,20,y,z,则yx,y,z是平面BEF的一个法向量,rn则rnuuinEFuurEb所以2x2x2y2z0因为AP与平面BEF所成的角等于r所以AP与n(0,1,1)所成的角为30°,60o或120o6分7分r1所以n0,1,1uuur所以cosAP,nuuurAPnuuu-rAPnyz1,4y2z222所以y2z24yz40LLL(*)又因为yz,所以yz或yz当yz时，(*)式无解当yz时，解得：yz3所以，P(0,当，

12、*)或P(0,咚,察).333318.(本小题共13分)(I)f(x)xalnx的定义域为(0,).T1分12分13分.14分.1分一x1当a1时，f(x)“x由f(x)0,解得x1.当0x1时，f(x)0,f(x)单调递减;当x1时，f(x)0,f(x)单调递增;.4分所以当x1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1=1ln11；,一、1a(口)h(x)f(x)g(x)xalnx，其te义域为(0,).xx2ax(1a)(x1)x(1a)乂h(x)22-.6分xx由a0可彳导1a0,在x(0,1a)上h(x)0,在x(1a,)±h(x)0,所以h(x)的递减区间为(0,1a);

13、递增区间为(1a,).(III)若在1,e上存在一点Xo,使得f(x0)g(x0)成立,即在1,e上存在一点xo,使得h(x0)0,即h(x)在1,e上的最小值小于零.8分当1ae,即ae1时，由(II)可知h(x)在1,e上单调递减.e21故h(x)在1,e上的最小值为h(e),工，、1a由h(e)ea0,可得ae21ue21因为e1e1.所以ae一1;e1e110分当11ae,即0ae1时,由(II)可知h(x)在(1,1+a)上单调递减，在(1a,e)上单调递增.h(x)在1,e上最小值为h(1a)2+aaln(1a).11分因为0ln(1a)1,所以0aln(1a)a.2+aaln(1

14、a)2,即h(1a)2不满足题意，舍去.12分1综上所述：a(e一1,).13分e119.(本小题共14分)(I)由短轴长为2J2得bJ2,1分.c.a2b2.2,口22o由e，得a4,b2.aa222.椭圆C的标准方程为1.4分42(n)以MN为直径的圆过定点F(J2,0).5分22证明如下：设P(x0,y°),则Q(%,y°),且迎近1,即x22y；4,42A(2,0)直线PA方程为：y0(x2),.M(0,-2y-)6分Xo2Xo2直线QA方程为：yy(x2),.N(0,-2y),7分Xo2')Xo2，以MN为直径的圆为(x0)(x0)/2y°、/2

15、y°、(y-)(y-)x02x0210分【或通过求得圆心O(0，孕况)，x°24'|二4yJ|得到圆的方程】x°24,即X2y24V40，x04x°4vx042y2,.x2y2&°y20,y°令y0,则x220,解得x点.以MN为直径的圆过定点F(J2,0).14分20.(本小题共13分)(I)1,4,73分n1()由an3m,得n1log3m(mN)当1m2,mN时，b1b214分当3m8,mN时，b3b4b825分当9m26,mN时，b9bwb2636分当27m30,mN时，bb28b29b3047分，b1b21226318448