第五章 机械振动

1、12 1 1、什么是振动：、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。为机械振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动。振动的概念振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时发生突变时,都会发生振动。都会发生振动。运动形式运动形式: 直线、平面和空间振动直线、平面和空间振动.32、振动的特征、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐

2、振动、振动中最简单最基本的是简谐振动 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成振动的合成(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解 周期和非周期振动周期和非周期振动 谐振子谐振子: : 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. .45-1 简谐振动的力学特简谐振动的力学特征征、弹簧振子、弹簧振子构成：轻质弹簧一端固定，其另一端与刚体联结构成：轻质弹簧一端固定，其另一端与刚体联结条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦条件：位移

3、限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦 无阻尼时的自由振动无阻尼时的自由振动阻尼：阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。只在系统内部恢复力作用下运动。5（3 3）惯性的作用）惯性的作用整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振动的整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振动的（2 2） 弹性恢复力的特点：弹性恢复力的特点：恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即 F= -kx （1

4、1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点： 平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）特指系统偏离平衡特指系统偏离平衡位置的位移位置的位移6mk2令0222xdtxd则得解微分方程得：解微分方程得：3 3）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程由牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对象以振子为对象xxFmomakxF a 与与 x 方向方向相反相反xa2积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx7tx图图tv图图t

5、a图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAvxtA22)cos()cos(2tAa82 2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动（1 1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，O为角坐标为角坐标原点。原点。（2 2）恢复力矩的特点：）恢复力矩的特点： 重力对过悬点重力对过悬点O/的水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：sinmglM 负号表示力矩方向始终与角位置方负号表示力矩方向始终与角位置方向相反向相反1 1）定义）定义)5(,:0的摆动在竖直平面内作小角度在重力作用下条件轻绳与质点固

6、联一端固定的不可伸长的构成、微震动的简谐近似：单摆、微震动的简谐近似：单摆/o0lgmT/oO9根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 53! 51! 31sin略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后mglM（3 3）惯性的作用）惯性的作用: :即恢复力矩与角位移正比而反向。即恢复力矩与角位移正比而反向。 （角位移指偏离平衡位置的角位移角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过此处的惯性指摆球对过O的水平轴的转动惯量的水平轴的转动惯量: 2mlJ 103 3）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd则得方程

7、的解为方程的解为00costJM 11简谐振动的特征和谐振动的定义简谐振动的特征和谐振动的定义1、谐振动特征、谐振动特征动力学特征：动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程：其谐振动的微分方程：运动学特征：运动学特征：谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程)cos(0tAxxtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(式中式中A、 是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 0振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力） Fb-ax物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数物体振动时，它离开平衡位

8、置的位移是时间的余弦函数122、谐振动的定义：、谐振动的定义： 谐振子的定义：谐振子的定义：0222xdtxd的系统，即为谐振振子系统。的系统，即为谐振振子系统。谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动 谐振动定义：谐振动定义： 一个描述其一个描述其“惯性惯性”的物理量可视为常数的系统的物理量可视为常数的系统, ,在其稳在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时定平衡位置附近作微小的自由振动时, ,只受到内部线性恢复力只受到内部线性恢复力的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足系数微分

9、方程，即能满足13一、谐振动的运动学方程一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程即为谐振动的运动学方程式中式中A和和 0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。14二、描述谐振动的三个物理量二、描述谐振动的三个物理量 1、振幅、振幅A由初始条件由初始条件x0、v0决定决定)sin()cos(00tAvtAx 222122020vxA得（1 1）周期）周期T T ：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、周期T（频率（频率 、圆频率

10、、圆频率 、固有圆频率）、固有圆频率）)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2 T2T或maxxA 15(3)圆圆/角频率角频率 ： 秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全振动的次数固有角频率固有角频率mklg22弹簧振子单摆(2)频率频率 ：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数T1 2固有振动周期固有振动周期kmTglT22(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率216 3、相位：、相位： 相位是描述系统的机械运动状态的物理量。（相位是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又相又指月相之相指月

11、相之相取其具有周期性取其具有周期性。）。） )sin()cos(100tAvtAx( (位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）0t能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是(2) 初位相初位相t=0时的位相时的位相 0 17(i)(i)用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 时，时，x0=A, v0=0. X0X0=+A 0sin0cos0000AvAx20X0v t=0时, x0=0, v000sin2cos0000AvAAx30X0 A2v t=0时时, x0=A/2,

12、v00v190000sincosAvAx000 xvtg即由初始条件所决定的两个积分常数即由初始条件所决定的两个积分常数分别为和0A )(2020vxA )(0010 xvtg(ii) (ii) 由初始条件决定的积分常数由初始条件决定的积分常数 求初位相求初位相 0 0 ， 取使取使x0 v0 均满足的值均满足的值 2000AXoXo txXo-AXoAXo2/002/30 tx20 tx tx tx) 2/() 0(021谐振动的速度，加速度特点谐振动的速度，加速度特点)sin()cos(00tAvtAx由22xAv说明：说明：2)2)加速度特征加速度特征1)1)速度特征：速度特征：xtAd

13、txda20222)cos(说明：说明：（ii） xa (ii)(ii) “”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向2254 . 02 5 )( cmAa解102 . 02 3 )( cmAb例例5-1： 振动曲线如图振动曲线如图 (a)、(b)所示，写出它们的振动方程。所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t (s)x(cm)(a)300.20.30.1t (s)x(cm)(b) 时，0Axt)(5cos(5cmtxa0 a0 ,时0 0 xt)(2310cos(3cmtxb20 ,时0 0vt0costAx2取23课堂测试六如下图为一简谐

14、运动质点的速度与时间的关系曲线，如下图为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为且振幅为2cm，求求（1）振动周期；（）振动周期；（2）加速度的最大值；（）加速度的最大值；（3）运）运动方程动方程 241、旋转矢量的规定法则、旋转矢量的规定法则 (1) (1) 旋转矢量的制作旋转矢量的制作(2) (2) 旋转矢量的作用：旋转矢量的作用：(3)(3)旋转矢量本身不是谐振动旋转矢量本身不是谐振动若已知一个谐振动若已知一个谐振动 x = A cos( t+ 0)习惯上用习惯上用 轴上投影描述机械振动在xAA的位置的位置x 0 t+ 0t 时刻时刻t=0 时刻时刻A的位置的位置x0 x O使描述

15、谐振动的三个使描述谐振动的三个重要参量重要参量A、 、 0 0形象化形象化旋转矢量的端点在旋转矢量的端点在Ox轴上的投影轴上的投影252、参考圆、参考点：、参考圆、参考点：(1) (1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。矢量的端点则谓之参考点。（2 2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知由图可知: 同时同时, ,其也形象地说明了，对其也形象地说明了，对应于每一个应于每一个x值值, ,有两种可能的运动方向有两种可能的运动方向x1x

16、4x2x3x12341v2v3v4v26 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 xT227 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAtt 0t时时x0 xT2)cos(0tAx28Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2mAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa)cos(2tA29x(t)=Acos( t+ 0)v(t)=-A sin( t+ 0) =vmcos( t+ 0

17、+/2)a(t)=-A 2cos( t+ 0) =amcos( t+ 0) 设设 0=0 三种描述方法三种描述方法(即：三角函数、函数图象、旋转矢量）即：三角函数、函数图象、旋转矢量）都离不开三个特征量都离不开三个特征量A、 和和 0谐振动的三种表示法谐振动的三种表示法 x t t t 0 v 0 0 4Ta v a A x 30A- AOO T2T4T43T45T*xxtA- A用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）*2T4)cos(tAx31例：例：一质点作简谐振动的圆频率为，振幅为A，当t=0时质点位于x=

18、A/2处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。解：由已知条件可知，t=0时，0sincos2100tAvtAAx与之对应的初位相角在第四象限3030AxO321、动能、动能4、动能和势能在一个周期内的平均值、动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1 (21cos22221mvEk)(2mk)(sin210222tAm)(sin21022tkA2、势能、势能221kxEP)(cos21022tkA3、总能、总能221kAEEEPk2max21mv2221Am设设x(t)=Acos(t+ 0) v(t)=-Asin(t+ 0)33同理平均势能同理平均势能200224

19、1)(cos211 kAdttkATETPEkAEEPk21412221kAEEtx0tx=Acost在一个周期在一个周期 T 内的平均动能内的平均动能 )(sin211 0022TkdttkATE241kA )(2cos1 21211 002TdttkAT34例：例： 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于于 ADACABAA22;23;2;4解：解：222212121kAkxmv222121kxmv 而题知22212121kAkx DAx即应选于是,2235例：例： 一物体质量为一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振，在弹性力作用下

20、作简谐振动，弹簧的倔强系数动，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势，如果起始振动具有势能能0.06J和动能和动能0.02J，求（，求（1）振幅；（）振幅；（2）经过平衡位）经过平衡位置时物体的速度。置时物体的速度。解（解（1）221kAEEEpk（2）过平衡点时，）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量，此时动能等于总能量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(23611A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212

21、221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向、两个同方向、同频率的谐振动的同频率的谐振动的合振动仍然是一个合振动仍然是一个同频率的谐振动同频率的谐振动. .37AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttaA3 TTt6123v2AbA380 xto同步同步 2 2）对于对于两两个个同同频率频率的简谐运动

22、，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相39xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论40 xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx4

23、13 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA2k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(k)10( ， k12 相位差相位差)cos(212212221AAAAA42 )cos(212212221AAAAA2443而AAAAAA23222221合313143cos34cos43sin34sinAAAAtg解：设合振动为解：设合振动为则,costAx例：例： 两谐振动方程分别为两谐振动方程分别为43cos3,4cos21tAxtAx求它们的合振动。43例例 两谐振动振动方程分别为两谐振动振动方程分别为,)610cos(

24、31cmtx，求它们的合振动。cmtx)3210cos(42解解 这两个谐振动的位相差为这两个谐振动的位相差为.2作旋转矢量图，利用旋转矢量作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为合成法，合振动为cmtgttAx)34610cos(5 )10cos(106 0 34oxA44 例：例： 两个同频率的简谐运动两个同频率的简谐运动1 和和2 的振动曲线如图，的振动曲线如图，求求(1)两简谐运动的运动方程两简谐运动的运动方程x1 和和x2；(2)在同一图中画出在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；(3)若两简谐运动叠加，求合振动的

25、运动方程若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程 分析分析(1)由振动曲线可知由振动曲线可知 m2/cos1 . 01tx m3/cos1 . 02tx,1 . 021mAATsT22初相可由初相可由旋转矢量法确定旋转矢量法确定3 ,221则则45 (2)由由旋转矢量旋转矢量可知振动可知振动2超前振超前振动动1 的相位为的相位为 5 /6 .(3)由振动合成知由振动合成知 问问:为何不是为何不是振动振动1超前振动超前振动2的相位的相位为为7 /6 ?tAxxxcos21m0520cos212212221.AAAAA120.268arctancoscossinsinarctan22112211AAA

26、A m/12cos052. 0tx式中式中于是于是46从图可看出，因两旋转矢量的角从图可看出，因两旋转矢量的角速度速度 1 1、 2 2 不相同，所以由两不相同，所以由两矢量矢量A A1 1、A A2 2合成的平行四边形的合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量形状要发生变化，矢量A A的大小的大小也随之而变，出现了振幅有周期也随之而变，出现了振幅有周期性地变化。性地变化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法4.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成1ox1A2AA247 因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的

27、微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为减弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数称为的次数称为拍频。拍频。482、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为设分振动为11cos()xAt22cos()xAt2cos2cos2coscos2121122cos()cos()22xxxAtt3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率 余弦函数的周期应为余弦函数的周期应为2，但，但取绝对值后，周期为取绝对值后，周期为，故合振，故合振幅变化的周期幅变化的周期 21212

28、22拍拍频为于是拍即即“拍频拍频”等于两个分振动频率之差。等于两个分振动频率之差。494、“拍振动拍振动”的应用的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等荡器等等5、同步锁模：、同步锁模：上面关于拍频现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问上面关于拍频现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问题的一种可能。如果这两个分振动，通过一定物理条件，使题的一种可能。如果这两个分振动，通过一定物理条件，使二者发生了非线性耦合， 那么上面那种简单的线性叠加就不二

29、者发生了非线性耦合， 那么上面那种简单的线性叠加就不再成立，而会出现所谓“同步锁模”现象，即两个分振动的再成立，而会出现所谓“同步锁模”现象，即两个分振动的频率锁定在同一个频率上。频率锁定在同一个频率上。 505.5.1 阻尼振动阻尼振动1、 固体在介质中所受阻力在一般情况下为固体在介质中所受阻力在一般情况下为 221vvfrdtdxvfr 2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为、以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm22令令 ， 则有则有 02kmm2我们只讨论其中的线性部分，我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动即在低速情况下的振动5-5 5-5 阻尼振动阻尼振动 受

30、迫振动受迫振动 共振共振51d xdtdxdtx220220式中式中阻尼系数阻尼系数 0系统固有角频率。系统固有角频率。方程的解及其物理意义方程的解及其物理意义 1 1、弱阻尼、弱阻尼 )1(0220令令)cos(00teAxt(1)式中式中A0、0是由初始条件所是由初始条件所决定的两个积分常数；决定的两个积分常数； (2)阻尼振动的振幅阻尼振动的振幅 teAA0即即 ： 振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；52(3) 准周期的问题：准周期指函数准周期的问题：准周期指函数 与时间轴与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的的零交点

31、间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）中心）,即即)cos(00teAtx阻尼振动曲线阻尼振动曲线ot/T/2 T22022T 说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有 周期。周期。002T532 2、临界阻尼、临界阻尼 )(220这时这时teccx)(21 c1、c2为两积分常数。为两积分常数。其用途之一其用途之一, 用于灵敏仪器的回零用于灵敏仪器的回零装置。装置。ttececx)(2)(1202202此时此时 其不是往复运动，须无限长的其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。时间才能回零。3 3、过阻尼、过阻尼 )(202541、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程以弹簧振子为例以弹簧振子为例202cosd xdxmkxFptdtdt 其运动方程为其运动方程为,20mk令,2m00Ffm4.5.2 4.5.2 受迫振动受迫振动220022cosd xdxxfptdtdt 则得则得 外界作用外界作用 不讨论不讨论随机外力随机外力cosptcospt只讨论谐和策动力只讨论谐和策动力F F周期性外力周期性外力用下的