高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)第六章平面向量及其应用单元测试A卷(原卷版+解析)

第六章平面向量及其应用单元测试卷（A卷）(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()A．a＝b B．a·b＝1C．a＝－b D．|a|＝|b|3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形4．下列命题中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→)) B.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝0 D.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))5．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→))等于()A.eq\o(AB,\s\up7(―→)) B.eq\o(BC,\s\up7(―→))C.eq\o(CD,\s\up7(―→)) D．06．已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))等于()A．11 B．5C．－1 D．－27．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．08．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))＋eq\o(OE,\s\up7(―→)) B.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))C.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝－eq\o(OF,\s\up7(―→))＋eq\o(OE,\s\up7(―→)) D.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝－eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么eq\o(EF,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))C．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))10．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－911．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c等于()A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)12．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不对13．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量eq\o(AB,\s\up7(―→))同向的单位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))14．已知向量eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°15．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9)C．(9,0) D．(0,9)16．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(―→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形17．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()A．－6 B．6C．3 D．－318．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)19．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，则边长c的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞)) B．(10，＋∞)C．(0,10) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为()A．7.5 B．7C．6 D．5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)21．若C是线段AB的中点，则eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________.22.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则eq\o(OD,\s\up7(―→))＝________.(用r1，r2，r3表示)23．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3eq\r(3)，则a与b的夹角为________．24．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝________.25．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B＝________.三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.(本小题满分8分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，试用a，b表示eq\o(DC,\s\up7(―→))，eq\o(BC,\s\up7(―→))，eq\o(MN,\s\up7(―→)).27．(本小题满分8分)在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长．28．(本小题满分9分)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k＞0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60°，求k的值．第六章平面向量及其应用单元测试卷（A卷）(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′解析：选A根据方向角的概念可知A正确．故选A.2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()A．a＝b B．a·b＝1C．a＝－b D．|a|＝|b|解析：选D两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．故选D.3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形解析：选B由sinA＝sinC，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形．故选B.4．下列命题中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→)) B.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝0 D.eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))解析：选D起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))；eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(BA,\s\up7(―→))是一对相反向量，它们的和应该为零向量，eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))＝0；0·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝0.故选D.5．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则eq\o(AO,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→))等于()A.eq\o(AB,\s\up7(―→)) B.eq\o(BC,\s\up7(―→))C.eq\o(CD,\s\up7(―→)) D．0解析：选Aeq\o(AO,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→)).故选A.6．已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))等于()A．11 B．5C．－1 D．－2解析：选Deq\o(AB,\s\up7(―→))＝(2，－3)，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(2,2)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＝2×2＋(－3)×2＝－2.故选D.7．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0解析：选C由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝eq\r(2)或－eq\r(2).故选C.8．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))＋eq\o(OE,\s\up7(―→)) B.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))C.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝－eq\o(OF,\s\up7(―→))＋eq\o(OE,\s\up7(―→)) D.eq\o(EF,\s\up7(―→))＝－eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))解析：选Beq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\o(EO,\s\up7(―→))＋eq\o(OF,\s\up7(―→))＝eq\o(OF,\s\up7(―→))－eq\o(OE,\s\up7(―→))＝eq\o(EO,\s\up7(―→))－eq\o(FO,\s\up7(―→))＝－eq\o(OE,\s\up7(―→))－eq\o(FO,\s\up7(―→)).故选B.9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么eq\o(EF,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))C．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(―→))解析：选Deq\o(EF,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AD,\s\up7(―→)))．故选D.10．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9解析：选Deq\o(AB,\s\up7(―→))＝(－8,8)，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(3，y＋6)．∵eq\o(AB,\s\up7(―→))∥eq\o(AC,\s\up7(―→))，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9.故选D.11．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c等于()A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选B∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2\r(2)sin30°,sin45°)＝2.故选B.12．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不对解析：选B∵a＝7，b＝10，c＝6，∴b>a>c，∴∠B为最大角．由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(72＋62－102,2×7×6)<0，∴∠B为钝角．故选B.13．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量eq\o(AB,\s\up7(―→))同向的单位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))解析：选A因为与eq\o(AB,\s\up7(―→))同向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up7(―→)),|\o(AB,\s\up7(―→))|)，|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(4－72＋1＋32)＝5，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，所以eq\f(\o(AB,\s\up7(―→)),|\o(AB,\s\up7(―→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).故选A.14．已知向量eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：选Aeq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(BA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝1，所以cos∠ABC＝eq\f(\o(BA,\s\up7(―→))·\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))||\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(3),2)，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.15．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9)C．(9,0) D．(0,9)解析：选AF＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F的终点为P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))＋F＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．故选A.16．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(―→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形解析：选C∵eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD为梯形．故选C.17．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()A．－6 B．6C．3 D．－3解析：选B由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故选B.18．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)解析：选B∵a∥b，∴－eq\f(2,1)＝eq\f(m,2)，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B.19．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，则边长c的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞)) B．(10，＋∞)C．(0,10) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))解析：选D∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC.∴0＜c≤eq\f(40,3).故选D.20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为()A．7.5 B．7C．6 D．5解析：选D∵bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，∴由余弦定理可得：b×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c2，整理可得：2c2＝2c3，∴解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)21．若C是线段AB的中点，则eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________.解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.∴eq\o(AC,\s\up7(―→))与eq\o(BC,\s\up7(―→))方向相反，模相等．∴eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＝0.答案：022.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则eq\o(OD,\s\up7(―→))＝________.(用r1，r2，r3表示)解析：eq\o(OD,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝r3＋r1－r2.答案：r3＋r1－r223．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3eq\r(3)，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3\r(3),2×3)＝eq\f(\r(3),2)，所以θ＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)24．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝________.解析：|a＋b|＝5eq\r(2)⇒a2＋2a·b＋b2＝50，条件代入得|b|＝5.答案：525．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B＝________.解析：∵sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°.∵a>b，∴A>B，∴B＝45°.答案：45°三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.(本小题满分8分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，试用a，b表示eq\o(DC,\s\up7(―→))，eq\o(BC,\s\up7(―→))，eq\o(MN,\s\up7(―→)).解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则eq\o(DC,\s\up7(―→))＝eq\o(AN,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(NC,\s\up7(―→))－eq\o(NB,\s\up7