高一数学人教新课标专题3

1、高一数学人教新课标专题三简易逻辑一、知识概述逻辑联结词、四种命题及充分条件与必要条件理解逻辑联结词或 且、非的含义，理解并掌握四种命题及其相互关系，掌握充分条件与必要条件，关键是要掌握 关于充要条件的判断掌握反证法。二、重难点知识的归纳与剖析1.或、且、非这些词叫做逻辑联结词不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命 题与逻辑联结词构成，是复合命题或、且、非是三种最根本的逻辑联结词课本给出 了三种简单的复合命题 “1且q“戯q和 非p的真值表P4P且Q真咸假假假假假rqp或q真真假真假1隈p非p算假克2四种命题的形式是原命题：假设p那么q,逆命题：假设q那么p否命题：假设那么v ,逆否命题：假设 ，

2、J那么四种命题之间的相互关系原命题假设P那么q互 否直逆逆逆命題假设观卩否命题1/3 为 X逆否酣题互逆假设 rqjjlhp互3.个命题的真假与其它三个命题的真假有如下三条关系:1原命题为真，它的逆命题不一定为真.例如，原命题 假设a=0,那么ab=O是真命题，它的逆命题 假设ab=0,那么a=0是假命 题.2原命题为真，它的否命题不一定为真.例如，原命题 假设a=0,那么ab=O是真命题，它的否命题 假设aQ那么ab工0是假命 题.3原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题 假设a=0,那么ab=0是真命题，它的逆否命题 假设ab工Q那么a工0是真 命题.4 从逻辑推理关系上看1丨假设

3、p= q且q p，那么p是q的充分而不必要条件；2假设qp且piq，那么p是q的必要而不充分条件；3假设 p q且q p或 p q且p 一 q那么 p是q的充要条件；4假设卩丄q且p，那么p既不是q的充分条件也不是q的必要条件 从集合与集合之间关系上看1假设A = B，那么A是B的充分条件;2假设A= B，那么A是B的必要条件;3A=B，那么A是B的充要条件；4假设AB且A，那么A既不是B的充分条件，也不是 B的必要条件三、难点知识剖析1对反证法的理解 反证法的理论根据是：原命题为真，那么它的逆否命题也为真在直接证明原命题有 困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立 用反证法证明命题的一般步骤是

4、第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形 作为参考第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的 n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立如要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否认形式表达的，如证明 2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明， 假设2是

5、方程2x+仁0的根，那么2X2+1应等于0,而2X2+1=5，产生矛盾，从而确定 2 不是方程2x+仁0的根成立；第三，命题用 至少的字样表达时，可用反证法证明，如证明ab bc至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设ab bc都不成立，即a=b且b=c,从这一条件出发推得矛盾，故 a=b,且b=c不成立，因此，ab bc至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白， 而它的逆命题易证，如1中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线 有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质.假设p表示命题,非p叫做命题

6、的否认如果原命题是 假设p那么q,那么这个原 命题的否认是“PU非q即只否认结论原命题的否认命题是 假设非p,贝V非q即否认条件又否认结论，例如 菱形的四 条边都相等的否认为菱形的四条边不都相等把菱形的四条边都相等作为原命题， 那么它的否命题是 假设四边形不是菱形，那么它的四条边不都相等 3 三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系对或的理解可联想到集合中并集的概念，曲=曲或兀中的 或它是指“X A或“X B中至少有一个是成立。(2)对且的理解，可联想到集合中 交集的概念，-或“中的且是指“X A或“X B这两个条件都要满足。(3)对 非的理解，可联想到集合中的 补集概念，假设命题中对应于集

7、合 P,贝血 题非P就应对应着集合 P在全集U中的补集CuP。4用集合观点来理解 充分条件必要条件充要条件(1)假设p q,那么p是q的充分条件；假设p q,那么p是q的必要条件。设A=x|p, B=x|q，如果A - B,就是x A那么x B,那么A是B的充分条件，即p q。如图：假设A=B那么A是B的充要条件，即p- q.5 结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决?简易逻辑?中一些问题例1、写出假设a、b0那么a0的否命题分析：“假设p那么q的否命题“假设p那么 q，它涉及了逻辑联结词的否认， 对此我们从集合角度来看，a0可表示为一个点集 A,用图形表示。如图，不满足“ a0的点a,

8、b，在阴影的另一局部，即。它可以看作是X轴及以下局部(b 0局部合起来构成，即两块区域的并集，a、b满足“ a0或b0那么a0或b0说明：“！且q的否认为 非p或非q，用集合的观点来解释，并结合图形，同学更容易 接受并理解。例2、对实数x、y、“ |x|+|y|是1x| , |y| w的什么条件？分析：从集合的角度判断，考虑集合A=(x,y)| |x|+|y| 与B=(x,y)| |x|冃y| b,那么ac2be2丄丄 假设ab,那么“ v 假设一个式子 是等式, 那么它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式 假设圆心到直线的距离等于半径，那么该直线是圆的切线 假设四边形的对角互补，那么该四边

9、形是圆的内接四边形 假设在二次函数y = ax2+bx+c中，b2-4aev 0,那么该二次函数图像与 x轴有公共点 分析：要判断命题的真假性，关键是看条件是否能推出结论，如果能，贝V是真命题，女口 果不能，那么是假命题写出其它的几个命题时，关键是分清条件和结论以及条件和结论 的否认.解：当c= 0时，ac2= be2,该命题为假命题逆命题：假设ac2 be2否命题：假设a0, bv0时汀;丄1逆命题：假设；v；，那么a b.为假如b 0, av 0时1 1否命题：假设a0, av 0时丄丄逆否命题：假设 I,，那么a0, bv 0时该命题为真，这是等式的性质逆命题：假设两个式子都乘以同一个数

10、，所得结果相等，那么这两个式子相等.为假，如把x和x2+1都乘以0后相等，但x工X+1 该命题为真 该命题为真 该命题为假，当b2-4acv 0时，二次方程ax2 + bx + c= 0没有实根因此二次函数y =ax2 + bx+ c的图像与x轴无公共点逆命题：假设二次函数 y=ax2 + bx+ c的图像与x轴有公共点，贝V b2 4ac否命题：假设二次函数 y=ax2 + bx+ c中，b2 4ac逆否命题：假设二次函数y= ax2 + bx + c的图像与x轴没有公共点，那么b2 4ac0为假.点评：1写出一个命题的逆命题，否命题及逆命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按 定义来写2

11、在判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假时，要利用原命题与其逆否命题的 等价性即同真同假，逆命题与否命题的等价性.例2、设集合A、B是全集U的两个子集，那么 A- B是：- - -11 -的解：假设A-B,用文氏图可知 T成立。假设-，比方A=B满足条件，但A工B不成立。所以A= B是-：的充分不必要条件。答案：A例3、-I假设是的必要而不充分条件，求实数 m的取值范围.分析：可以有两个思路：1先求出：和，然后根据，一，求得m的取值范围；2假设原命题为 假设灯，那么卩，其逆否命题是 假设p那么q，由于它们是 等价的，可以把求 卞是J的必要而不充分条件等价转换为求 p是q的充分而不必要 条件

12、.解法一可求出 /二；*二w 01 - 扒 10-可：E 二h E & | 工 1 + 賊或工 0)由厂是 打的必要而不充分条件，知人二A,它等价于解得m的取值范围是盜-;.解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于p是q的充分而不必要条件设p：jlxe|-2xilO)Fq B - (j: e 7? 11- ws j: 0) 0 一初 c_21 + 胡 b 10所以，AB,它等价于I同样解得m的取值范围是例4、以下三个方程：x2+4ax-4a+3= 0,x2+(a-1)x+a2= 0,x2+2ax-2a= 0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.分析：从正面入手，此题所要考虑的情况较

13、多，但其反面情况仅有一种情况，故可考虑用反证法的思想去求解解答：假设三个方程均无实数根，那么有(4a)2-4 -4a+3) v0,(a-1)2-4a2v 0,(2a)2-4 -2a) v 0.31 a 0,即 av-1,或 _由得 a(a+2)v0,即-2v av 0.M= (a|- 5 0,设命题甲为：两个实数 a、b满足|a b|2h;命题乙为：两个实数 a、b满足|a 1|h, |b 1|0 与 a2x2+ b2x + C20 的解集相同；命题 q:七 左 八：，那么命题q是命题p的A.充要条件B .充分但不必要条件C.必要但不充分条件D.既非充分也非必要条件5、A和B是两个命题，如果A

14、是B的充分但不必要条件，那么门A是门B的A.充分但不必要条件B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B. p且q为真C. 非p为真D .非q为假6.条件p:|x|=x,条件q: *那么p是q的7假设一 ，那么使|a|+|b|1成立的充分必要条件是B.C/1D.b2，条件q: 5x 6x2，那么- p是q的条件|1-| 、12、 p:30，假设p 是q 的充分而不必要条件，那么实数 m的取值范围是 13是 方程；- 厂I- 的一个根大于1,另一个根小于1的条件.三、解答题14、写出命题 假设a2b2,那么ab的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命 题的真假15、设二次函数f

15、(x)=ax 2+bx+c(a工中的a、b、c均为整数，且f(0), f(1)均为奇数，求 证：f(x)=0无整数根.16、假设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条 件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？答案及提示：1-10 CABDB ADDCB1、原命题与其逆否命题真.2、p为真，q为假，“ p或q为真.3、t |a b|=|(a 1) (b 1)| |a 1| + |b 1|0与一x2 + 3x 20的解集不同；又如x 2 + x+ 10与x2+ x + 30解集相同.5、“ =矿6、由|x|=x得，由-：得或广-，所以假设p成立那么q成立，而q成立而

16、p不一定成立，故p是q的充分不必要条件.7、 对于前3个选项，当为等式时，都有可能使|a|+|b|=1 ，即前3者都不是成立的充分 条件，应选D.8、原命题显然正确，否命题为“不是对顶角就不相等，是真命题.9、一个命题的逆命题与其否命题是互为逆否的.10、 至少有一个的反面是一个也没有，应选B .11、答案：充分但不必要条件提示：p: xv 3 或 x1, q: 2x3,那么qp,故宀，r，12、答案：0m齐E疋|才 1 +喝m 0/环但举芻A红耳醉 0,得 031 w 2,13、答案：充分但不必要条件.提示：设 贝 y 1_ 1 !- 1 F 14、 解：原命题：假设a b2，那么ab,逆命

17、题：假设ab,那么a2b2,否命题：假设a2 b2，那么a b,逆否命题：假设a b,那么a202,但-1 v 0,所以原命题为假.又因为-2 -3，但(-2) 2v (-3) 2，所以逆命题为假.根据原命题与逆否命题，逆命题与否命题等价的性质，这四种命题全为假15、证明：(1)设方程f(x)=0有一个整数根k,贝V ak2+bk=-c又因f(0)=c , f(1)=a+b+c均为奇数，所以有a+b为偶数.当k为偶数时，显然与式矛盾，当k为奇数时，设 k=2n+1(n Z),那么ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b)为偶数，也与式矛盾.所以方程f(x)=0无整数根.用反证法证明数学问题，

18、首先要反设，即假设结论反面成立，反设为：假设方程有整数根。一般地，如果结论中含有 无、至少、至多、都、不都等字样，那么往往要 考虑反证法.16、解：由题意，分析如以下列图所示.根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件.咼考解析逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是 为了培养学生的推理技能， 开展学生的思维能力.在高考中对这一局部内容主要是考查 充要条件、命题真伪的试题，主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解试题 以填空题、选择题为主，难度不大，主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解.例1、全国高考试题设命题甲为OS，命题乙为“-牛，那么A甲是乙的充分条件，但