曲线积分与曲面积分习题及答案

1、第十章曲线积分与曲面积分A1 .计算Lxydx,其中L为连接1,0及0,1两点的连直线段.2 .计算l?Xds,其中L为圆周x2y2ax.3 .计算x2y2ds,其中L为曲线xacosttsint,yasinttcost,L0t2.L2.24 .计算leyds,其中L为圆周xya,直线yx及x轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界.4 45 .计算x3y3ds,其中L为内摆线xacos31,yasin310t一l2在第一象限内的一段弧.26.计算1一2-ds,其中L为螺线xacost,yasint,Lxyzat0t2o7 .计算lxydx,其中L为抛物线y2x上从点A1,1到点B1,1的一段弧.

2、8 .计算Lx3dx3zy2dyx2ydz,其中L是从点A3,2,1到点B0,0,0的直线段AB.9 .计算lxdxydyxy1dz,其中L是从点1,1,1到点2,3,4的一段直线.10 .计算L2aydxaydy,其中L为摆线xatsint,ya1cost的一拱对应于由t从0变到2的一段弧：11 .计算Lxydxyxdy,其中L是：1抛物线y2x上从点1,1到点4,2的一段弧；2曲线x2t2t1,yt21从点1,1到4,2的一段弧.12 .把对坐标的曲线积分lPx,ydxQx,ydy化成对弧和的曲经积分,其中L为：1在xoy平面内沿直线从点0,0到3,4;2沿抛物线yx2从点0,0到点4,2

3、;3沿上半圆周x2y2x从点0,0到点1,1.13 .计算Lexsinymydxexcosymxdy其中L为xatsint,ya1cost,0t,且t从大的方向为积分路径的方向.14 .确定的值,使曲线积分x44xydx6x1y25y4dy与积分路径无关,并求A0,0,B1,2时的积分值.15 .计算积分CL2xyx2dxxy2dy,其中L是由抛物线yx2和y2x所围成区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性.16 .利用曲线积分求星形线xacos3t,yasin3t所围成的图形的面积.3,4cccC17 .证实曲线积分126xyydx6xy3xydx在整个xoy平面内与路径无关,并计算积分

4、值.18 .利用格林公式计算曲线积分口lxy2cosx2xysinxy2exdxx2sinx2yexdy,其中L为正向星形222线x3y3a3a0.19 .利用格林公式,计算曲线积分2xy4dx5y3x6dy,其中L为三顶点分别为0,0、3,0和3,2的三角形正向边界.20 .验证以下Px,ydxQx,ydy在整个xoy平面内是某函数ux,y的全微分,并求这样的一个ux,y,3x2y8xy2dxx38x2y12yeydy.21 .计算曲面积分x2y2dx,其中为抛物面z2x2y2在xoy平面上方的局部.22 .计算面面积分2xy2x2xzds,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个外表.124

5、.求抛物面冗z-xy0z1的质重,冗的度为tzo225 .求平面zx介于平面xy1,y0和x0之间局部的重心坐标.26 .当为xoy平面内的一个闭区域时,曲面积分Rx,y,zdxdy与二重积分有什么关系27 .计算曲面积分zdxdyxdydzydzdx其中为柱面x2y21被平面z0及z3所截的在第一卦限局部的前侧.28 .计算x2dydzy2dxdzz2dxdy式中为球壳xa2yb2zc2R2的外外表.29 .反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy化成对面积的曲面积分,其中是平面3x2y23z6在第一卦限的局部的上侧.30 .利用高斯公

6、式计算曲面积：1) x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为平面x0,y0,z0,xa,ya,za所围成的立体的外表和外侧.2) xydxdyyzxdydz,其中为柱面x2y21与平面z0,z3所围立体的外外表.31 .计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：1)2xzix2yjxz2k,为立体0xa,0ya,0za,流向外侧；2)xyziyzxjzxyk,为椭球面22221,流向外侧.abc32 .求向理场axyicosxyjcosxz2k的散度.33 .利用斯托克斯公式计算曲经积分.ydxzdyxdz其中为圆周,x2y2z2a2,xyz0,假设从x轴正向看去,这圆周取逆时针方向.34 .证实

7、.y2dxxydyxzdz0,其中为圆柱面x2y22y与yz的交线.35 .求向量场axyix3yzj3xy2k,其中为圆周z2xy2,z0o36 .求向量场zsinyizxcosyj的旋度.37 .计算.y2z2dxz2x2dyx2y2dz,其中为用平面3,xyz3切立方体0xa,0ya,0xa的外表所得切痕,右从ox轴的下向看去与逆时针方向.(8)1 .计算Lyds,其中L为抛物线y22Px由0,0到x,y0的一段.2 .计算_y2ds,其中L为摆线xatsint,yarcost一拱3 .求半径为a,中央角为24的均匀圆弧线心度1的重心.4 .计算lzds,其中L为螺线xtcost,yts

8、int,zt0t2.5 .计算-122ds,其中L为空间曲线xtcost,ytsint,Lxyzzt上相应于t从0变到2的这段弧.6 .设螺旋线弹簧一圈的方程为xacost,yasint,zkt0t2,它的线心度为x,y,yzx2y2z2,求：1它关于z轴的转动惯量Iz；2它的垂心.7 .设L为曲线xt,yt2,zt3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分.8 .计算.xy-：ydy,其中L为圆周x2y2a2按逆时针方向绕Lxy行.9 .计算Lydxzdyxdz,其中L为曲线xacost,yasint,zbt,从t0到t2的一段.10 .计算lx

9、2y2dxx2y2dy,其中L为y1|x|0x2方向为x增大的方向.2,1011 .验证曲线积分102xeyydxxeyx2ydy与路径无关并计算积分值.12 .证实当路径不过原点时,曲线积分：2xdxydy与路径无并,并计算11221,1xy积分值.2213 .利用曲线积分求椭圆与当1的面积.ab14 .利用格林公式计算曲线积分lx2ydxxsin2ydy,其中L是圆周y,2xx2上由点0,0到点1,1的一段弧.15 .利用曲线积分,求笛卡尔叶形线x3y33axya0的面积.16 .计算曲线积分口华x?,其中L圆周x12y22,L的方向为L2x2y2逆时针方向.17 .计算曲面积分3zds,

10、其中为抛物面z2x2y2在xoy平面上的局部.18 .计算xyyzzxds,其中是锥面zJx2y2被柱面x2y22ax所截得的有限局部.19 .求面心度为的均匀半球壳x2y2z2a2z0对于z轴的转动惯量.20 .求均匀的曲面zdx2y2被曲面x2y2ax所割下局部的重心的坐标.21 .计算曲面积分Ifx,y,zds,其中2222xyzafx,y,z0,22.计算xzdxdyxydydzyzdzdx,其中是平面x0,yyz1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例.23.计算1dydz1dxdz1dxdy,其中为椭球面xy2yb22z2c24.计算zdydzzxdxdyxydxdy,式圆锥面的

11、外外表.25.设ux,y,zvx,y,z是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,、依次表示ux,y,z,vx,y,z沿外法线方向的方向导数.证n明:,一vuvvudxdydz:-unds,其中是空间闭区域的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式o26.利用斯托克斯公式计算曲线积分2,2,2,xyzdxyxzdyzxydzt,从A0,0,0到Ba,0,h的一段.其中L是螺旋线xacost,yasint,27.设uux,y,z是有两阶连续偏导数,求证：rotgradu0.(C)xaax.1.求曲线的弧长yaarcsin-,z-In从O0,0到Ax0,y0,z0.a4ax、一12 .计算,=

12、ds,Ly其中L为悬链线yach.a3 .求均匀的弧xetcost,yetsint,zett0的重心坐标.24 .计算,ydx4x2ylnxR2x2dy,其中e是沿x2y2R2LR2x2由点AR,0逆时针方向到BR,0的半圆周.5 .设fx在,内有连续的导函数,求2ydx与y2fxy1dy,其中L是从点A3,-至U点B1,2的直线段.Lyy32,26 .计算1cosdxsincosdy,沿着不与oy轴相交的路1 xxxxx径.fx7 .曲线积分xxysinxdxdy与路径无关,fx是可微函数,Lx且f0,求fxo28.设在平面上有Fx-yj构成内场,求将单位质点从点1,1移到2,42232xy

13、场力所作的功.9 .曲线积分Iy3dx3xx3dy,其中L为x2y2R2R0逆时针方向曲线：1当R为何值时,使I0?2当R为何值时,使I取的最大值并求最大值.10 .计算Ix1x2zdydzy1x2zdzdxz1x2zdxdy其中为曲面zvx2y20z1的下侧.11 .计算|xyz|ds,其中的方程为|x|y|z|1.12 .计算曲面积分I21xdydz,其中是曲线y60x1绕x轴旋转一周所得曲面的外侧.13 .计算Lx2xydxx22xy2dy,其中L为由点A4,0到点O0,0的上半圆周x2y24x14 .证实3yxdxy3xdy与路径无关,其中L不经过直线xy0,Lxy3且求2,33yxd

14、xy3xdy的值.1,03xy15 .求圆锥z&y20zh的侧面关于oz轴的转动惯量.2c222.16.选择a,b值使y2xyaxx22xybydy为某个函数ux,y的222xy全微分,并求原函数ux,y.x17 .计算曲面积分口：亍dxdy,其中为曲面zx2y2,平面z1,x2y2z2所围立体外面的外侧.18 .证实1) uvuvvu2uv;2) xx2第十章曲线积分与曲面积分(A)1.解：两点间直线段的方程为：y1x,0x1故ds,1y2dx.112dx.2dx所以lxydx01x1xJ2dx正.2.x解：L的参数方程为1-acos21.一asin21-a2,03.4.那么,x2ds所以解

15、：ds,x2解：如图Li:L2:L3dx,11acos,2ds21.asin2212cos21|a|22a.一sin2cos一d21-|a|.21coscos-2a一cos22i|a|cos-d22cos-d2y2dty2dsx2y2eLacostasintt3dtdsa,2sin2L12sin一22a2atcostatsint2dtatdtcosttsintsint2.tcostatdtdst2t4a31x2y2dtx2v2exydsy2dsx2y2eds,1ds02dxdx.112dx一2dx2.2asintacostdtadt2ydsaexdx02afe0adtxaeIoaae一4ea2

16、-a2445.解:x34y34a34.cost.4.sintdsx2y2dt22223acostsint3asintcost一9a2sin2tcos2tdt3asintcostdt4x3L4y3dscos4t4,sintsintcostdt73a31cos6t61.6.-sint674a36.解：dsz2dt2.2asintacosta2dt、.2adt2z-2Xdsa2t2_22、2adtacostasintt2dt7.解：lxydx8.解：直线段故lx3dx21yyydyAB的方程为3|214151ydy2-y52t,zt,t从1变到0c2,2,3xydyxydz03t1333t2t2-2

17、_23t2tdt0387t3dt1879.解：直线的参数方程为x1t,y12t,z13t(0t1)Lxdxydyxy1dz11t212t31t12t1dt01614tdt13010.解：l2aydx9ydy22aa1costa1costaa1costasintdt02.costcostsintdtcos2t1sin2tdt22dt11.解:1原式y2ydy2原式2y3*5ydy342tt24tt212t22tdt110t05t29t2dt10,45,2tt439-t2dt210,45,29,2ttt43212t013112LPx,ydxQx,ydy34Px,yQx,ydsL552)ds12x2

18、dx,cosdx1dx14x2cossin114x2Px,y2xQx,y.故lPx,ydxQx,ydyj2ds.14x3)ds：1xrdx,cos曲V2xx22xxdscossin12xx21x故lPx,ydxQx,ydyl.2xx2Px,y1xQx,yds13.解：由于excosyyx故原积分与路径无关,于是原式OBBAa0dxaaecosym14.解:4xy故当1,20,0sin2a2ma.4x4xy1x2y2,解得3时,所给积分与路径无关,324xydx6xx44x0dx取ACCB计算,其中15.解:L22x324y5ydyA0,024y5ydy012y2y2x52x3x5/42y4yP

19、一dxdyyPdxdyy16.解取adyyx5y795,C1,0,B1,2dx2y22xdxdyy2dy1302xdxLPdxQdyyy2M)xO12xdx301,1可得面积xA1.1,dxdyxdyydxd2L设A为在第I象限局部的面积,由图形的对称性所求面积A4A14-xdyydx32,.2,2,ba2acost3asintcostasint3acostsintdt2.222sintcostdt0注：还可利用dxdyD口lxdylydx17.解:P6xy2,Q6x2y3xy212xy3y2Q212xy3yx由于所以积分与路径无关取路径1,23,23,4原式324x18dx4254y9y2d

20、y23618.解:2xsinx2xcosy2yex,xcosx2xsinx2ye原式P一dxdyy3,19.解:原式Ddxdydxdy4dxdyD3dx02x034dy8一xdx31220.解：1)2xP.一,故2xydxx2dy是某个ux,y的全微分.ux,yx,40,02xydxx2dyxy00dx0xdy2)-Qx3x216xx,y2,ux,y0,03xy8xy2dxx38x2y12yeydy21.解:故原式xy0dx00y4xDxy：Dxy20208x2y12yeydy12yeyey1220202,dx媳,14x24y2dxdyrcos29rsin22,r.14rrdr20U14UdU

21、22.解：原式|x|y|x2Dxy这里Dxyl42d0z2zydxdyv-14x22,4ydxdy,14rcos24rsin2rdr2一4rdrh214930.1ZxZydxdy4xyx2y2.14DxyI为Dxy在第一象限局部42,rsincos14rrdr0214r2t1r一325t4123.解：z62x2y,ds2ydxdy21sin202_222t1tdt122dxdy1714rrdr0125.514203dxdy原式2xy2x2Dxy62x2y3dxdy24.25.33dx027T解：M解：平面2Zx近0dx因而x3x2x22xy2ydyzdsDxyy21x22122r1r7dr2x

22、这局部的面积zy2dxdyxdyxdsydszds故重心坐标为.2dxdyD.223,3,326.解：由于曲面积分1xdx01dx01xds一3、2dy13dxdy有向曲面,所以Rx,y,zdxdyRx,y,0dxdyDxy当积分曲面取在的上侧时为正号,取在下侧时为负号27,解：DxyAB,面积为0,zdxdy0Dyz0,y,z|x0,0y1,0z3,Dzxx,0,z|0x1,y0,0z3原式1y2dydz.1x2dzdxDyzDzx3120dz01ydy3120dz01xdx11-arcsiny28.解：根据轮换对称,只要计算z2dxdy2,22Dxy:xaybR22汪息到：zeRxayb,

23、再利用极坐标可得222,2zdxdyc.RxaybdxdyDxycDxyR2xa2yb2dxdy-22.24eRxaybdxdyDxy,2.Rr22.4ed.Rrrdr00/3R-122p838eRr2-Re303于是原式-R3abc329.解：原式PcosQcosRcosds,这里cos,cos,cos是的法向理n的方向余弦而是平面3x2y23z6在第一卦限局部的上侧cos0,取n3,2,28.33cosJ一,cos232222352,cos故原式3R52Q530.解：1)2x2y2z原式QR-dxdydz2yzxyzdxdydz20Paaa20dx0dy0xa22ax0aayzdz2dxa

24、xay003a.dx23a4yzx,Q0,RxyPQRyzxyz故原式213y,zdxdydzdrdrxsin000zdz31.解:PdydzQdzdxRdxdydxdydz-22x2xzdxdydzaa2a02ax2)dyaaa2dxdy2x000a2xdxa322xzdz:ds:xyzdydzSyzxdzdxzxydxdy111dxdydzbc4abco32.解：Pxy2e,Qcosxy,Rcosxzyexyxsinxy,2xzsinxz2故divP_Q_Rxyzyexyxsinxy2xzsinxz233.解：取为平面xyz0,被所围成的局部的上侧,的面积为a2,的单位法向量为ncos,c

25、os原式1.31.3ds111ds,3.3,33,3ds,3a34.证：平面yz的单位法向理ncos,cos,cos由斯托克斯公式得coscoscos左边dsyxyzxzzds1一y2Dxyzdxdy35.解：闭曲线是xoy平面上的圆周y24逆时针方向,它的参数方程为x2cos,y2sin,z00,故环流量为；RdxQdyRdzyzdyc2,3xydz22cos02sin8cos32cos24sin0cosd16cos1236.解：rotxsinyyxcosy37.解：证平面xy3z2a合科立万体内的局部为,它在oxy平面上的射影为Dxy,面积为3a2,取平面的上侧,4单位法向量斯托克斯公式得

26、1113,336adsxyz222222yzzxxy1.3dx1ds3326adxdy6a-aDxy4-3.2(B)x1.解：L的参数万程t2pt2dt21t12dtPdt所以Lydsy.1t0Pt2p2dtp31t2yo13P2y.2.解：ds2.22.2.a1costasintdta.21cost12112sin2t22asin-2所以Ly2ds22a1cost02asin-dt28a320sin4-sin-dt228a3210cos2-sin-dt2216a3tcos-22cos315t-cos一522563a153.解：取坐标系如图,设重心坐标为Gx,y,由扇形的对称性可知y0,Lds

27、24a4acos4adasin24|44asin4.解:222dsxyzcosttsintsinttcost21dt2t2dt所以zdst0t2t0t2222t5.解xyzecostetsint2t2eds,x2y2z2dt_t.ecostesintt,esintcostet2dt.3e2tdt3et所以L.x2ds2ztdt二126.解:x,y,zds2costa2sin2tk2t222222i-.asintacostkdt1)Izy2x,y,zds2222yxyzds22,222aktakdt222.222a.ak3a4k2)Lxx,y,zdsacosta2k2t2.a2k2dt6ak23

28、a242k27.dxds解:dt故coscoscos1人yx,y,zdsML6ak23r_42k2zx,y,zdsmL,y3ka222kh2227-23a4kasinta2k2t2,a2k2dtkta2k2t2a2k2dt,dy2tdt2xdt,dz3t2dt3ydt4x2dxdsdydsdzds29y2dt14x29y22x22,14x9y3y14x29y2故LPdxQdyRdzlP2xQ3yRds14x29y28.解：圆周的参数方程为xacost,yasint0txydxxydy22xy12a12aacostasintasintacostasintacostdt9.解:10.解:a2dtL

29、ydx如图zdyxdz2asintasintbtacost02.22asintabtcostabcostdtaCOAOB,OA:yx,AB:yzx取折线1,01 2-c故原式xxdxx2xdx012 224x2xd2x-1311.解：由于P2xeyy,Qx2yx2y又上2xey1,故曲线积分与路径无关,yx212,02,1,那么原式2xdx4ey22ydy4e12.解：由于P222,Qxy2,yc52.3xyx2yh25故当路径不过原点时,该曲线积分与路径无关,取折线1,12,12,2,得盾12xdx2ydy2原式ono912321232x14y413.解：取参数方程xacost,ysint0

30、t21面积Axdy2Lydx122022abcostsintdtab14.解:L不是闭曲线,要用格林公式,先得补添路径,使其封闭,如图ABBOPdxdy,y由于ABBO所以原式LABBOsin2ydy1x2dx0；sin215.解：作代换ytx,得曲线的参数方程3atx3,1t3网：,由于dx1t33a12t3321t3dy3at2t321t3从而xdyydx2.29at32t3dt,故面积16.解:1lxdy由于xydx2.29at2dt201t3y0时,被积函数无意义,3a22故L所包围的区域不满足格林公式的条件,作一小圆挖去原点0,0,作逆时针方向的圆周l:xrcos,yrsin,02使

31、l全部补L所包围,在L和l为边界的区域D内,根据格要公式,有Qdi*xifdxdyyydxxdyydxxdyQOL2x221c22yl2xy,ydxxdyL2x217.解：Dxy：2y_22ydxl2x故上式为零xdyyh22,ds原式32Dxy2.222rsinrcos2r21z：zydxdy,2,2,4x4ydxdy,14x24yh2dxdyr原式2xyDxy14r2rdr1111618.解：Dxy：2ax,zx2y222.ds.1ZxZydxdy、.2dxdy21y,x2y22y,2ydxdy2acosr2sincosr2sincosrd.22sincossincos12acos4d64

32、2.a40241519.解：半球壳的方程为z商一,一y222Dxv：xyah2xy22,ads1ZxZyds-222dxdyaxy.221Izxy0ds22axy222Dxy.axydxdyrdr0a4.20.解：质量为M20ds20dxdy20一x2y2ax2.2a204从而垂心的坐标为x0xdxdyx2y2ax4a.faxx20xdxdya0,axx一2.xaxxdxa2a2x2dt0t2dt12Macoszdxdyx2y2ax2.rdr8a3cos16a9即重心坐标为一,0,16一2921.解：由于曲面zxx2y2得x2y2z2a2分成上下两局部,记成S上,Sr,又由2222xyzaz.

33、x2yh2解得:a.2,x12*y2卡,所以ds0ds%2xDxya2adxdy22xy3ar-22.ardr2_4N_._2a4sin0485.2622.解：证z在xoy,yoz,zox平面上的局部分别为面上的局部为4xzdxdyxydydz1xzdxdyxydydz2xzdxdyxydydz3故原式xzdxdy43xzdxdy4yzdzdxxzdxdy1yzdzdxxydydz2yzdzdxyzdzdx2xydydzyzdzdx；x1xydxdy3Dxy另解：可求得二3xzdxdyx0dxdy0Dxy0ydydz0Dyz0zdzdx0Dzx11x1dx1xydy-00,由对称性可得原式24

34、1也可用高斯公式822xy23.解：Dxy:=11a2b2x-dxdy再利用广义极坐标可得v2一,c】：1-7三由轮换对称,只要计算积分ab-dxdy12x2adxdyy2b2122Dxyc1xyCJa2b2dxdycDxy12x2a2yb2dxdy空4ab,1ab于是原式bcacbababc24.解：证外法线的方向余弦dr2r2分别为锥面的底面和侧面而xyh2,2,2abcos,cos为锥面zdydzxdxdydxdyDxy又对cosxydxdy2上的任一点coscos2cossindrx,y,z故ds在各坐标平面上射影分别为cosds.xdxdy,cosdx一cosds于是zdydzzxd

35、xdyx-dxdy,cosdsdxdyy,y,cosdsdxdyzcosxcosycosdsS2Dxyydxdy故原式2Dxyydxdy25.证：由格林第一公式得uvdxdydz:udxn同理uvdxdydzzzvudxdydzuvuvuv.dxdydzxxyyzz两式相减得:uvvudxdydzvv,ouvdsonn26.解：设cBA,其中BA为从B到A的直线段,那么c为封闭曲线,由斯托克斯公式得dydzdzdxdxdy.PdxQdyRdzc,其中是以c为边界且xyz222xyzyxzzxy与c构成右手系的任曲面BAcABAB0z2ak0dz27.证:graduuk2rotgraduu.一j

36、xz(C)24221.解：ds1-a-a2dx-a-x-dx,|x0|0:axh24a2x22ax0时,有x3a202a22x.-dxxa,ax0In4ax0x0|4|x0|当x00时,有S03a22x2x02a2x2dx2nax0x0IZ0IIxIX0故当Ix0|a时,有SIZ0|2.解：ds2xsindxa,x,ch-dx,于是a4dsLychadxch2-axdsha2x1sha1arctanasha3.解：ds%：e2tcostsint2e2tsintcost2e2tdt.3etdt质量为M0,3etdt.3于是垂心坐标为xetcost3etdt0ecostdt2costsint52t

37、ey.0ttecost3edt0e2tsintdt2sintcost2teZ04.解：.ABBAPdxetet3etdtCBAR0dxRQdydxdy2R22tedtBABAAB0,又dxdy2y_R2x22yR2x2dxdy42R22R25.解：P1y2fxy,Qyx2fyfxyyy2yf2xyyfxyx1y2fxy23yfxyxyfxy12yxy彳2xy2f1xyfxyy-3xyxyfxy12y故当y0时,因此只要路径不过x轴,点A到点B的曲线积分与路径无关,取路径原式1dx36.解:2A33f2xdx123ydxB1,2,有y2fy1dyydy2dyyydy22fydy30时,2y2x2y2x.ysinx卫cos)cos-x%sin-x-cosxx改右半平面P,y故在ux,yycosxsin一x2y2xycosx2yiysin-xxx,y是单连通区域,且在其上上的是某函数ux,y的全微分,且可取