(含答案)《参数方程》练习题

1、1直线 l 的参数方程为距离是（CAt12 t12参数方程为A一条直线x3 直线A (3,1 1t2333) B4把方程xy 1 化为以A1t21 t25若点P（3,m） 在以点A6. 直线二、填空题：A.207曲线的参数方程是（t为参数） ， l 上的点P1 对应的参数是t1，则点P1 与 P（a,b）之间的CD 2 t121t （t为参数） 表示的曲线是（C 一条射线(t为参数)和圆x2y23t2t 参数的参数方程是（BD 两条射线16 交于3,3) C ( 3, 3) D (3,为焦点的抛物线sint1sintCcost1costD4t24tA, B 两点， 则 AB 的中点坐标为（ D

2、 ）（t为参数） 上，则tant1tantPF 等于（ C ）3 Ctsin200tcos2004 D5(t为参数）的倾斜角是B.70C.110D.1601t (t为参数,tt20） ，则它的普通方程为_y x(x 22)(x 1)(x 1)28点P（x,y） 是椭圆2x23y2 12 上的一个动点，则x 2y的最大值为 229 已 知 曲 线 x 2pt （t为参数, p为正常数） 上 的 两 点 M , N 对 应 的 参 数 分 别 为 t1和 t2, ，y 2pt且 t1 t2 0，那么 MN =4p t1 _x tcos x 4 2cos510直线 x cos 与圆 x cos 相切

3、，则 或 5 。y tsin y 2sin66x=t11. 设曲线 C的参数方程为（ t 为参数） ，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴y=t2建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_ cos2 sin 0.三、解答题：12 已知点 P（x, y） 是圆x22y上的动点，1）求2x y 的取值范围；2）若xya 0 恒成立，求实数a 的取值范围。解： （ 1）设圆的参数方程为13. 分别在下列两种情况下，把参数方程2x y 2cos2)x ya cos(cossinsinsin )5 sin(2 sin( )12(et) 15 1 2x y 5 1e t）cos化为普通方程：1 (

4、et e t)sincos 1 sin（ 1）为参数，t为常数； （ 2） t为参数，为常数；1解：（ 1 ）当 t 0时， y 0, x cos ，即 x 1, 且 y 0；t 0 时， cos1t t2(e e ),siny1t t2(e e )2）当而 x222y21，即 1 x 1 y 1(et e t )2(et e t)244k ,kZ 时， y 0 ，, k Z 时， x 20，1t t(e e )，即21ty 2(e1,且 y 0；得 2et 2e2即 x2cose t )，即x 0；,kZ 时，得t et e2x2et2x( 2xcos2 y2 sin1。cos ，即 2ys

5、in2e tcos2xcos2ysin2y sin2y)( 2x 2y)sin cossin14已知直线l 经过点P（1,1）, 倾斜角， （ 1）写出直线l 的参数方程。6（ 2）设l 与圆x2y24 相交与两点A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积。解： （ 1）直线的参数方程为1 t cosx6 ，即1 t siny6y3t21 t2x12）把直线y13t2 代入 x1t24得(13 t)2(1 1 t)24,t2 ( 3 1)t 2 0221015. 过点 P（ ,0） 作倾斜角为2t1t22 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为222x2 12y2 1 交于点 M

6、, N ，求 PM PN 的最大值及相应的的值。10解：设直线为x 2 tcos （t为参数） ，代入曲线并整理得y t sin(1 sin2 )t2 ( 10 cos )t 30, 则 PM PNt1t23221 sin所以当 sin 21 时，即216. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，3PM PN 的最大值为，此时2x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系0。. 已知点 A的极坐标为2,4l 的极坐标方程为cos() a ，且点 A在直线 l 上。4a 的值及直线l 的直角坐标方程；x 1 cosaC 的参数方程为xcosa,(a为参数) ，试判断直线l 与圆C的位置关系.y sinaA(

7、2, ) 在直线 cos( 4) a 上，可得a 24所以直线l 的方程可化为cos sin从而直线l 的直角坐标方程为x y 2 0C 的直角坐标方程为(x1)2y2 1所以圆心为(1,0) ，半径 r1 ，所以直线与圆相交17. 在直角坐标系xOy中，直线x-y+4=0 ，曲线C的参数方程为x 3cosay sina( I )已知在极坐标(与直角坐标系轴)中，点P 的极坐标为(4，xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极2II )设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线) ，判断点P 与直线 l 的位置关系；l 的距离的最小值.解： ()把极坐标下的点(4, )化为直角坐

8、标得：2P(0,4) 又点的坐标满足直线方程，所以点在直线 l 上。( 3sin ,cos )，从而点到直线l 的距离为| 3cos sin 4 | 2cos( 6) 4222 cos( ) 2 2 ， 因此当 cos(66时， d 去到最小值，且最小值为2 。x 32t,18. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2（ t 为参数） 。在极坐标系（与直角坐y 52t2标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为2 5 sin 。（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线 l 交于点A、 B，若点P的坐标为（3, 5） ，求 |PA|+|

9、PB| 。【解析】 （）由2 5 sin 得 x2 y2 2 5 y 0, 即 x2 （ y 5） 2 5.（）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（32 t）2 （ 2 t）2 5 ，22即 t2 3 2t 4 0, 由于（3 2）2 4 4 2 0，故可设t1, t2是上述方程的两实根，所以t1t2 3 2 , 又直线 l过点 P（3, 5）, 故由上式及t 的几何意义得：t1t24|PA|+|PB|= |t1|+|t2|=t1+t2= 3 2。x 1 tcosx cos19. 已知直线C1 x cos （ t 为参数） ， C2 x cos （ 为参数） ，y t siny sin

10、（）当= 时，求C1与 C2的交点坐标；3（）过坐标原点O做 C1的垂线，垂足为A， P为 OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。221） ， C2的普通方程为x2 y21 。联立方程组13，。22（23） 解：3 时， C1 的普通方程为y 3（ xy 3（ x 1），解得C1 与 C2的交点为（1,0 ）x2y2 1A点坐标为sin2 , cos sin ，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：12x为参数,P 点轨迹的普通方程为416。x sin21y sin cos211故 P 点轨迹是圆心为， 0 ，半径为的圆。44x 2cos22. 已知曲线C1的参数方程是(

11、 为参数 )，以坐标原点为极点，x轴的正半轴y 3sin为极轴建立坐标系，曲线C2 的坐标系方程是2 ，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且 A,B,C,D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2, )3( 1)求点 A,B, C,D 的直角坐标；2222( 2)设P 为 C1 上任意一点，求PA PB PC PD 的取值范围。5411【解析】 ( 1)点A,B,C, D 的极坐标为(2, ),(2, 5 ),(2, 4 ),(2, 11 )3636点 A,B,C,D 的直角坐标为(1, 3),(3,1),( 1,3),( 3, 1)x0 2cos( 2)设P(x0, y0)；则( 为参数 )y

12、0 3sin2222222t PA PB PC PD 4x2 4y2 4056 20sin 256,7621. 在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆C1 ，直线C2 的极坐标方程分别为4sin , cos( ) 2 2.4( )求 C1 与 C2的交点的极坐标；( )设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1 与 C2的交点连线的中点，已知直线3x t a,PQ 的参数方程为b 3 (t R为参数).求 a,b的值。y t12【解析】 ( ) 由x2 y2 , cos x, sin y得，圆 C1 的直角坐标方程为x2 ( y 2)24 ，直线C2的直角坐标方程

13、分别为x y 4 0(y 2)2 4,解得x1 0,y 4 0.y1 4,x2y22,2,所以圆C1 ，直线 C2的交点直角坐标为(0,4),(2,2)再由22x y,cos x, siny ， 将交点的直角坐标化为极坐标(4, ),(2 2, ) 所以C124与C2的交点的极坐标(4,2),(2 2,4)( )由 ( ) 知，点 P ，Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)故直线 PQ 的直角坐标方程为x y 2对照可得PQ 的参数方程为3 xtb3y t12a,(tR为参数).消去参数ab1222. 已知曲线b2 1,ab12解得 a2.1,b 2.C1 的参数方程为轴建立极坐标系，曲线C

14、2的极坐标方程为C1 的参数方程化为极坐标方程；即 C1：将x y285cost,5sin t,t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极2sinC1与C2交点的极坐标(0,0 < 2) 。x 4 5cost将 x cos 消去参数 t，化为普通方程(x 4)2 (y 5)225,y 5 5sint22 xycossincos8x 10y 16 0.代入 x210 sin8x 10y 16 0得16 0.2y 2y 0.2y 8x 10y 16y2 2y 00 x1，解得或y1所以C1与C2交点的极坐标分别为( 2, 4) ，(2, )23. 已知动点P， Q都在曲线C：x 2

15、cost y 2sin tt为参数上，对应参数分别为t =与 t=2（0<<2）,M 为PQ的中点.（ 1）求M 的轨迹的参数方程.（ 2）将M到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点（ 1）依题意有P 2cos ,2sin,Q 2cos2 ,2sin 2 , 因此M cos cos2 ,sin sin2M的轨迹的参数方程为x cos y sincos2sin2为参数， 02） M点到坐标原点的距离dx2 y22 2cos , 02时， d0 ，故M的轨迹过坐标原点.24. 已知曲线C1 ：x 2cosy 2 2sinuuuv uuuuv为参数） ， M 是

16、C1 上的动点，P 点满足 OP 2OMP 点的轨迹为曲线C2（ ）求 C2的方程（ ）在以 O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 C2的异于极点的交点为B ，求 AB .与C1 的异于极点的交点为3A，（ I ）设 P（x,y） , 则由条件知M （x, y） . 由于 M 点在 C1 上，所以22x2cos , 2即 y 2 2sin . 2x 4cos , y 4 4sinx 4cos从而C2的参数方程为（ 为参数）y 4 4sinC1 的极坐标方程为4sin ，曲线 C2的极坐标方程为8sin射线与 C1 的交点A的极径为1 4sin ，33射线与 C2的交点 B 的极径为

17、2 8sin .323x cos， （ 为参数）曲线C2的参数方程为y sin所以 | AB| | 21 | 2 3.x acos25. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（a b 0, 为参数） 。 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l ：y bsin与 C1 ，C2 各有一个交点。当0 时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合。2（ 1）分别说明C1， C2是什么曲线，并求出a与 b 的值；（2） 设当时， l 与C1 ，C2的交点分别为A1 ,B1，当时， l 与C1 ，C2 的交点为A2,B2，44求四边形A1A2B2B1的面积。解：

18、（ 1）C1 是圆，C2是椭圆。当0 ，射线 l 与 C1 ， C2的交点的直角坐标分别是（1,0）,（a,0），这两个交点间的距离为2， a 3，当时，射线l 与C1 ，C2的交点的直角坐标2分别是 (0,1),(0,b)， b 1222 x 22)C1， C2的普通方程分别是x2y2 1, x y2 1， 当9时， 射线 l 与 C1 ， C2的交点A1, B142x ，x23 1010 ，当时，射线l 与 C1 ， C2的两个4交点A2, B2分别与A1, B1 关于 x轴对称，所以四边形A1A2B2B1 是梯形，故SA1A2B2B1(2x 2x)(x x) 225x 1 t cos26. 已知直线l : x cos ， (t 为参数，为 l 的倾斜角，且0) 与曲线y t sinx 2 cosC :( 为参数 ) 相交于A、 B 两点，点F 的坐标为(1,0)y sin( 1)求ABF 的周长；( 2)若点E( 1,0)恰为线段AB 的三等分点，求ABF 的面积。2解： ( 1)将曲线C消去 可得： xy2 1 ，直线 l 过曲线C的左焦点F ( 1,0) ，2由椭圆的定义可知ABF 为 | AB | | AF | | BF | | AF | | BF | |