第10章 含有耦合电感电路

1、第第1010章章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l重点重点 1. 1.互感和互感电压互感和互感电压 2. 2.有互感电路的计算有互感电路的计算 3. 3.空心变压器和理想变压器空心变压器和理想变压器作业（作业（P243）:3,6,9,14,15,2010.1 10.1 互感互感1. 1. 互感互感线圈线圈1 1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux) (磁通磁通: 通过磁场中一个面的磁力线的数目）通过磁场中一个面的磁力线的数目）i1 11 21N1N2211111 si漏磁通漏磁通互感磁通互感磁通自自感感磁磁链链 11111 N

2、 互互感感磁磁链链 21221 N 定义定义 ：磁链磁链 (magnetic linkage)， =N i1 11 21N1N2当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质( (空心线圈空心线圈) )时时， 与与i 成正比成正比, , H)( 1111iLLiL 。单单位位亨亨为为自自感感系系数数称称定定义义121212121iNiM M21：线圈：线圈1对线圈对线圈2的互感系数。的互感系数。单位：单位：H122222 si同理有同理有：212121212iNiM M12：线圈：线圈2对线圈对线圈1的互感系数。的互感系数。漏磁通漏磁通互感互感磁通磁通单位：单位：H+u11+u21i2 11 21N

3、1N2 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：互磁链的代数和： 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 注注（1 1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关线圈中的电流无关(2) 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，有时，有 M12= M21= M。+u11+u21i2 11 21N1N2i12. 2. 耦合因数耦合因数 (coupling coefficient) 用耦合因数用耦合因数k 表示两个线表示两个线

4、圈磁耦合的紧密程度。圈磁耦合的紧密程度。121def LLMk当当 k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即 11= 21 ， 22 = 121)(2211211222112121221 iLiLMiMiLLMLLMk一般有：一般有：耦合因数耦合因数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象互感现象利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰 dddd111111tiLtu tiMtudd dd 12121 自感电压自感电压互感电压互感电压+u11+u21i1 11 21N1N2当当i i1 1为时

5、变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。圈两端产生感应电压。当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律：3. 3. 耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjjILIMUIMILUtiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 当两个线圈同时通

6、以电流时，每个线圈两端的电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：均包含自感电压和互感电压：4.4.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合右螺旋定则，其表达式为右螺旋定则，其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式上式 说明，对于自感电压，由于电压电流为同一线说明，对于自感电压，由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。写出，可不用考虑线圈绕向。i1u11对

7、互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的为解决这个问题引入同名端的概念。概念。 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端i1i2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注

8、意：线圈的同名端必须两两确定。+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 s确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出) )时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加， 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名

9、端，就可以利用上面的结论来加以判断。确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。当断开当断开S时，如何判定？时，如何判定？(2) (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。由同名端及由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。tiMudd121 tiMudd

10、121 i1*u21+Mi1*u21+MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写写出出图图示示电电路路电电压、压、电电流流关关系系式式例例i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,10 2211tutuMLLR和和求求已已知知 tstVstVtiMtu2 021 1010 10dd)(12解解tstVtstVtt

11、iLiRtuiRtu2 021 150 10010 50 100dd)()(111111 tsttstti2 021102010101tiLtudd)(11 10.2 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算1. 1. 耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1） 顺接串联顺接串联tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudd dd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 iRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦等效电路（2 2） 反接串联反接串联MLLLRRR2 2121 tiLRitiMLLiRRiRtiMt

12、iLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 )(212121LLLLM 02 21MLLL所以iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+121def LLMk 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：4反反顺顺LLM 全耦合时全耦合时 21LLM 221212121)(22LLLLLLMLLL 当当 L1=L2 时时 , M= L1=L24M 顺接顺接0 反接反接L=互感的测量方法：互感的测量方法：MLLL221 顺接：顺接：MLLL221反接：反接： 在正弦激励下：在正弦激励下：*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj

13、 M U I )2(j)(2121IMLLIRRU+*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：(a) (a) 顺接顺接(b) (b) 反接反接MMZZZZZZIUZ221221 相量形式的方程为相量形式的方程为22212111 )j(jj)j( ILRIMUIMILRU 21III 221211 IZIZUIZIZUMM相量模型相量模型（1） 同侧并联同侧并联2. 2. 耦合电感的并联耦合电感的并联则则令令,j,j,jMZ

14、LRZLRZM 222111ML1L2uiR1*i2i1*+j Mj L2UI1I+*R2R1j L1R2MMZZZZZZIUZ221221 相量形式的方程为相量形式的方程为22212111 )j(jj-)j( ILRIMUIMILRU 21III 221211 IZIZUIZIZUMM若若R1=R2=0（2） 异侧并联异侧并联j Mj L2UI1I2I+*R2R1j L1相量模型相量模型则则令令,j,j,jMZLRZLRZM 2221110 2)(21221 MLLMLLLeqML1L2uiR1*i2i1*+3.3.耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效（1 1） 同名端为共端的同名端为共端

15、的T T型去耦等效型去耦等效*j L1 I1 I2 I123j L2j M21113 jj IMILU12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML j (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)（2 2） 异名端为共端的异名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML *Mi2i1L1L2ui+*Mi2i1L1L2u+u+j

16、 (L1M) I1 I2 Ij Mj (L2M)j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)4. 4. 受控源等效电路受控源等效电路2111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u+u+j L11 I2 Ij L2+2 IMj1 IMj+2 U+1 U例例abL 求等效电感求等效电感M=3H6H2H0.5H4HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H2H0.5H7Hab-3HLab=2+7+9/(-3)+0.5=5H4H3H2H1Hab3HLab=1+3/(2+4)+3=6H解解5. 5. 有互感电路的计算有互感电路的计算 (1) (1) 在正弦稳态情况下，有互

17、感的电路的计算仍应用前面在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面 介绍的相量分析方法。介绍的相量分析方法。 (2) (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。 (3) (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。方法：方法：31111)(ILjILjR213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1解解2IMj3IMjSU32222)(ILjILjR31IMjIMj1I k2211321)1(ILjILjICjLjLj)()(2313IIMjIIMj0(1) 不考虑互感不考虑互感(2) 考虑互感考虑

18、互感列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例1例例2 2求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R113131123112ILjIMjIMjIMjUoc 解解1 1)()(3131131231232MLLjRUMMMLjS 作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，( (一对一对消一对一对消):):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 解解2 2L1M12

19、 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(313111 MLLjRUIS )()(3131131231232MLLjRUMMMLjUSoc 例例3 3要使要使i=0，问电源的角频率为多少？问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R + SUIMZ*L1M L2MC R + SUIZM解解CM 1 当当MC1 0 I10.3 10.3 空心变压器空心变压器（air-core transformer）*j L11 I2 Ij L2j M+S UR

20、1R2Z=R+jX 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1. 1. 空心变压器电路空心变压器电路原边回路原边回路副边回路副边回路2. 2. 分析方法分析方法（1 1） 方程法分析方程法分析*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-)

21、j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1， 称为原边回路阻抗称为原边回路阻抗Z22=(R2+R)+j( L2+X)，称为副边回路阻抗称为副边回路阻抗回路方程：回路方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM )(22211S1 ZMZUI 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（2 2）等效电路法分析）等效电路法分析11S. jZUMUOC*j L11 I2 Ij L2j M+S UR

22、1R2Z=R+jXlllXRXRXMXRRMXRMZMZjj j)( 22222222222222222222令令Zl= Rl+j Xl2222222XRRMRl 2222222XRXMXl 1 I+S UZ11222)(ZM副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引入阻抗。引入电阻。恒为正引入电阻。恒为正 , , 表示副边回表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。路吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。引入电抗。负号反映了引入电抗负号反映了引入电抗与与副副边电抗的性质相反。边电抗的性质相反。原边等效电路原边等效电路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。

23、从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 : :电源发出有功功率电源发出有功功率 P= I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在副边，由互感传输。消耗在副边，由互感传输。111IMjZUMU Soc j112)(ZM原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。副边开路时，原边电流在副边产生副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。的互感电压。2 I+oc UZ2211

24、2)(ZM副边等效电路副边等效电路j L1+S UR1R2Z*j L2j M1 I2 Ij L1+S UR2Z2 Ij L2*j MR11 IR1R2)(1MLj Mj ZSU+-)(2MLj （2 2）去耦等效法分析）去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。路，再进行分析。例例1全耦合互感电路如图，求电路初级端全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解解1111 jLZ 222 jLZ 22222)(LMjZMZl )1()1( 21212122111kLjLLML

25、jLMjLjZZZlab 解解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路例例2L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 问问：R2=？能吸收最大功能吸收最大功率率, , 求最大功率。求最大功率。V 010o sU解解1 10)1 j(11111CLRZ 222222)1 j(RCLRZ 2222400)(RZMZl 10 106 6rad/s,* *j

26、L1j L2j M+S UR1j C2R2j C1 100 21LL 1001121CC 20 M 应用原边等效电路应用原边等效电路+S U10 2400R当当21140010RZZl R2=40 时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 解解2应用副边等效电路应用副边等效电路4010400)(112ZM+oc UR240)(112 ZM VjjZUMjUSOC2010102011 当当40)(1122ZR时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 10)1 j(11111CLRZ 10.410.4 理想变压器理想变压器（ideal transfo

27、rmer） 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2 2）全耦合）全耦合（1 1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（3 3）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121, 2, 1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误

28、差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。 i1122N1N2 2211212.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu 111dtdNdtdu 222nNNuu 2121*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNNuu 2121（2 2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化

29、条件： 121LLMk nLLL 21211NN ,0nLLLMtt1)(i)(i12121)(1)(21tinti 若若i1、i2一个从同名端流入，一个一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：从同名端流出，则有：)(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型（3 3）变阻抗关系）变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 *1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z 理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。小，不改变阻抗的性质。注注（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的

30、特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup（a a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。（4）功率性质）功率性质表明：表明：例例1已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻负载电阻RL=10 。为使为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。n2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100

31、， n=10 .* *n : 1RL+uSRS应用变阻应用变阻抗性质抗性质例例21 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：列方程：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U方法方法2：阻抗变换：阻抗变换V0100 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 101o112 UUnU方法方法3：戴维南等效：戴维南等效:ocU求求1 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +

32、V010o 1 1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 求求Req：Req=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100 50 V033.3350501000100oo2 UReq* *1 : 101 1 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 补充：补充： 实际变压器的电路模型实际变压器的电路模型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合， k 1，且且L1，M，L2。除了用具有互感的电路来分析计算以外，除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示

33、。还常用含有理想变压器的电路模型来表示。1.1.理想变压器理想变压器( (全耦合，无损，全耦合，无损， = 线性变压器线性变压器) ) 21UnU 211InI 21nuu 211ini i1*+_u1+_u2i2n:1理想变压器模型理想变压器模型2.2.全耦合变压器全耦合变压器(k=1，无损无损 ， ， 线性线性) )由于全耦合，所以仍满足：由于全耦合，所以仍满足：212121LLNNnUU *j L11 I2 Ij L2j M+2 U+1 U21111 j1InULI 全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L11 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器理想变压器L1：

34、激磁电感激磁电感 (magnetizing inductance ) 0I（空载激磁电流）（空载激磁电流）2111 j j IMILU 又因又因3.3.无损非全耦合变压器无损非全耦合变压器( (忽略损耗，忽略损耗，k 1， 线性线性) ) 21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2S11d dd dd ddd111111udtdiLttttNuS S22d dd dd ddd222222udtdiLttttNuS SS2211 线圈中的磁通看成是漏磁线圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即：通加全耦合磁通，即：全耦合全耦合 磁通磁通在线性情况下，有：在线性情况下，有：L1S, L2S：漏电感漏电感(leakage inductance)由此得无损非全耦合变压器的电路模型：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：* *L1+n : 1L1SL2Si1u1u2i2+u1+u2全耦合变压器全耦合变压器S11d dd dd ddd111111udtdiLttttNuS S22d dd dd ddd222222udtdiLtttt