心理与教育统计学第9章方差

1、 第九章第九章 方差分析方差分析章节内容章节内容第一节第一节 方差分析的基本原理及步骤方差分析的基本原理及步骤第二节第二节 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析第三节第三节 随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析第四节第四节 事后检验事后检验n目的：目的：推断多个总体均数是否有差别。推断多个总体均数是否有差别。 也可用于两个也可用于两个n方法：方法：方差分析，即多个样本均数比较的方差分析，即多个样本均数比较的F F检验。检验。n基本思想：基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将根据资料设计的类型及研究目的，可将总总变异变异分解为分解为两个或多个部分两个或多个部分，每个部分的，

2、每个部分的变异变异可由可由某因某因素素的作用来的作用来解释解释。通过比较可能由某因素所致的变异与。通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。何为方差？何为方差？组间变异组间变异总变异总变异组内变异组内变异一、原理：方差（变异）的可加性原则一、原理：方差（变异）的可加性原则第一节第一节 方差分析的基本原理及步骤方差分析的基本原理及步骤表表9-1 不同强度噪音下解数学题犯错误的频数不同强度噪音下解数学题犯错误的频数jXX=6.671.总变异:全部测量值大小不同，这种变异称为总变异。总变异的大小可以用离均差平方和(sum

3、of squares of deviations from mean，SS)表示，即各测量值Xij与总均数差值的平方和，记为SST。总变异SST反映了所有测量值之间总的变异程度计算公式为：计算公式为：n2组间变异： 各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数 (i1，2，g)也大小不等，这种变异称为组间变异。n其大小可用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SSB 。21211()()inijjggiiiiiXSSn XXCn组间1g组间计算公式为：计算公式为：n3组内变异：在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异（误差）。n组内变异可用组

4、内各测量值Xij与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为SSW, 表示随机误差的影响。 Ng组 内三种变异的关系三种变异的关系： 均方差，均方均方差，均方(mean square(mean square，MS)MS)检验统计量检验统计量 F FF= MSF= MSB B/MS/MSW W B B= =组数组数1 1 W W=N=N组数组数若各样本所代表的未知总体相同，即处理因素不起作用，那么MSB/MSW将明显小于1组间变异和组内变异均由随机误差所致，则MSB/MSW1若处理因素起作用，则组间变异应较大，那么MSB/MSW将明显大于1。当F= MSB/MSW大于一定的界值时，可以下结论认为处理

5、因素起作用。当当FF (1, 2)，则，则P ，没有理由拒绝，没有理由拒绝H0 ，还，还不能认为各组总体均数的差别有统计学意义。不能认为各组总体均数的差别有统计学意义。当当FF (1, 2)，则，则P ,拒绝拒绝H0，接受，接受H1，认为总，认为总体均数间有差别。体均数间有差别。完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析注意：注意：当当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的料的t 检验等价，有检验等价，有 。tF方差分析的结果拒绝方差分析的结果拒绝H0，接受，接受H1，不能说明各组，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组总体均数间两

6、两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。间有差别，可进行多个均数间的多重比较。二、方差分析的基本过程与步骤二、方差分析的基本过程与步骤1.建立假设，确定检验标准H0：三个总体均数全相等，即1=2=3H1：三个总体均数不全相等。 =0.052.计算检验统计量：计算总平方和、组间平方和、组内平方和及相应的自由度；计算均方；计算检验统计量F3.查方差分析用查方差分析用F界值表，确定界值表，确定p值，做出结论值，做出结论当当FF (1, 2) ，P,拒绝拒绝H0，接受，接受H1，认为总体，认为总体均数间有差别。均数间有差别。 FF (1, 2）, P，没有理由拒绝，还不能认

7、为，没有理由拒绝，还不能认为各组总体均数的差别有统计学意义。各组总体均数的差别有统计学意义。注意：方差分析是单侧检验。注意：方差分析是单侧检验。4. 列方差分析表：列方差分析表：方差分析表（例方差分析表（例9-19-1）n基本思想：基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将根据资料设计的类型及研究目的，可将总总变异变异分解为分解为两个或多个部分两个或多个部分，每个部分的，每个部分的变异变异可由可由某某因素因素的作用来的作用来解释解释。通过比较可能由某因素所至的变。通过比较可能由某因素所至的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。三、三

8、、 方差分析的前提条件方差分析的前提条件独独立立性性正正态态分分布布方方差差齐齐性性四、方差分析中的方差齐性检验四、方差分析中的方差齐性检验最大最大F F比率法比率法2min2maxmaxSSF查附表查附表5，P467五、方差分析常涉及的实验设计五、方差分析常涉及的实验设计1.完全随机设计2.随机区组设计只有1个研究因素，但该因素至少有2个以上的水平。根据随机化原则将受试对象随机分配到一个研究因素的多个水平中去，然后观察效应，比较各水平组的效应是否不同。1.完全随机设计完全随机设计完全随机设计资料的方差分析的基本思想完全随机设计资料的方差分析的基本思想 合计合计 N S :第i个处理组第j个观

9、察结果XijXijXn某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组进行双盲试验。问如何进行分组？例题：例题：（1 1）完全随机分组方法：）完全随机分组方法： n1. 编号：120名高血脂患者从1开始到120，见表4-2第1行（P72）；n2. 取随机数字：从附表15中的任一行任一列开始，如第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下，见表4-2第2行；3. 编序号：将全部随机数字从小到大 (数据相同则按先后顺序）编序号，见表4-2第3行。4. 事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号61-90为丙组，序

10、号91-120为丁组，见表4-2第四行。第二节第二节 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析特点：特点：只有一个实验因素只有一个实验因素格式：格式：例例9-2：15名被试随机分为名被试随机分为3组，分别为组，分别为积极反馈积极反馈组组、消极反馈组消极反馈组及及控制组控制组，进行相同的知识测验，进行相同的知识测验，试推断不同组别间被试的自尊均数有无显著性差异？试推断不同组别间被试的自尊均数有无显著性差异？一、资料为原始数据类型的方差分析一、资料为原始数据类型的方差分析1.建立假设建立假设，确定检验水准，确定检验水准H0：三个总体均数全相等，即：三个总体均数全相等，即1=2=3H1：三个总体

11、均数：三个总体均数不全不全相等。相等。=0.052.计算检验统计量：计算检验统计量：67.4811585,33.731585555)()(22222CNxxXxSST解题步骤：解题步骤：12315211411513033.4333.7333.4367.481520525540)(2222kNdfkdfNdfSSSSSSCnXSSWBTBTWjjB05. 0,88. 367. 81230233.43)12, 2(05. 0)12, 2(05. 0PFFFdfSSdfSSMSMSFWWBBWB3.确定确定p值，得出结论：值，得出结论：p0.05，按，按水准拒绝水准拒绝H0，接受接受H1，认为不同反

12、馈类型的被试自尊水平总的来说，认为不同反馈类型的被试自尊水平总的来说差异具有统计学意义。差异具有统计学意义。4.列出方差分析表列出方差分析表完全随机设计的方差分析，各处理组样本含量完全随机设计的方差分析，各处理组样本含量n是否相等，计算方式无质的差别。是否相等，计算方式无质的差别。二、资料为样本统计量类型的方差分析已知各组已知各组2iiiSXn方差分析的步骤如下：方差分析的步骤如下：WBWkiikniWBkjBBkkkMSMSFFkNdfSnXxSSkdfXXnSSSSnnnXnXnXnXX:. 4,)(. 31,)(. 2. 11211221212211计算检验统计量求：求求总平均数：例例9

13、-5576. 1,20. 1,04. 1,99. 12 . 7, 8, 4 . 5, 54321242322214321nnnnSSSSXXXX第三节第三节 随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析1.特点：一个处理因素，一个区组因素，同一个区组内的受试对象随机接受不同的处理。2.2.格式格式 例例 如何按随机区组设计，分配如何按随机区组设计，分配5 5个区组的个区组的1515只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？n分组方法：先将小白鼠按体重编号，体重相近的3只小白鼠配成一个区组，见表4-6。在随机数字表中任选一行一列开始的2位数作为1个随机数，如从第8行

14、第3列开始纪录，见表4-6；在每个区组内将随机数按大小排序；各区组中内序号为1的接受甲药、序号为2的接受乙药、序号为3的接受丙药，分配结果见表4-6。随机区组分组方法：随机区组分组方法： 3.3.区组设计的基本思想区组设计的基本思想1、全部受试对象按某种或某些特性分为若干个区组；2、每个区组内的观察对象的特征尽可能相近；3、每个区组内观察对象数=研究因素水平数，观察对象随机接受研究因素某一水平处理。比完全随机设计更容易检验出处理因素间的差别，提高了研究效率。 是配对资料的扩充。优点优点SS总总 总总SS误差误差 误差误差MS误差误差SS组间组间 组间组间MS组间组间SS区组区组 区区组组MS区

15、区组组变异间的关系变异间的关系SS总总=SS处理处理+SS误差误差+SS区组区组也可表示为也可表示为：SST=SSB+SSE+SSRdf总总= df处理处理+df误差误差+ df区组区组1df)(T22NNXXSST?总变异总变异11df)()(B22kSSMSkCnXXXnSSBjjjjB?组间变异组间变异11)()(22nSSMSndfCkXXXkSSRRRiiR区组变异区组变异)1)(1()1)(1(1)1()1(1dfdfdfBTnkSSMSnknkNnkNdfSSSSSSSSEERERBTE?误差项误差项统计量统计量F F的计算的计算F1=MS处理处理/MS误差误差F2=MS区组区组

16、/MS误差误差例例9-6：测查不同刺激时间的记忆情况有无不同测查不同刺激时间的记忆情况有无不同随机区组设计资料方差分析的基本步骤随机区组设计资料方差分析的基本步骤（处理组间处理组间）建立假设：建立假设： H H0 0 ：4 4个不同刺激时长记忆水平个不同刺激时长记忆水平相等相等 1 1 = = 2 2 = = 3 3 H H1 1 ： 4 4个不同刺激时长记忆水平个不同刺激时长记忆水平不全相等不全相等确定显著性水平，用 表示。区分大小概率事件的标准，常取0.05。计算统计量F： F处理=MS处理/MS误差确定概率值P：查F界值表，确定P做出推论：统计学结论和专业结论。随机区组设计资料方差分析的

17、基本步骤随机区组设计资料方差分析的基本步骤（区组间区组间）建立假设：建立假设： H H0 0 ：7 7个人的记忆水平相等个人的记忆水平相等 1 1 = = 2 2 = = 3 3 H H1 1 ： 7 7个人的记忆水平不全相等个人的记忆水平不全相等确定显著性水平，用 表示。区分大小概率事件的标准，常取0.05。计算统计量F： F2=MS区组/MS误差确定概率值P：P的含义。做出推论：统计学结论和专业结论。2712889102281911405)(2222TTdfCNXXSS?3141,82. 389.1302751749747744)(22222kdfCnXSSBjj

18、B86.8189.1302434421433417436428422)(2222222CkXSSiR18) 17)(14(34.1686.8182. 311.102ERBTEdfSSSSSSSS913. 01843.1664.13686.8127. 1382. 3EEERRRBBBdfSSMSdfSSMSdfSSMS)(94.14916. 064.13)(39. 1916. 027. 121不同区组不同刺激时间长度EREBMSMSFMSMSF方差分析表方差分析表例例9-7第四节第四节 事后检验事后检验在方差分析认为多组均数间差异有统计学意在方差分析认为多组均数间差异有统计学意义的基础上，若需了

19、解究竟哪些组均数之间义的基础上，若需了解究竟哪些组均数之间有差别，还是各组间均有差别，可用多个样有差别，还是各组间均有差别，可用多个样本均数的两两比较本均数的两两比较( (又称多重比较又称多重比较 multiple multiple comparisoncomparison) )。 多个样本均数的两两比较多个样本均数的两两比较不宜用不宜用t t检验检验如用如用 t 检验，则第一类错误率将增大，此时检验，则第一类错误率将增大，此时易将无差别的两均数错判为有差别易将无差别的两均数错判为有差别PN=1-(1-=1-(1- ) )N N ( N=Ck2=k(k-1)/2)如：三个组的比较如：三个组的比较 1-(1-1-(1-0.05) )3 3=0.14=0.14，错误的概率大大提高错误的概率大大提高。SNK检验（检验（q检验）检验）Student-Newman-Keuls法，即法，即SNK法法,又称又称q检验检验,统计量为统计量为q： 适用与多个样本均数间的两两比较适用与多个样本均数间的两两比较BABAnnMSXXq112误差P0.05P0.05P0.05NoYes多个样本均数比较多个样本均数比较两样本均数比较两样本均数比较方差齐否？方差齐否？正态否正态否？F检验、检验、t检验检验秩和检验秩和检验变量变换变量变换不拒绝不拒绝 Ho两两比较两两比较定量资料假设检验方法的