测量误差与数据处理基础ppt课件

1、第二章第二章 丈量误差与数据处置根底丈量误差与数据处置根底第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算第四节第四节 误差的综合误差的综合第五节第五节 丈量结果的数据处置丈量结果的数据处置X-X-被丈量被丈量Q-Q-规范单位规范单位x0-x0-被丈量的真实数值被丈量的真实数值 x-x-丈量值丈量值 丈量是借助于公用的技术和工具，丈量是借助于公用的技术和工具，经过实验的方法，把被丈量与同性质经过实验的方法，把被丈量与同性质的规范量进展比较，求取二者的比值，的规范量进展比较，求取二者的比值，从而得到被丈

2、量数值大小的过程。从而得到被丈量数值大小的过程。丈量的根本方程式丈量的根本方程式0XxQXxQ补充补充 丈量的概念丈量的概念丈量是借助于仪器或仪表，依托实验和计算方法丈量是借助于仪器或仪表，依托实验和计算方法对被丈量获得定性或定量信息的认识过程。对被丈量获得定性或定量信息的认识过程。补充补充 丈量的概念丈量的概念丈量是借助于仪器或仪表，依托实验和计算方法丈量是借助于仪器或仪表，依托实验和计算方法对被丈量获得定性或定量信息的认识过程。对被丈量获得定性或定量信息的认识过程。 检测技术比上述的丈量定义有更加广泛的含义。它是指下检测技术比上述的丈量定义有更加广泛的含义。它是指下述的全面过程：按照被丈量

3、的特点，选用适宜的检测安装与实述的全面过程：按照被丈量的特点，选用适宜的检测安装与实验方法，经过丈量和数据处置及误差分析，准确得到被丈量的验方法，经过丈量和数据处置及误差分析，准确得到被丈量的数值，并为进一步提高丈量精度，改良实验方法及丈量安装性数值，并为进一步提高丈量精度，改良实验方法及丈量安装性能提供可靠的根据。能提供可靠的根据。一切丈量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。一切丈量过程都包括：比较、示差、平衡、读数四个步骤。补充补充 丈量的根本方法丈量的根本方法规范量规范量规范计量单位如米尺、光栅尺、规范计量单位如米尺、光栅尺、激光、激光、 绝对丈量绝对丈量定值规范量如某一固定尺寸

4、定值规范量如某一固定尺寸 相对丈量相对丈量1) 1) 直接丈量直接丈量直接将被丈量与规范量进展比较直接将被丈量与规范量进展比较- 绝对丈量：绝对丈量：采用仪器、设备、手段丈量被丈量，直接得到丈量值采用仪器、设备、手段丈量被丈量，直接得到丈量值丈量结果：丈量结果：20.1 mm- 相对丈量：相对丈量：将被丈量直接与基准量比较，得到偏向值将被丈量直接与基准量比较，得到偏向值特点：简单、直观、明了；特点：简单、直观、明了； 丈量精度不高丈量精度不高基准量：基准量：20.00 mm丈量值：丈量值：+0.08 mm结结 果：果：20.08 mm特点：精度高；复杂、本钱高、要求高特点：精度高；复杂、本钱高

5、、要求高补充补充 丈量与被丈量有一定函数关系的参量，被丈量由计算获得。丈量与被丈量有一定函数关系的参量，被丈量由计算获得。如测导线的导电率如测导线的导电率：Rdl24补充补充 2) 2) 间接丈量间接丈量3) 3) 组合丈量组合丈量按照所用仪表和比较过程特点分类按照所用仪表和比较过程特点分类(1) (1) 偏向法：偏向法： 利用丈量仪表的指针相对于刻度的偏向位移直接表利用丈量仪表的指针相对于刻度的偏向位移直接表示丈量的数值示丈量的数值 特点：偏向式丈量简单、迅速，但精度不高，特点：偏向式丈量简单、迅速，但精度不高， 这种丈量方法广泛运用于工程丈量中。这种丈量方法广泛运用于工程丈量中。补充补充

6、偏向式丈量、零位式丈量及微差式丈量偏向式丈量、零位式丈量及微差式丈量(2) 零位法：零位法： 将被丈量将被丈量x与某一知规范量完全抵消，与某一知规范量完全抵消， 使作用到丈量仪使作用到丈量仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。表上的效应等于零，如天平、电位差计等。 由此可知由此可知xs。 特点：丈量精度主要取决于规范量的精度，与丈量仪表特点：丈量精度主要取决于规范量的精度，与丈量仪表的精度无关。因此丈量精度很高，在计量任务中运用很广。的精度无关。因此丈量精度很高，在计量任务中运用很广。 缺陷是速度不快，用于丈量变化较缓慢的信号。缺陷是速度不快，用于丈量变化较缓慢的信号。补充补充 (3)偏向法

7、：偏向法：偏向法和零位法的结合偏向法和零位法的结合被丈量余数被丈量余数被丈量大值与规范量大体平衡被丈量大值与规范量大体平衡补充补充 综合了偏向式和零位式两种丈量法的优点。综合了偏向式和零位式两种丈量法的优点。 此法在丈量时分两步进展，第一步是将被丈量根本任此法在丈量时分两步进展，第一步是将被丈量根本任务点与规范量进展比较，并调理到达平衡形状。在此根底务点与规范量进展比较，并调理到达平衡形状。在此根底上，当被丈量分开任务点有微小变动，丈量仪表便分上，当被丈量分开任务点有微小变动，丈量仪表便分开平衡形状，此时仪表的指示值即为变动部分的值。开平衡形状，此时仪表的指示值即为变动部分的值。第一节第一节

8、丈量误差及其分类丈量误差及其分类 一、丈量误差的定义一、丈量误差的定义真值：真值： 在一定的时间及空间条件下，某被丈量的真实数值。在一定的时间及空间条件下，某被丈量的真实数值。商定真值：商定真值： 为运用目的所采用的接近真值因此可替代真值的值。为运用目的所采用的接近真值因此可替代真值的值。误差公理：误差公理： 误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被丈误差自始自终存在于一切科学实验和检测之中，被丈量的真值永远是难以得到的。量的真值永远是难以得到的。第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 研讨误差的意义：研讨误差的意义：能合理确定检测结果的误差；能合理确定检测结果的误差；能正确地认识

9、误差的性质，分析产生误差的缘由，采取措施到能正确地认识误差的性质，分析产生误差的缘由，采取措施到达减少误差的目的；达减少误差的目的；有助于正确处置实验数据，合理计算丈量结果，以便在一定的有助于正确处置实验数据，合理计算丈量结果，以便在一定的条件下，得到最接近于真实值的最正确结果；条件下，得到最接近于真实值的最正确结果；有助于合理选择实验仪表、丈量条件及丈量方法，使能在比较有助于合理选择实验仪表、丈量条件及丈量方法，使能在比较经济的条件下，得到预期的结果；经济的条件下，得到预期的结果；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有利于评价控制系统的各种控制规律的优劣；有助于利用误差实际指点设计、制造

10、仪表、减小仪表本身的误有助于利用误差实际指点设计、制造仪表、减小仪表本身的误差。差。第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 绝对误差绝对误差x x 丈量值丈量值A0 A0 真值真值1、绝对误差、绝对误差0Ax 绝对误差绝对误差x x 丈量值丈量值X0 X0 商定真值商定真值0Xx常用常用绝对误差的大小表示丈量值偏离真值的程度。绝对误差的大小表示丈量值偏离真值的程度。真值真值实际真值实际真值商定真值商定真值相对真值相对真值第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 2、相对误差、相对误差%1000XA 相对误差最突出的优点是可以更好地阐明丈量质量的相对误差最突出的优点是可以更好地阐明

11、丈量质量的好坏。好坏。实践相对误差实践相对误差公称相对误差公称相对误差%100XxX0是商定真值实践值是商定真值实践值X是仪表公称值示值是仪表公称值示值第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 3、援用误差、援用误差%100B 援用误差是相对误差的一种特殊方式，常用来评价仪援用误差是相对误差的一种特殊方式，常用来评价仪表的质量。但是仪表的详细示值有关，运用仍不方便。表的质量。但是仪表的详细示值有关，运用仍不方便。最大援用误差最大援用误差%100BmB是仪表的满量程是仪表的满量程 能更可靠地阐明仪表的丈量准确度，故常作为工业仪能更可靠地阐明仪表的丈量准确度，故常作为工业仪表精度等级的标志。

12、表精度等级的标志。第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 仪表的精度等级仪表的精度等级100mG 国家用最大援用误差来规定电工仪表的精度等级国家用最大援用误差来规定电工仪表的精度等级G，分为，分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八级。规定取最大援用误差百分数的分子八级。规定取最大援用误差百分数的分子作为精度等级的标志。即：作为精度等级的标志。即：【例【例1】设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录】设按毫伏刻度的电子电位差计的检验记录x如下表，如下表，x0是用高精度的仪表测出的值。是用高精度的仪表测出的值。测试值测试值x（mV）0.002.004.006.00

13、8.0010.00真值真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99绝对误差绝对误差（mV）- 0.01+0.02- 0.01+0.03- 0.04+0.01引用误差（引用误差（%）- 0.1+0.2- 0.1+0.3- 0.4+0.1【例【例2 2】某压力表精度为】某压力表精度为1.51.5级，量程为级，量程为0 02.0MPa2.0MPa，丈量结，丈量结果显示为果显示为1.2MPa1.2MPa，求，求1 1最大援用误差最大援用误差mm；2 2能够出现的能够出现的最大绝对误差最大绝对误差mm；3 3示值相对误差示值相对误差xx？【解】【解】1由精度等级可直接得到最大援用误差

14、，即由精度等级可直接得到最大援用误差，即23第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 %5 . 1mMPam03. 0%5 . 12%5 . 2%1002 . 103. 0 xmx第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 【例【例3 3】现有】现有0.50.5级级0 0300300和和1.01.0级级0 0100100的两个温度计，的两个温度计，要丈量要丈量8080的温度，试问采用哪一个温度计好？的温度，试问采用哪一个温度计好？【解】假设采用【解】假设采用0.5级温度计级温度计mx300 0.5%1.51.5100%100%1.875%80mx 假设采用假设采用1.0级温度计级温度

15、计mx100 1%11100%100%1.25%80mx 结果阐明，运用任务在量程下限时相对误差较大。用结果阐明，运用任务在量程下限时相对误差较大。用1.0级级仪表比用仪表比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更适宜。级仪表的示值相对误差反而小，所以更适宜。 根据误差值能否变化，可将系统误差进一步划分为恒定根据误差值能否变化，可将系统误差进一步划分为恒定系差和变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系系差和变值系差。变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的几种。差和按复杂规律变化的几种。 按照对系统误差掌握的程度，可将其大致分为已定系差按照对系统误差掌握的程度，可将其大

16、致分为已定系差和未定系差。和未定系差。第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 二、丈量误差的分类二、丈量误差的分类 1 1、系统误差、系统误差 在一样条件下，多次丈量同一被丈量值的过程中出现的在一样条件下，多次丈量同一被丈量值的过程中出现的一种误差，它的绝对值和符号或者坚持不变，或者在条件变一种误差，它的绝对值和符号或者坚持不变，或者在条件变化时按某一规律变化，化时按某一规律变化， 此类误差称为系统误差，简称系差。此类误差称为系统误差，简称系差。 系统误差表征丈量的准确度。系统误差表征丈量的准确度。 性质：有规律，可再现，可以预测性质：有规律，可再现，可以预测缘由：原理误差、方法误差、

17、环境误差、运用误差缘由：原理误差、方法误差、环境误差、运用误差处置：实际分析、实验验证处置：实际分析、实验验证 修正修正第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 2 2、随机误差、随机误差 是在一样条件下，多次丈量同一被丈量值的过程中出现的是在一样条件下，多次丈量同一被丈量值的过程中出现的误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。误差，此误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性。 通常用精细度表征随机误差的大小。通常用精细度表征随机误差的大小。 通常将准确度和精细度合称为准确度，通常将准确度和精细度合称为准确度， 简称精度。简称精度。 性质：正态分布性质：正态分布缘由：安装误

18、差、环境误差、运用误差缘由：安装误差、环境误差、运用误差处置：统计分析、计算处置处置：统计分析、计算处置 减小减小第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 3 3、粗差、粗差 又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离商定真值的误又称疏失误差，或粗大误差，指明显偏离商定真值的误差。差。 它主要是由于丈量人员的失误所致，它主要是由于丈量人员的失误所致， 如测错、读错或如测错、读错或记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。性质：偶尔出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一同性质：偶尔出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一同缘由：安装误差

19、、运用误差缘由：安装误差、运用误差处置：判别、剔除处置：判别、剔除第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 三、准确度、精细度和准确度三、准确度、精细度和准确度2、精细度、精细度 在一样条件下，对同一个量进展反复丈量时，这些丈量在一样条件下，对同一个量进展反复丈量时，这些丈量值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。值之间的相互接近程度即分散程度，它反映了随机误差大小。1、准确度、准确度 它表示丈量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系它表示丈量仪器指示值对真值的偏离程度。它反映了系统误差的大小。统误差的大小。3、准确度简称精度、准确度简称精度 它是精细度和准确度的综合反映，

20、它反映了系统综合误差它是精细度和准确度的综合反映，它反映了系统综合误差的大小，并且常用来表示丈量误差的相对值。的大小，并且常用来表示丈量误差的相对值。第一节第一节 丈量误差及其分类丈量误差及其分类 测测量量精精度度举举例例不精细随机误差大不精细随机误差大 准确系统误差小准确系统误差小 精细随机误差小精细随机误差小不准确系统误差大不准确系统误差大不精细随机误差大不精细随机误差大不准确系统误差大不准确系统误差大精细随机误差小精细随机误差小准确系统误差小准确系统误差小第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 一、消除产生误差的根源一、消除产生误差的根源系统误差产生的缘由系统误差产生的缘由系

21、统误差是由固定不变的或按确定规律变化的要素呵斥，系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的要素呵斥，在条件充分的情况下这些要素是可以掌握的。主要来源于：在条件充分的情况下这些要素是可以掌握的。主要来源于： 丈量安装方面的要素丈量安装方面的要素 环境方面的要素环境方面的要素 丈量方法的要素丈量方法的要素 丈量人员的要素丈量人员的要素计量校准后发现计量校准后发现的偏向、仪器设的偏向、仪器设计原理缺陷、仪计原理缺陷、仪器制造和安装的器制造和安装的不正确等。不正确等。丈量时的实践温丈量时的实践温度对规范温度的度对规范温度的偏向、丈量过程偏向、丈量过程中的温度、湿度中的温度、湿度按一定规律变化按一定规律变

22、化的误差。的误差。采用近似的丈量采用近似的丈量方法或计算公式方法或计算公式引起的误差等。引起的误差等。丈量人员固有的丈量人员固有的丈量习性引起的丈量习性引起的误差等。误差等。第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 二、对丈量结果进展修正二、对丈量结果进展修正修正值修正值指与丈量误差的绝对值相等而符号相反的值。指与丈量误差的绝对值相等而符号相反的值。xXC0 修正值可以是一个详细的值，也可以是一条曲线、一个修正值可以是一个详细的值，也可以是一条曲线、一个公式或图表。公式或图表。 在丈量之前，对仪器仪表进展校准或定期进展检定。经在丈量之前，对仪器仪表进展校准或定期进展检定。经过检定，可

23、以由上一级规范或基准给出受检仪表的修正过检定，可以由上一级规范或基准给出受检仪表的修正值。将修正值参与丈量值中，即可消除系统误差。值。将修正值参与丈量值中，即可消除系统误差。 第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 三、采用特殊丈量法三、采用特殊丈量法一恒定系差消除法一恒定系差消除法 1 1、零示法：、零示法： 将被丈量与知的规范量进展比较，当两者的差值为零将被丈量与知的规范量进展比较，当两者的差值为零时，被丈量就等于知的规范量。时，被丈量就等于知的规范量。 如：书中图如：书中图1-2-2 1-2-2 用电位差计丈量热电偶的热电势。用电位差计丈量热电偶的热电势。 第二节第二节 系统

24、误差的消除方法系统误差的消除方法 2 2、替代法：、替代法：又称为置换法，指先将被丈量接入丈量安装使之处于又称为置换法，指先将被丈量接入丈量安装使之处于一定形状，然后以知量替代被丈量，并经过改动知量的值一定形状，然后以知量替代被丈量，并经过改动知量的值使仪表的示值恢复到替代前的形状。那么被丈量的值即为使仪表的示值恢复到替代前的形状。那么被丈量的值即为知量。知量。丈量安装的系统误差不会带给丈量结果。丈量安装的系统误差不会带给丈量结果。 替代法在阻抗、频率等许多电参数的精细丈量方法中替代法在阻抗、频率等许多电参数的精细丈量方法中获得广泛的运用。例：电桥法测电阻。获得广泛的运用。例：电桥法测电阻。第

25、二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 3 3、交换法：、交换法：又称为对照法，指在丈量过程中将某些丈量条件相互又称为对照法，指在丈量过程中将某些丈量条件相互交换，使产生系差的缘由对交换前后的丈量结果起反作用。交换，使产生系差的缘由对交换前后的丈量结果起反作用。对两次丈量结果进展数学处置，即可消除系统误差或求出对两次丈量结果进展数学处置，即可消除系统误差或求出系差的数值。系差的数值。如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而如：用天平称重，替代法可消除由于天平两臂不等而引起的固定系统误差。引起的固定系统误差。再如：书中图再如：书中图1-2-31-2-3电桥法测电阻。电桥法测电阻。

26、 第二节第二节 系统误差的消除方法系统误差的消除方法 二变值系差消除法二变值系差消除法1.1.等时距对称观测法：等时距对称观测法： 又称对称观测法，用其可消除随时间按线性规律变化又称对称观测法，用其可消除随时间按线性规律变化的系差，即线性系差。的系差，即线性系差。2.2.半周期偶数观测法半周期偶数观测法: : 某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生某些周期性的系统误差的特点是，每隔半个周期产生的误差大小相等、符号相反。那么这种系差可经过半周期的误差大小相等、符号相反。那么这种系差可经过半周期偶数观测法来消除。即，读取相隔半周期的两次丈量值，偶数观测法来消除。即，读取相隔半周期的两次丈量

27、值， 取其算术平均值作为结果。取其算术平均值作为结果。第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 一、随机误差的分布规律及统计特性一、随机误差的分布规律及统计特性概率论的中心极限定理：概率论的中心极限定理： 假设一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用假设一个随机变量是由大量微小的随机变量共同作用的结果，那么只需这些微小随机变量是相互独立或弱相关的结果，那么只需这些微小随机变量是相互独立或弱相关的，且均匀地小即对总和的影响彼此相当，那么无论的，且均匀地小即对总和的影响彼此相当，那么无论它们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。它们各自服从于什么分布，其总和必然近似于正态分布。 随

28、机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：随机误差的正态分布概率密度函数的数学表达式为：)2exp(21)(22p随机误差的统计特性表如今以下四个方面：随机误差的统计特性表如今以下四个方面： (1) (1)有界性：在一定条件下的有限丈量值中，误差的绝有界性：在一定条件下的有限丈量值中，误差的绝对值不会超越一定的界限。对值不会超越一定的界限。 (2) (2)单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。误差出现的次数多。 (3) (3)对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。率相

29、等。 (4) (4)抵偿性：一样条件下对同一量进展多次丈量，随机误抵偿性：一样条件下对同一量进展多次丈量，随机误差的算术平均值随着丈量次数差的算术平均值随着丈量次数n n的无限添加而趋于零，即误差的无限添加而趋于零，即误差平均值的极限为零。平均值的极限为零。第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 长度相对丈量值长度相对丈量值次次数数统统计计第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 由由2202)(exp21)(Xxxp0Xx 可知被丈量可知被丈量x x也是服从正态分布的随机变量，且也是服从

30、正态分布的随机变量，且x x的概的概率密度函数的数学表达式为：率密度函数的数学表达式为： 下面讨论的问题是当只需一组数量有限的丈量数据时，下面讨论的问题是当只需一组数量有限的丈量数据时，如何对如何对X0X0和和进展估算。进展估算。二、丈量值的算术平均值与规范偏向二、丈量值的算术平均值与规范偏向第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 1.1.算术平均值与被丈量真值的估计值算术平均值与被丈量真值的估计值 在无系差和粗差的条件下，对某一被丈量在无系差和粗差的条件下，对某一被丈量x x进展进展n n次等次等精度丈量，得到精度丈量，得到n n个观测值。个观测值。 可以证明，在消除了系统误差之后，

31、无限次丈量的统可以证明，在消除了系统误差之后，无限次丈量的统计平均值就是被丈量的真值。计平均值就是被丈量的真值。 由于无限次丈量在实践上是做不到的，通常把多次等由于无限次丈量在实践上是做不到的，通常把多次等精度丈量结果的算术平均值作为被丈量真值的最正确估计精度丈量结果的算术平均值作为被丈量真值的最正确估计值。值。 这就是算术平均值原理。这就是算术平均值原理。第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 n n，用平均值替代真值，那么真值与丈量值之差和，用平均值替代真值，那么真值与丈量值之差和平均值与丈量值之差是不一样的，因此，相应的丈量误差平均值与丈量值之差是不一样的，因此，相应的丈量误差就

32、用剩余误差来替代：就用剩余误差来替代：xxii 残差有两个性质：残差有两个性质：残差的代数和为残差的代数和为0 0；仅有随机误差时，残差的平方和最小。仅有随机误差时，残差的平方和最小。 剩余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：剩余误差，简称残差，也叫剩余误差，其定义为：第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 2. 2. 规范偏向规范偏向nixinxMxnD12)(1lim 用来衡量丈量数据相对于算术平均值的离散程度。用来衡量丈量数据相对于算术平均值的离散程度。方差方差规范差规范差niinniinxnXxnD121201lim)(1lim第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算

33、 在实践丈量中，由于被丈量真值无法知道，且丈量次在实践丈量中，由于被丈量真值无法知道，且丈量次数也是有限的，故借助贝塞尔公式用算术平均值和残差来数也是有限的，故借助贝塞尔公式用算术平均值和残差来表示规范偏向的估计值，即表示规范偏向的估计值，即 根据此式求出的规范偏向，可用来表征在给定的等精根据此式求出的规范偏向，可用来表征在给定的等精度条件下任一次丈量结果的离散程度，因此，又称为单次度条件下任一次丈量结果的离散程度，因此，又称为单次丈量的规范偏向。丈量的规范偏向。2. 2. 规范偏向规范偏向niiniinxxn121211)(11第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 由于实践的丈量次

34、数有限，算术平均值毕竟还不是真由于实践的丈量次数有限，算术平均值毕竟还不是真值，其本身也含有随机误差。假假设各观测值服从正态分值，其本身也含有随机误差。假假设各观测值服从正态分布，那么算术平均值也是服从正态分布的随机变量。布，那么算术平均值也是服从正态分布的随机变量。 可以证明，算术平均值的规范偏向为：可以证明，算术平均值的规范偏向为： 以估计值替代，算术平均值的规范偏向的估计值为：以估计值替代，算术平均值的规范偏向的估计值为：3. 3. 算术平均值的规范偏向算术平均值的规范偏向nxnx 第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 三、置信区间和置信概率三、置信区间和置信概率如前所述，用有

35、限次丈量结果的算术平均值来替代被如前所述，用有限次丈量结果的算术平均值来替代被丈量的数学期望，必然会存在一个随机误差丈量的数学期望，必然会存在一个随机误差mm：xmMx该误差该误差mm的绝对值小于给定的任一微小量的绝对值小于给定的任一微小量的概率的概率PcPc为：为：)()(xxxCMxMPMxPP第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 )()(xxCMxMPP上式中，区间上式中，区间(Mx-, Mx+)(Mx-, Mx+)表示算术平均值在规定表示算术平均值在规定概率下能够的变化范围，称为置信区间。置信区间阐明了概率下能够的变化范围，称为置信区间。置信区间阐明了丈量结果的离散程度，可作

36、为丈量精细度的标志。丈量结果的离散程度，可作为丈量精细度的标志。算术平均值落入某一置信区间的概率阐明丈量结果的算术平均值落入某一置信区间的概率阐明丈量结果的可靠性，亦即值得信任的程度，称为置信概率。可靠性，亦即值得信任的程度，称为置信概率。给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为极限给出了在一定概率下随机误差的极限值，称为极限误差或误差限。在无系统误差的情况下，误差或误差限。在无系统误差的情况下， 也称为随也称为随机不确定度，通常表示为：机不确定度，通常表示为：tK第三节第三节 随机误差及其估算随机误差及其估算 置信系数置信系数Kt置信概率置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.

37、6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9973=99.73KtKt与与PCPC的关系的关系工程丈量常用工程丈量常用 估计随机误差的范围，超越估计随机误差的范围，超越 者作为疏失误差处置。即取者作为疏失误差处置。即取 为极限误差，它的置信概为极限误差，它的置信概率为率为99.73%99.73%。333第四节第四节 误差的综合误差的综合 误差的综合：误差的综合： 在知各部分误差的根底上求函数的误差，称为误差的在知各部分误差的根底上求函数的误差，称为误差的综合，也称为误差的传送。综合，也称为误差的传送。在普通丈量中，间接丈量值在普通丈

38、量中，间接丈量值Y Y是各个直接丈量值是各个直接丈量值X1,X2,Xj,XmX1,X2,Xj,Xm的多元函数，的多元函数，),(,21mjXXXXfY一、函数误差的根本关系式一、函数误差的根本关系式多元函数的增量可用函数的全微分表示为：多元函数的增量可用函数的全微分表示为：第四节第四节 误差的综合误差的综合 mmjjdXXfdXXfdXXfdXXfdY2211上式称为函数误差的根本关系式。以上式称为函数误差的根本关系式。以dXjdXj表示各个直表示各个直接丈量值的误差，以接丈量值的误差，以 表示各个误差的传送系数，那表示各个误差的传送系数，那么么dYdY为函数为函数Y Y的误差。的误差。jXf

39、例如，设函数关系为例如，设函数关系为),(sinnxxxf21那么，正弦函数的角度误差公式为那么，正弦函数的角度误差公式为)(cosnndxxfdxxfdxxfd22111第四节第四节 误差的综合误差的综合 二、系统误差的综合公式二、系统误差的综合公式一已定系统误差的综合一已定系统误差的综合 假设在前面所述的函数中各假设在前面所述的函数中各XjXj之间彼此独立无关，且之间彼此独立无关，且只含有大小及符号均知的已定系统误差只含有大小及符号均知的已定系统误差jj，那么函数，那么函数Y Y将将产生一个已定系统误差产生一个已定系统误差YY，即为，即为mjjjYXf1)(表示为相对误差的方式：表示为相对

40、误差的方式：mjjjYYXfYY1)(第四节第四节 误差的综合误差的综合 二函数的系统不确定度二函数的系统不确定度 系统的不确定度反映了系统误差变化范围的大小。函系统的不确定度反映了系统误差变化范围的大小。函数数Y Y的不确定度有两种求法：的不确定度有两种求法：1 1算术综合法绝对值综合法算术综合法绝对值综合法mjxjYjXf1Y函数函数Y Y间接丈量值的系统不确定度间接丈量值的系统不确定度jX自变量自变量XjXj直接丈量值的系统不确定度直接丈量值的系统不确定度第四节第四节 误差的综合误差的综合 2 2方和根法方和根法mjxjYjXf12此方法在部分误差的个数越多时，越接近实践情况。此方法在部

41、分误差的个数越多时，越接近实践情况。432RRRRx【例】设有某平衡电桥检测线路，假设以被测电阻【例】设有某平衡电桥检测线路，假设以被测电阻RxRx作为作为电桥的第一臂，那么电桥的第一臂，那么RxRx可表示为另外三个桥臂知电阻的函可表示为另外三个桥臂知电阻的函数，其函数关系如下：数，其函数关系如下：第四节第四节 误差的综合误差的综合 三、随机误差的综合公式三、随机误差的综合公式 假设间接丈量值假设间接丈量值Y Y为直接丈量值为直接丈量值X1X1和和X2X2的函数，即的函数，即 假设对假设对X1X1进展了进展了n n次丈量，对次丈量，对X2X2进展了进展了k k次丈量，在无次丈量，在无系差的情况

42、下，以系差的情况下，以jj替代前式中的替代前式中的dXjdXj，那么可写出函数，那么可写出函数Y Y的随机误差为：的随机误差为：),(21XXfY li21,分别为分别为X1X1和和X2X2的随机误的随机误差差),;,(klniXfXfliilY21212211第四节第四节 误差的综合误差的综合 经过整理，上式变为：经过整理，上式变为： 此式描画了间接丈量结果的规范偏向与各直接被丈量此式描画了间接丈量结果的规范偏向与各直接被丈量的规范偏向的关系。的规范偏向的关系。 推行情况：推行情况：222221221xxYXfXf)()(mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)(

43、)()()(第四节第四节 误差的综合误差的综合 用相应的估计值代入各规范偏向，可得函数用相应的估计值代入各规范偏向，可得函数Y Y的规范偏的规范偏向估计值为：向估计值为：mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)()()()(mjXjYjXf12)( 上两式即为普通函数的随机误差传送公式。上式两端同上两式即为普通函数的随机误差传送公式。上式两端同时乘以一样的置信系数时乘以一样的置信系数C C，即可得函数，即可得函数Y Y的随机不确定度。的随机不确定度。第四节第四节 误差的综合误差的综合 四、系统不确定度与随机不确定度的综合四、系统不确定度与随机不确定度的综合 在实践丈

44、量过程中，应该同时思索系统不确定度和随在实践丈量过程中，应该同时思索系统不确定度和随机不确定度同时存在的情况，综合的结果称为总的不确定机不确定度同时存在的情况，综合的结果称为总的不确定度。其综合方法有两种：度。其综合方法有两种：1 1绝对值综合法绝对值综合法)(YYu2 2方根综合法方根综合法22YYu第五节第五节 丈量结果的数据处置丈量结果的数据处置 一、丈量结果的表示方法与有效数字的处置原那么一、丈量结果的表示方法与有效数字的处置原那么 常见的丈量结果表示方法是在观测值或多次观测结果常见的丈量结果表示方法是在观测值或多次观测结果的算术平均值后加上相应的误差限。的算术平均值后加上相应的误差限

45、。一丈量结果的数字表示方法一丈量结果的数字表示方法1.1.单次丈量结果的表示方法单次丈量结果的表示方法 XX0置信概率置信概率PC=68.3%PC=68.3%2.n2.n次丈量结果的表示方法次丈量结果的表示方法XCXX0第五节第五节 丈量结果的数据处置丈量结果的数据处置 一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差的一位止，中间的一切数码均为有效数字。的一位止，中间的一切数码均为有效数字。二有效数字的处置原那么二有效数字的处置原那么2.2.数据舍入规那么数据舍入规那么 4 4舍舍6 6入入5 5看右看右1.1.有效数字的根本概念有效数字的根本概念

46、原始数据原始数据保留小数点后两位有效数字保留小数点后两位有效数字12.32612.3365.841265.8443.485343.495.8355.848.24508.24第五节第五节 丈量结果的数据处置丈量结果的数据处置 3.3.有效数字运算规那么有效数字运算规那么参与运算的常数入参与运算的常数入、e e等数值，有效数字的位数可以不等数值，有效数字的位数可以不受限制，需求几位就取几位。受限制，需求几位就取几位。加减运算加减运算 在不超越在不超越1010个数据相加减时，要把小数位数个数据相加减时，要把小数位数多的进展舍入处置，使比小数位数最少的数只多一位小多的进展舍入处置，使比小数位数最少的数只多一位小数；计算结果应保管的小数位数要与原数据中有效数字数；计算结果应保管的小数位数要与原数据中有效数字位数最少者一样。位数最少者一样。乘除运算乘除运算 在两个数据相乘除时，要把有效数字多的数在两个数据相乘除时，要把有效数字多的数据作舍入处置，使之比有效数字少的