数学史选讲(第二讲)古希腊数学

1、第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 主要内容主要内容希腊数学的先行者希腊数学的先行者毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派欧几里得与原本欧几里得与原本数学之神数学之神阿基米德阿基米德 希腊数学一般指从公元前公元前600年至公元年至公元600年间，年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们所创造的数学的数学家们所创造的数学。 希腊早期文明中心在雅典；公元前338年希腊诸帮被马其顿控制，文明中心转到亚历山大城（埃及）；公元前30年左右，罗马帝国完全控制希腊各国，文明中心转到罗

2、马（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊文明落下帷幕。根据历史分析，希腊数学可根据历史分析，希腊数学可进行如下分期：进行如下分期：一、古典希腊时期： 1、爱奥尼亚时期：公元前 600年公元前 479 年（爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派） 2、雅典时期：公元前 479 年公元前 330 年二、亚历山大里亚时期： 1、希腊化时期：公元前 330 年公元前 30 年 （欧几里德、阿基米德欧几里德、阿基米德、阿波罗尼斯） 2、罗马时期：公元前 30 年公元 640 年 其中最辉煌的时期是雅典时期和希腊化时期。一、希腊数学的先行者一、希腊数学的先行者 爱奥尼亚

3、学派：也称米利都学派。代表人物泰泰勒斯勒斯（Thales 约公元前 625 年公元前 547 年）是古希 腊最早的哲学家与科学家，号称希腊哲学鼻祖，又称希腊科学之父，还被称为古希腊的 7 个聪明人之一。 泰勒斯出生于小亚细亚的沿海城市米利都，他长期生活于此并组织了古希腊最早的学 派。他年轻时游历过叙利亚、埃及、巴比伦等很多地方。由于他多方面的才华，使他享有政 治家、律师、工程师、实业家、哲学家、数学家、天文学家、社会活动家等声誉。泰勒斯及他所开创的爱奥尼亚学派在数学上的主要贡献是，开创了论证数学的先河。他 发现并证明了下述几何定理： （1）圆被任一直径二等分； （2）等腰三角形的两底角相等；

4、（3）两直线相交，对顶角相等； （4）两个三角形有两个角和一条边对应相等，则全等； （5）内接于半圆的角为直角。此外，该学派还给出了数（自然数）是若干个 1 之和的算术基本定义。 二、毕达哥拉斯学派二、毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前 572 年公元前 497 年）出生于爱奥尼亚沿海靠近小 亚细亚西海岸的萨摩斯岛，据说曾师从泰勒斯。年轻时曾到埃及和巴比伦留学，可能到过印 度，返希腊后居住在离米利都不远的地方。公元前 530 年开始组建自己的学派，后迁居南部意大利的希腊油港克罗托内。在这里他 创办了著名的毕达哥拉斯学校，并发展成一个有秘密仪式和盟约、组织严密的团体。由于毕 达哥拉斯政治上倾向贵

5、族统治、反对民主制度，以致后来意大利的民主力量摧毁了该学校建 筑并迫使该团体解散，毕达哥拉斯本人也于 75 岁时被杀死。毕达哥拉斯学派形式上解散了， 但实际继续存在至少二百年之久。主要数学贡献主要数学贡献首创了对数的理论的研究：首创了对数的理论的研究：提出“万物皆数”的神秘主义数学哲学观；提出亲和数、完全数等概念； 提出“形数”的概念。几何方面的贡献：几何方面的贡献： 开创论证几何； 发现勾股定理（毕达哥拉斯定理）；发现正多面体；其他：用比例方法和面积贴合方法解二次方程，图形的等积变换等。 发现无理数发现无理数（引发第一次数学危机）万物皆数毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、

6、3、4，而10则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。 理论算术（数论的雏形） 完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（规定因数包括1但不包括该数自身）。他们发现的前几个完全数是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284则是一对亲和数，因为前者的因数和等于284，后者的因数和等于220。 后来，在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,

7、第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发现第六个完全数:8589869056. .2005年发现第42个梅审素数，从而有了第42个完全数。几何成就 使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。 正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。 毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇

8、宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 正五边形与五角星在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。 勾股数毕达哥拉斯数：一般形式之一：2221,22 ,221nnnnn222(, , ,xyzx y z两两互素）22222 ,( , ) 1, ,xab y ab z ab a b o abab 一 奇 一 偶无理数的发现毕达哥拉斯学派的信条是

9、“万物皆数”，这里的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“不可公度比不可公度比”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发现的是正五边形边长与对角线长不可公度不可公度。第一次数学危机不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。 例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。 ABCDE新比例论100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例论”，才用回避的方法暂时消除了“第一次危机”。新比例定义

10、：设A、B、C、D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积），C和D同类，若对任意两个（正）整数m和n，mA与nB的大小关系，取决于mC与nD的大小，则称A：B=C：D。 柏拉图学园柏拉图（Plato，公元前427-347年）是当时最著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌子：“不懂几何者免进”。值得注意的是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是这一时期最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的几何原本。 亚里士多德亚里士多德（A

11、ristotle，公元前384-322年）是柏拉图的学生和同事，相处达20年之久，公元前335年成立了自己的学派，以后曾是马其顿王亚列山大的老师。他是古典希腊时期最伟大的思想家，他的一些思想在数学史上影响很大。形式逻辑的建立亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，是古代百科全书式的自然科学家，也是对近代自然科学影响最大的古代学者。他的著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和消灭、天论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。 形式逻辑的建立亚里士多德创立了以三段论为中心的形式逻辑系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例

12、过渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。亚历山大时期的数学 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。 托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多

13、著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。 三、欧几里得与原本欧几里得与原本亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人。几何原本欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体

14、系。（课本）几何原本的影响几何原本对后来数学思想有重要影响：（1）几何原本是对古希腊数学的系统总结，标志着初等数学理论体系的形成； （2）几何原本开创了数学上公理法的先河，对数学发展产生极深远的影响； （3）几何原本为几千年来的数学教育提供了蓝本和教科书。 两千多年来，几何原本被翻译成世界上几乎每个民族的文字。最早将几何原本翻译成中文的是我国明代数学家徐光启和意大利传教士利玛窦，当时仅翻译了前 6 卷。（4）导致非欧几何的诞生。 四、数学之神四、数学之神阿基米德阿基米德阿基米德（公元前287年公元前212年），古希腊哲学家、数学家、物理学家。从小就善于思考，喜欢辩论。早年游历过古埃及，曾在亚历

15、山大城学习。据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天在埃及仍旧使用着。第二次布匿战争时期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手。他一生献身科学，忠于祖国，受到人们的尊敬和赞扬。阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以阿基米德从小受家庭影响，十分喜爱数学。大概在他九岁时，父亲送他到埃及的亚历山大城念书。亚历山大城是当时世界的知识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师欧几里德欧几里德，在此奠定了他日后从事科学研究的基础。主要作品阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿

16、。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积，其体例深受欧几里德几何原本的影响，先是设立若干定义和假设，再依次证明。作为数学家，他写出了论球和圆柱、圆的度量、抛物线求积、论螺线、论锥体和球体、沙的计算数学著作。作为力学家，他著有论图形的平衡、论浮体、论杠杆、原理等力学著作。主要成就阿基米德是他那个时代最伟大的科学家。他的贡献遍及各个学科： 力学：力学：给出计算平面形、立体形重心的方法，总结出杠杆杠杆一般原理； 流体力学：流体力学：发现浮力定律；以上使阿基米德成为力学的奠基者。 天文学：天文学：制造过一台行星仪； 光学：光学：著作镜面反射，制造过大型反射镜。给我一个支点和

17、一根给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。能撬动整个地球。在数学上，罗马科学史家普利尼称他为“数学之神”，人们常将他与牛顿、高斯并称为数 学史上的三个最伟大的数学家。阿基米德在数学上的主要贡献：（1）研究大数：沙粒计算填满宇宙的沙粒数相当于 1063 ，他还曾用过相当于 101017 的大数。（2）几何学方面：发现大量立体体积公式，他生前证明的一个最自以为得意的定理是： “以球的直径为底半径和高的圆柱，其体积是球体积的二分之三，其表面积也是球表面积的 二分之三”。他用匀速转动和匀速直线运动合成阿基米德螺线。（3）数学方法论方面：他曾用“原子法”和“穷竭法”计算面

18、积和体积；他首创用“平衡法” 证明数学问题（如证明球体积公式）；他还用“积分”求和法求面积和体积；他通过引入特征 三角形找到求曲线的一般方法；他把求极值问题归结为求切线问题；他还采用类似现在的“插 值法”计算螺线长度。他的这些思想方法使他成为微积分的先躯。后来微积分开创者的许多 思想都源于阿基米德。“穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。 阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际上体现了