三角形内角和定理证明_终结版

1、同学们，你们好！这节课我们要掌握三角形内三角形内角和定理角和定理，并初步学会利用辅助线证题利用辅助线证题，同时培养大家对图形的观察、猜想和论证能力。 第六章证明（一）第六章证明（一） 三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明（北师大版数学八年级下册） 在一个直角三角形里住着三个内角，平在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这

2、是不可能这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来的，否则，我们这个家就再也围不起来了了”“”“为什么？为什么？” ” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争用橡皮筋构成ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如下图），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：A1BC、A2BC、A3BC其内角会产生怎样的变化呢？其内角会产生怎样的变化呢？我们先观察如下的实验：我们先观察如下的实验： 看实验：请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少度？看实验：请同学们猜一猜：三角形的内角和可能

3、是多少度？想点想点当点当点A离离BC越来越近时越来越近时,A越来越接近越来越接近180,而其他两角而其他两角B和和C 越来越接近于越来越接近于 0 当点当点A远离远离BC时，时，A越来越趋近于越来越趋近于0,而而AB与与AC也逐渐趋向平行，也逐渐趋向平行，这时这时,B、C逐渐接近为互补的同旁内角逐渐接近为互补的同旁内角.即即B+C180.是180把三个角拼在一起试试看？把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢你有什么办法可以验证呢?言必有言必有“据据”: 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.言必有言必有“ “据据” ”: :我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的

4、和等于1801800 0. .你还记得这个结论的探索过程吗你还记得这个结论的探索过程吗? ?想好就证明一下想好就证明一下吧！吧！EDABC已知：如图，已知：如图，ABC.ABC.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180证明：证明：延长延长BCBC到到D,D,过过点点C C作作CEAB CEAB 则则ACE=AACE=A两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 例题例题 欣赏欣赏 这里的这里的CDCD，CECE称为辅助线，通常称为辅助线，通常辅助线画成虚线辅助线画成虚线 DCE=BDCE=B两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等BCA+A+B=180BCA+A+B=180等量代

5、换等量代换BCA+ACE+ECD=180BCA+ACE+ECD=180平角定义平角定义三角形内角和定理三角形内角和定理- - 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时, ,小明的想法是小明的想法是把三个角把三个角“凑凑”到到A A处处, ,他过点他过点A A作直线作直线PQBC(PQBC(如图如图),),他的想法可以吗他的想法可以吗? ?w小明的想法已经变为现实，小明的想法已经变为现实， 由此你受到什么启发由此你受到什么启发? ?w你有新的证法吗你有新的证法吗? ?与同伴交流与同伴交流w证明证明：过点：过点A作作PQBC，则

6、，则ABC 1=B(两直线平行两直线平行,内错角内错角相等相等) 2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义) BAC+B+CC=1800 (等量代换等量代换).PQ231ABC证明证明：过：过A A作作AEBCAEBC，B=BAEB=BAE( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) )（EAB+BACEAB+BAC）+C=180+C=180( (两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补) )B+C+BAC=180B+C+BAC=180( (等量代换等量代换) )E开启 智慧 已知：如图，已知：如图，ABC. 求

7、证：求证：A +B +C=180ABCPQR证明证明：过点：过点P P作作PQACPQAC交交ABAB于于Q Q点，点， 作作PRABPRAB交交ACAC于于R R点。点。四边形四边形AQPRAQPR是平行四边形是平行四边形 （平行四边形的定义）（平行四边形的定义） QPR=AQPR=A （平行四边形的对角相等）（平行四边形的对角相等） RPC=BRPC=B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QPB=CQPB=C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）QPB+QPR+RPC=180QPB+QPR+RPC=180（1 1平角平角=180=180）A+B+C=180A

8、+B+C=180（等量代换）（等量代换） 已知：如图，已知：如图，ABC. 求证：求证：A +B +C=180开启 智慧你还有其他方法来证明三你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？角形内角和定理吗？添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（1234（图5）AE）12BCD图6 TSNABCPQRMTSNABCPQRMABCPQR（1）（2）（3） 试一试试一试在证明三角形内角和定理时，是否可在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角以把三角形的三个角“

9、凑凑”到到BCBC边上边上的一点的一点P P？（如图（？（如图（1 1）如果把三个）如果把三个角角“凑凑”到三角形内一点呢？（如图到三角形内一点呢？（如图（2 2）“凑凑”到三角形外一点呢？到三角形外一点呢？（如图（如图（3 3）三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.w三角形内角和定理三角形内角和定理的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B)

10、.wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论,以后可以直接运用. ABC1 1、直角三角形的两锐角之和是多、直角三角形的两锐角之和是多少度少度? ?等边三角形的一个内角是多等边三角形的一个内角是多少度少度? ?请证明你的结论请证明你的结论. . 随堂练习随堂练习ABC结论结论: : 直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余； 等边三角形等边三角形每个每个内角是内角是6060 以后可以直接运用以后可以直接运用. .ABC证明证明：在在ABCABC中中A+B+C=180A+B+C=180( (三角形内角和定理）

11、三角形内角和定理） C= 90C= 90（已知）（已知）A+B+90A+B+90=180=180（等量代换）（等量代换）A+B=180A+B=1809090= 90= 90 （等式性质）（等式性质）即即A+B=90A+B=90ABC已知：在已知：在ABCABC中，中，C C9090 求证：求证：A AB B90 90 随堂练习随堂练习证明：证明： DEBCDEBC（已知）（已知）AED=CAED=C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）C=70C=700 0（已知）（已知）AED=70AED=700 0（等量代换）（等量代换）A+AED+ADE=180A+AED+ADE=1800

12、 0（三角形的内角和定理）（三角形的内角和定理） A=60A=600 0（已知）（已知）ADE=180ADE=1800 0-60-600 0-70-700 0=50=500 0（等量代换）（等量代换） 即即ADE=50ADE=500 0DCBAE（第（第2题）题）2 2、已知：如图在、已知：如图在ABCABC中，中，DEBC,A=60DEBC,A=600 0, C=70, C=700 0. . 求证：求证： ADE=50ADE=500 0 随堂练习随堂练习3 3、如图，直线如图，直线ABCD,ABCD,在在ABAB、CDCD外有一点外有一点P P，连结连结PBPB、PDPD，交，交CDCD于于

13、点点. . 则则 B B、 D D、 P P 之间是否存在之间是否存在一定的大小关系？一定的大小关系？ 随堂练习随堂练习A AB BC CP PD DE E它们关系是怎样的？并加以证明它们关系是怎样的？并加以证明.7060 三角形中最大的角是三角形中最大的角是 ，那么这个三角形那么这个三角形 是锐角三角形。（是锐角三角形。（ ）2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（ ）3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（一个等腰三角形一定是锐角三角形。（ ）4 一个三角形最少有一个角不大于一个三角形最少有一个角不大于 。（ ）动脑筋：动脑筋： （3 3）已知等腰三角形的一个底角是）已知等腰三角形的一个底角是5050，则它的顶角是，则它的顶角是 度；度；（4 4）已知等腰三角形的顶角是）已知等腰三角形的顶角是7070，则它的底角是，则它的底角是度；度；（5 5）已知等腰三角形的一个角是）已知等腰三角形的一个角是5