复数有关概念(上课)

1、第五章第五章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 5.1.2 5.1.2 复数的有关概念复数的有关概念知识回顾知识回顾:1.复数的概念复数的概念: 形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.2.虚数单位虚数单位:i3.全体复数组成的的集合叫全体复数组成的的集合叫:复数集复数集,用用C表示表示.4.复数的代数形式复数的代数形式: Z=a+bi5.复数的实部与虚部分别是复数的实部与虚部分别是:a,b6.a+bi是实数是实数b=07. a+bi是虚数虚数b08.a+bi为纯虚数为纯虚数a=0且且b0 复数复数z z=a+bi(a、b R)实数实数 (b=0)有理数有理数无理数无

2、理数正有理数正有理数负有理数负有理数零零虚数虚数(b 0)10.数的分类数的分类:复数集复数集实集实集数数虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集正无理数正无理数负无理数负无理数 ,Rdcba 若dicbia dbca特别地，特别地，iyyix)3()12( Ryx ,. yx与与 )3(112yyx解得解得4,25 yx在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想？想一想？类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 复数复数z=

3、a+biz=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点A(a,b)A(a,b)xyobaA(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )一一对应一一对应z=a+bixyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )z=a+bi 注注:原点既属于实轴。又属于虚轴。原点既属

4、于实轴。又属于虚轴。 所以，实轴上的点表示实数所以，实轴上的点表示实数,虚轴上的点虚轴上的点(除原点除原点)都表示纯虚数。都表示纯虚数。(A)(A)在复平面内，对应于实数的点都在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在实轴上；(B)(B)在复平面内，对应于纯虚数的点在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；都在虚轴上；(C)(C)在复平面内，实轴上的点所对应在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；的复数都是实数；(D)(D)在复平面内，虚轴上的点所对应在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。的复数都是纯虚数。例例2.2.(1)(1)下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D D例

5、例3 3: :已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数求实数m m的取值范围。的取值范围。 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m练习练习1 1：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点在在复平面内所对应的点在直线直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，上，求实数求实数m m的值。的

6、值。 解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2。复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi注意注意:相等的向量表相等的向量表示同一个复数示同一个复数.思考：两个复数可以比较大小吗？xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值( (复数的模复数的模) )的的几何意义几何意义: :Z (a,b

7、)对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=a+biz=a+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a a, ,b b) )到原点的到原点的距离。距离。OZ OZ | z | = 22ba 复数的有关概念 6复数的模 复平面上复数表示的点到原点的距离。 实数的绝对值是数轴上的点到原点的距离，所以复数的模是实数绝对值概念的扩充； 两个复数差的模|z1-z2|可以理解为平面上两点间的距离。 复数的模有： |z|=|a+bi|= 0; |z|2=|z2|=| |2=z =a2+b2zz22ba Z=a+biyxO 例例4:4:求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z(1)z

8、1 1=-5i =-5i (2)z(2)z2 2=-3+4i=-3+4i(3)z(3)z3 3=5-5i=5-5i(4)z(4)z4 4=1+mi(mR) =1+mi(mR) (5)z(5)z5 5=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0)( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )25()1(2m( (5a )5a )复数的有关概念7共轭复数：实部相等，虚部为相反数的两个复数叫互为共轭复数， z=a+bi, 则 =a-biz8 复数的大小问题 在复数集中是不规定大小关系的。 两个复数如果不全为实数，是不能比较它们的大小的。实数的共轭复数是它的本身。两个互为共轭复数在复平面上对应的关于实轴对称。

9、 例6：下列四个命题中正确的命题是（A）2i-1的共轭复数是2i+1；（B）若两个复数的差是纯虚数，则它们一定为共轭复数；（C）若两个复数的和是实数，则它们为共轭复数；（D）若两个复数的和与积都是实数，则它们为共轭复数； 例例2 2：计算：1+i+i2+i3+i55 分析一分析一 ：把上式看成一个以i为公比的等比数列,前56项的和，由等比数列的求和公式， 原式原式= = 5611 1011iii分析二分析二 ：因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0， 即i的连续四个幂的和等于0, 从1到i55，共有56项，所以, 原式=0 例例3 3：计算： ii2i3i99 解法一解法一 ：原式=i1

10、+2+3+99 =i9950=(i50)99=(i2)99=-1 解法二：解法二：因为ii2i3i4 = i(-1)(-i)1 =-1 原式=ii2i3i99 = ii2i3(-1)16 =-1例4.z= -(m2-4)i, (mR)(1)若zR R，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的取值范围；(3)若z在复平面上对应的点在第三象限求m的取值范围；(4)若z= -2，求m的取值范围22324mmm解：（1）由m2-4=0,得;m=2；222320440mmmm12222320440mmmm222322440mmmm 得:m=- ；m(-,-2)(2,4)m=-2（3）（4）（2）例7：

11、已知关于x、y的方程组有实数解，求实数的a、b值。(21)(3)(2)(4)98xiyy ixayxyb ii 解：x、y是实数，根据复数相等的条件，得方程：52121(3)4xyxyy 5491682aabb代入另一式：（5+4a）-(6+b)i=9-8i; a、b是实数， 例8：已知虚数z，使得和 都为实数，求z.121zzz221zzz解：设z=x+yi(x,yR，且y0)， 则 z2=x2-y2+2xyiz1R，Im(z1)=0，又y0， x2+y2=1，同理，由z2R,Im(z2)=0.x2+2x+y2=0解得:x=- ,y= ；z=2222122222(1)(1)(1)4x xyx

12、yizxyx y12321322i例9:设xC，解方程x2+|x|=0分析分析: :xR，因为x20，|x|0， 所以x=0 xC C，显然这一解法就不完善因此在解题时，要充分考虑复数的特点 x2+|x|=0, x2=-|x|0， 所以x是纯虚数， 又|x2|=|x|， |x|=0或 |x|=1， 因此x=0，i例10：求同时满足两个条件的所有复数z. (1)1z+ 6；（2）z的实数和虚数都是整数。10z 分析：由1z+ 6知：z+ R，否则是不能与实数比较大小，所以，可以复数问题实数化来解决。10z10z解：设z=x+yi(x,yR)则：z+ = x+yi+ =(x+ )+(y- )i， 1z+ 6，得：y=0或x2+y2=10 若y=0，代入，得： 16矛盾，y0; 若x2+y2=10，代入，得： 0.5x3，又x、y是整数 x=1或x=3， z=1i或z=33i。10z10z2210yxyyix102210yxxx10 x10102小结小结:1.1.复数复数z