第13讲 方向导数及梯度

1、怎么办怎么办1. 函数沿某个方向的变化率的问题；函数沿某个方向的变化率的问题；2. 函数沿哪个方向变化最快的问题函数沿哪个方向变化最快的问题. .1？第三节（3） 方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度2OxyP0j jP x yr r 1 1定义定义 设二元函数设二元函数( ,)f x y在点在点000Pxy(,)的邻域的邻域0U P()有定义有定义, ,l为从为从0P出发的出发的射线射线, ,00(,)P xx yy 为为l上且含于上且含于0()U P存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数f在点在点0P沿着沿着 方向方向l的方向导数的方向导数, ,0Pfl 记作记作

2、 . .内的任一点，内的任一点，r r表示表示与与的距离的距离. .若极限若极限P0P220000000),(),(lim)()(limyxyxfyyxxfPfPfrrr一、方向导数一、方向导数3lrr)()(lim000pfPflfpp几何上有何意义呢？2200000),(),(limyxyxfyyxxfrxz y0lr r y xr r zPP0z = f (x,y) x yQMN2. 2. 方向导数的几何意义方向导数的几何意义rr)()(lim000pfPflfppS42200000),(),(limyxyxfyyxxfr函数关于距离的变化率53. 3. 方向导数的计算方向导数的计算全增

3、量()()0000,f xx yyf xy 0PlPx ()()0000,f xx yyf xyr r 00( )()()xyxyofPfPr rr rr rr r y 220000000),(),(lim)()(lim0yxyxfyyxxfPfPflfpprrr若函数 在 P0 点处可微f全增量)()()(00royPfxPfyx6如果方向如果方向l 与坐标轴的夹角分别与坐标轴的夹角分别为为 和和 ，则有，则有 cos ,cosxy r rr r 0PlPx y 00()cos()cosxyfPfP 00( )()()xyxyofPfPr rr rr rr r 2200000)()(),()

4、,(limyxyxfyyxxfrrrrrr)()()(lim000oypfxpfyx3. 3. 方向导数的计算方向导数的计算7定理定理若函数若函数 在点在点 可微可微, ,则则 在在 处沿任一方向处沿任一方向f000P xy(,)f0Pl的的方向导数都存在方向导数都存在, ,且且00000(,)cos(,)cos,xyPffxyfxyl 其中其中 为方向为方向 的方向余弦的方向余弦. .cos ,cosl推广推广 若函数若函数 在点在点 可微可微, ,则则 在在 处沿处沿f0000(,)P xy zf0P任一方向任一方向 l 的的方向导数都存在方向导数都存在, ,且且0000000000(,)

5、cos(,)cos(,)cos ,xyzPffxy zfxy zfxy zl 其中其中 为方向为方向 的方向余弦的方向余弦. .cos ,cos,cos l3. 3. 方向导数的计算方向导数的计算83. 3. 方向导数的计算方向导数的计算例例1：求函数求函数 在点在点(1,1)处沿着方向处沿着方向的方向导数。的方向导数。 22( , )22xyf x y :(3,4)l57)(A43)(B47)(C53)(D#201304240393. 3. 方向导数的计算方向导数的计算例例1：解：解：根据定理，函数在根据定理，函数在(1,1)处沿此方向处沿此方向的的方向导数为：方向导数为：(1,1)(1,1

6、)cos(1,1)cosxyfffl 求函数求函数 在点在点(1,1)处沿着方向处沿着方向的方向导数。的方向导数。 22( , )22xyf x y :(3,4)l3 4(cos ,cos)( , )5 5 方向方向 的方向余弦为的方向余弦为:(3,4)l347555 引例引例10指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A函数)ln(22zyxu(96考研考研)41)(A#201305040321)(B1 )(C31)(D练习题练习题 1. 11指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d

7、函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研), ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu214. 4. 方向导数和偏导数的关系方向导数和偏导数的关系方向导数存在 偏导存在12两者有关系吗思考思考1 1：（A）存在（B）不存在#2013050401131.1.若函数若函数 在一点在一点 的偏导数的偏导数 存在，存在，那么它沿那么它沿x轴正、负方向的方向导数存在吗？轴正、负方向的方向导数存在吗？( , )zf x y 00(,)xyxf假设函

8、数在假设函数在 P0点处的点处的偏导数存在偏导数存在，若取，若取 lx+ 为为 x 轴的正方向，轴的正方向，若取若取 lx-为为 x 轴的负方向，轴的负方向，0Pfx 0Pfx rr)()(lim000pfPflfppxrr)()(lim000pfPflfppxxyxfyxxfx),(),(lim00000 xyxfyxxfx),(),(lim0000014152.2.若函数若函数 在一点在一点 沿沿x轴正、负方向的轴正、负方向的方向导数都存在，能保证在这点的偏导数方向导数都存在，能保证在这点的偏导数 存在吗？存在吗？( , )zf x y 00(,)xyxf思考思考2 2：（A）能（B）不能

9、#2013050402讨论函数讨论函数在在 (0,0)点处的偏导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？方向导数是否存在？22(,)fxyxy 解：解：不存在。不存在。1 20000 00 0(, )( , )( , )limlimxxxxfxffxx rr)0 , 0(),(lim0)0 , 0(fyxflfrr220)()(limyx16连续偏导连续可微分偏导存在小结小结 0001sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf000),(222222yxyxyxxyyxf方向导数存在 17183. 3.当偏导数存在且连续时，它们正好是两个特殊方向当偏导数存在且连续时，它

10、们正好是两个特殊方向的方向导数，并由它们的线性组合，可得出任一方向的方向导数，并由它们的线性组合，可得出任一方向的方向导数。的方向导数。（A）对（B）不对思考思考3 3：#2014041401二、梯度二、梯度00()cos()cosxyfPfP 0Pfl 19函数沿某个方向的函数沿某个方向的 变化率的问题；变化率的问题；2. 函数沿哪个方向变化函数沿哪个方向变化 最快的问题最快的问题. .方向导数公式coscosyfxflf令向量yfxfG,)cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf二、梯度二、梯度20方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：

11、),cos(0lGG)1(0l0lGlf.0方向上的投影在是lG:GGlfmax21,0方向一致时与当Gllf思考思考4 4：（A A）增加）增加（B B）减小）减小#2013050404,0方向一致时与当Gl方向导数取最大值，此时方向是函数（ ）最快方向.（C C）不确定）不确定),cos(0lGG)1(0l0plfrr)()(lim000PfPflfpp22231. 1. 定义定义, fadrg即fadrg同样可定义三元函数),(zyxf),(zyxP称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度yfxf,jyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G向量fadrgzfyfxf,kzfj

12、yfixffadrg方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值24例例2 2求函数求函数 在点在点 处的梯度处的梯度22zxy (1,2)4 , 2)(A)2 , 1)(B)4 , 1)(C)2 , 2)(D#2013042404例例2 2求函数求函数 在点在点 处的梯度处的梯度22zxy (1,2)(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)(2 )2, (2 )4,zzxyxy 解：解：分析：求梯度，实际上是求一个向量，它的分量是函数分析：求梯度，实际上是求一个向量，它的分量是函数对各个变量的偏导数对各个变量的偏导数.(1,2)(2,4)2(1,2).grad f 因此，因此，26

13、练习题练习题 2. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2,2, 1 (92)(A(92考研考研)2, 1, 1 (92)(B)2,2, 1 (72)(C)2, 1, 1 (72)(D#201305040527练习题练习题 2. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)28方向导数何时最小？最方向导

14、数何时最小？最小值是多少？方向导数小值是多少？方向导数可以为零吗？可以为零吗？ 当方向与梯度的方向当方向与梯度的方向相反时，所对应的方相反时，所对应的方向导数最小；当方向向导数最小；当方向与梯度方向垂直时，与梯度方向垂直时，方向导数为零方向导数为零.面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线 . , ),(yxfz 对函数2. 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义山HHH等高距等高距等高线等高线等高面等高面3030,不同时为零设yxffL*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设PPyxff)

15、,(CyxfL),(:*L*上点P 处的切向量为 Pxyff),(函数在一点的梯度垂直函数在一点的梯度垂直于该点等值线，并且指于该点等值线，并且指向函数增大的方向向函数增大的方向31AB练习题练习题 4. 则（1）哪条路径更陡峭如图为一座小山的等高线图，A，B为两条路径ABAA)(AABB)(BAAC)(BABD)(#2014041403（3）哪条路径可能有溪流（2）哪条路上可以更好地看周围乡村景色323. 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)33练习题练习题 3. )ln(22yxz) 1 , 1 (处,沿函数在该点梯度方向的方向导数为( ) 函数 在点22)(A2)(B1 )(C0)(D#2013050406问题的回答问题的回答山