多元函数微分学及其应用PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用.,空间Euclid维.,1个坐标也称为点的第个分量的第向量中的向量也称为点按照这个内积构成一个则的内积为与定义ixinnyxinnniiixRRyxyx空间空间EuclidEuclid维维222221122221,nnnnyxyxyxxxxyxyxyxxxxxR定义为之间的与两点定义为或的中向量距离距离范数范数长度长度第1页/共65页定义定义1(1(点列的极限点列的极限) ) 收敛于a.收敛于a.极限极限kkkkkkknnnkkkknkk，NkNkaaaxxxxaxaxaxaxNaxRaxRx这时也称点列或记作为它的且称的极限存在则称点列恒

2、有使得即时若当点中的一是中的一个点列是设lim, 0, 0,21,2,1 ,定理定理1 1 .lim, 2 , 1lim,iikkkknnkaxni都有的充要条件是对则点设点列axRaRx第2页/共65页定理定理2 2 ;) 1 (,的极限是唯一的则中的收敛点列是设knkxRx ;, 0)(,)2(MkMkkxNRx恒有使得即是有界点列;,)3(Rbayxaxbayxbyax其中则若kkkkkkk .,)4(aax敛于则它的任一个子列也收收敛于若k第3页/共65页, 2 , 1,2211212121nnniiinnnnnnbababannibxaxxxbbbaaababaRRxRbRa显然记作

3、维闭区间中的为称点集设定理定理3 3（闭区间套定理）（闭区间套定理）,),(,)(,)(, 0|lim)2(,) 1 (,121212111kkknnnk,nk,k,knk,nk,k,kkkkkknkk,b,bba,aabaRRbRaabbabaRba使则存在唯一的其中，即个中的一是设闭区间套闭区间套第4页/共65页定理定理4(Bolzano-Weierstrass4(Bolzano-Weierstrass定理定理) ) ).(极限点极限点的限也称为的收敛子列的极中点列界点列必有收敛子列中的有kknnxxRR .Cauchy, 0,点列点列基本点列基本点列或中的是则称恒有及使得若中的点列是设n

4、kkpknkpNkNRxxxNNRx定理定理5(Cauchy5(Cauchy收敛原理收敛原理) ) .Cauchy点列中的是中点的充要条件为收敛于中点列nknknRxRxR第5页/共65页定义定义2 2 .,.,.,., 2 , 1,闭集闭集孤立点孤立点闭包闭包导集导集聚点聚点为则称若的为则称但若的称为集合记作的称为的所有聚点构成的集合的一个是则称使得中的点列若存在中的一个点集是设AAAAAAAAAAAAAA，kk，A，AkkknnaaaaaxaxxRaR定义定义3 3 ., 0,aaaaaaaaaxRxaRaUUUUUnn与它们分别记为的为点称的或点为半径的为中心为以称点集设邻域邻域去心去心

5、邻域邻域开球开球第6页/共65页 ., 0,的极限是于收敛则称点列恒有使得若中的一个点列是设kkknkUNkNxaaxaxNRx定理定理6 6., 0,之外的点中除邻域都含有的任何当且仅当的聚点为即的充要条件为则中的一个点集是设aaaaaRaRAAAUAAnn定义定义4 4nnARaR,设;int, 0) 1 (AAAAAAU或记作的为的所有内点组成的集称由的是集则称使若内部内部内点内点aa第7页/共65页;extA, 0)2(记作的为的所有外点组成的集称的是集则称点使若外部外部外点外点AAAAUaa.,., 0)3(AAAAAUAUc记作的称为的所有边界点组成的集的为集则称且若对边界边界边界

6、点边界点aaaextAAAnR且右端三个点集互不相交.AAAAn必有中的任一点集对于,RaxRxanU,记作为称开球与它的边界之并特别闭球闭球第8页/共65页定义定义5 5开集.开集.为则称内点的中的点全是即若设AAAAAAn,R定理定理7 7.是闭集是开集的充要条件为cnAAR定理定理8 8.)3(;)2(;) 1 (:,Euclid集有限多个开集的交是开集任意多个开集的并是开是开集空集与全空间开集有如下性质中空间维在nnnRR同样,闭集也有对应的三条性质.)3(;)2(;) 1 (集有限多个闭集的并是闭集任意多个闭集的交是闭是闭集空集与全空间nR第9页/共65页., 0,无界集无界集有界集

7、有界集否则称为是则称都有使得对于所有的如果存在一个常数的一个点集是设AMAMAnxxR定义定义6 6 若A中任何点列都有收敛子列,则称A是列紧列紧的(或相对紧相对紧的).若A是列紧闭集,则称A为紧集紧集定义定义7 7.,闭区域闭区域区域区域连通集连通集它的边界之并称为区域与连通的开集称为是则称来的有限个线段联结起都能用完全属于与两点中的任意如果是一个点集设AAAAnyxR.,1,1 , 0,2121凸集凸集中的是则称则即若于中任意两点的线段都属若联结设nnAAtttAAAARxxxxR第10页/共65页定义定义1 值域.值域.因变量因变量定义域定义域自变量自变量元函数元函数元数量值函数元数量值

8、函数的称为称为的称为称为其中也可记作简称上的一个是定义在称映射是一个点集设ffDfwwfRwfAfDAxxxxxxffwnnAAfAnnnxxxxRR,:,2121定义定义2 2 mmmnmnfffyyyAxxxAAmAA,2:,212121fRyxxxfynRfR因变量因变量变量变量自自元向量值函数元向量值函数是是其中也可写作上的一个为定义在称映射是一个点集设第11页/共65页 TmTmTnnmnnmmfffyyyxxxxxxfxxxfxxxfxfxfxfyyynm,:212121212122112121fyxyxfy其中元数量值函数个对应于第12页/共65页定义定义3(3(二重极二重极限限

9、) ).,lim,lim, 0, 0,:,00,0000000020000没有极限时称当否则这个极限也称为或记作的时为当且称时则称当恒有使得若常数是的一个聚点是一个二元数量值函数是设有点集yxfyxyxayxfayxfyxfyxyxayxfyxyxayxfAyxUyxaAyxAfAyyxxyxyx二重极限二重极限极限极限有极限有极限RRR第13页/共65页定义定义4(4(二元连续函数二元连续函数) ).,lim,:,000000,0000200连续函数连续函数连续连续处间断.处间断.在点在点处连续处连续在点在点上的是称此时上在集合则称中每一点处连续在若称否则则称函数时有若当并且的一个聚点是是一

10、个二元数量值函数设有点集AfAfAf,yxf，,yxfyxfyxfAyxAyxAyxAfAyxyxRR., 0, 0000000处连续在点则称恒有使得若yxfyxfyxfAyxUyx第14页/共65页 .,lim,lim,lim, 0, 0,:,2121,00021,.02,01 ,00,01 ,01,02,01 ,0210重极限重极限极限极限naxxxfxxxfafaffaafAUxxxAxxxnAfAnxxxxnxxxxxxnnnnnnn这个极限也称为也可记作或记作的时为当则称恒有使得若常数是一个的聚点是函数元数量值是一个是一点集设xxxxxxxxxxRa,xRRxx第15页/共65页 0

11、021221102121, 02, 01 , 00210lim, 0, 0,:,xxaxfaxfxfxxaxxaxfaxfxxRaxRfRxx或记作的极限时为当则称其中恒有使得若是一个常向量一个聚点的是元向量值函数是一个为一点集设mmnmmnmmnafafAUxxxaaaAxxxnAfffA第16页/共65页定理定理1 1则续函数上的连是是紧集设,:,AAfAnRR(1)(有界性有界性)f 在A上有界; (2) (最大最小值定理最大最小值定理) f 在A上能取到它的最大值与最小值.定理定理2(2(介值定理介值定理) ).,.,:,00 xxRRfAMmMmAfMmAAfAn使则必之间的任一数与

12、是介于如果常数值与最小值上的最大在分别是与上连续在是一有界连通闭集设第17页/共65页定理定理3(3(一致连续一致连续性性) ) 212121, 0, 0,:,xxxxxxRRffAAfAfAn恒有时当使得即上一致连续在则是连续函数是一个紧集设习题习题 5.15.1(书 P.10) 1.; 2.(2); 4.(1),(2); 5.(1),(4).习题习题 5.2 P.5.2 P.42-44 42-44 1.(2),(7); 2.(2),(4); 3.(2),(5),(7); 5.(3),(4); 6. 7. 8. 10.第18页/共65页定义定义1(1(方向导数方向导数) )tftflflff

13、tftfftftUUftt00000000000000220lim,lim.,:,0 xexxlxxexxexexexxxRxReRxlxllllll记作方向的方向导数沿在点则称此极限为存在若函数值有改变量从而对应的平行的直线变到沿与由变量内让自在其单位向量为是平面上一向量设点第19页/共65页定义定义2(2(偏导数偏导数) ).,0000000000000000yxfyxfyyxfxyxfyxyxfyxyxfyxUyxfyx或记作的对处对在点的方向导数称为正向轴轴处沿在点内有定义的邻域在点设函数偏导数偏导数xyxfyxxfxyxfyxfxtxx000000000,lim,0 , 1,le此时

14、记yyxfyyxfyyxfyxfyy000000000,lim,同理第20页/共65页定义偏导函数为yyxfyyxfyyxfxyxfyxxfxyxfyx,lim,lim,00 tftflflffuUftnnnnnnn0000000212221221lim,:,;1 , 0 , 0,0 , 0 , 1 , 0,0 , 0 , 1. 1coscoscos,cos,cos,cos,0 xexxlxxRxRRxReeeeeRelxlll方向的方向导数处沿在点则一个标准正交基的是示为用其方向余弦可表中的一个单位向量是设第21页/共65页 inniiiixiiixiinitiiiixxxxfxxxxxxf

15、xfxfxftxxxxtftfxfxu，nixfuii, 02, 01 , 0, 01, 0, 01, 01 , 000000, 02, 01 , 00000000,limlim,lim, 2 , 10 xexxxxexxexxxx则有记其中即的方向导数沿方向的偏导数就是它在点处对在点第22页/共65页定义定义3(3(全微分全微分) ) xxxxxxxxxxxxxxxxxxRxxx,0,11022111001111000021nnnnnnnnnnnxxL，f，oxxoxxoLffuufxxxxLUUxxxffun且称在点那么称阶无穷小的高时是当其中可以表示成的改变量点在使得函数无关的常向量是与

16、其中的线性函数存在一关于如果内有定义的邻域在点元函数设处可微处可微第23页/共65页 x,xxxxxxxLfuf00dd,)(0记作一阶的处关于自变量在点是全微分全微分定理定理1(1(可微的必要条件可微的必要条件) ) niixnxfffffxxffui10000001d,xxxxlxxxx示为表的全微分可用其偏导数在点且偏导数均存在处所有在点特别地的方向导数存在任意方向沿在点那么可微在点如果函数.dd,ufffn或全微分可简记为内的是那么称的每一点均可微在区域如果可微函数可微函数R第24页/共65页 规定自变量的微分等于自变量的改变量,即nixxii, 2 , 1,d从而全微分方程可写成ni

17、iixxff1dd定理定理2(2(可微的充分条件可微的充分条件) ) ., 1,00021处可微在点则处连续偏导数均在点且所有的邻域内存在偏导数在点设xxxxxfnixfxxxffuin定义定义4(4(梯度梯度) ) .,000010021xxgradxxxxxfffxfxfxxxffunn或记为简称处的在点为则称向量处可微在点设梯度梯度梯度向量梯度向量第25页/共65页nxfxfff01000,xxxxgrad其中nxx,1 nllxxfffflfd,dd,d,d,1000 xxxxexexgradx其中;,)2(;,) 1 (,2121212121uvvuuvuvvuuvvCuCvCuCv

18、CuCvCuCC，Cfvu或或为常数均可微及设函数gradgradgradgradgradgrad第26页/共65页 uufufuufufvvuuvvvuvuuvvvu,)4(;0,1,1)3(22gradgradgradgradgrad习题习题5.3 1.单号; 2.(2); 3.(1),(3); 4. (1), (3), (5); 5.; 6.; 9.; 11.; 12.第27页/共65页 .1 ,1,02002000njniffxfxxxfxxfxxffunijxxijijjijiji其中或或记为的再对变量对变量先在点则称这个偏导数为的偏导数存在变量对在点的偏导函数元函数如果xxxxxx

19、xxx二阶偏导数二阶偏导数第28页/共65页.,:,222222二阶混合偏导数二阶混合偏导数为和并称的二阶偏导数共有四个二元函数yxxyyyyxxyxxfffyfyfyfyxfyfxfxyfxfyfxfxfxyxfz.,1,高阶偏导数高阶偏导数数统称为二阶及二阶以上的偏导偏导数阶定义阶偏导函数的偏导数来可由类似nn.,导次序无关即二阶混合偏导数与求处有则在点处连续时都在点和当yxxyyxxyffPPff第29页/共65页定理定理3 3yywwzyvvzyuuzxxwwzxvvzxuuzzyxyxyxyxfzwvuwvufzyxyxwyxvyxuddd,微分为且其全处也必可微在点数则复合函处可微

20、在对应的点而处可微均在点设ywyvyuwvufywwzyvvzyuuzyzxwxvxuwvufxwwzxvvzxuuzxz,第30页/共65页 全导数全导数的对它称为复合函数于是有的一元函数复合以后是则均分别可微设xzxvvzxuuzxzxxfzxxvxuvufzdddddd,1 zuuwzwyuuwywxuuwxwzyxuufwdd,dd,dd,2则有均可微设 yzzfyfyuxzzfxfxu，yxzzyxfu,3则有均可微设第31页/共65页 nixuxufxuufxFxxFfFyfymiunxximiijmjjinmiinn, 1, 1,11111uxxxuxxxxuuuxxRx且有的偏

21、导数均存在于各个变量关从而处也必可微在数则复合函处可微应的在对而数量值函数处可微在元数量值函数设第32页/共65页nnmmmnmnmjnjjmjjjxxxuxuxuxuxuxuufufxxuufxxuufydd,ddd1211211111111第33页/共65页 mmmmniiimniiimniiimuufuufuuufufxxuxxuufufyfmixxuuunmuuffymdddd,dd,d, 1,1111111111写成则复合函数的全微分可也可微在且微可在若复合数元函个与元函数设有xuuxu第34页/共65页., 1,1一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性这一性质称为一样分形式完全看

22、作是自变量时的全微变量中的中间这一全微分的形式与把miuuufyim 0,dd1d3ddd2ddd12vvuuvvvuvuuvuvvuvu第35页/共65页定理定理4(4(隐函数存在定理隐函数存在定理) ) yxyFFxyxyxFxfyxfyyxFyxFyxyxFyxFdd,0,0,.0,3;,2; 0,1,00000000并且及它满足具有连续导数的函数定了一个在的某一邻域内唯一确则方程导数的某邻域中有连续的偏在点满足如果二元函数第36页/共65页习题习题5.3 P.45-47 13.(1),(4); 14.(2); 15.(1),(3); 16.(2) ; 17.; !9.(2); 20.(

23、2); 21.定义定义1 1 .,;,00mmnCfCfmfCfCfCffnf记为上的是则称数阶偏导内有连续的在若或记为上的是则称内连续在若元函数内的是定义在区域设类函数类函数类函数类函数Rx定理定理1 1 jininjjiniiixxxxfRRxxfffUUCfn11021110000002! 21,1 , 0,xxxxxxxxxx其中使得则元函数设第37页/共65页称为Lagrange余项.上述公式也可写成xxxHxxxxxx0000! 21,fTfff其中实对称矩阵 xxxxxxxxxxxxxxH022221222222122122122120nnnnnfxfxxfxxfxxfxfxxf

24、xxfxxfxf第38页/共65页 .Hessian0矩阵的在点称为xxxf 2000000020000!21,!21,TaylorPeanoxxxxxHxxxxxxxxxxHxxxxxxfTfTffffff公式余项的二阶还可得到带特别对二元函数,上式可写成第39页/共65页2020200000000000000000000,! 21,yyxxyyxxyxfyxfyxfyxfyyxxyyyxfxxyxfyxfyxfyyyxxyxxyx其中定义定义2 2 极值点.极值点.极值极值大值点(极小值点)大值点(极小值点)极极极大值(极小值)极大值(极小值)极小值)极小值)无约束极大值(无约束无约束极大

25、值(无约束值点与极小值点统称为极大极大值与极小值统称为的称为点简称为取得在点则称成立不等式恒若设,:00000000ffffffffUUfnxxxxxxxxxxRxR第40页/共65页定理定理2(2(极值的必要条件极值的必要条件) ).,0000 xxxfffn则必有的极值点为且偏导数存在的在点元函数设定理定理3(3(极值的充分条件极值的充分条件) ) ).(),(,Hessian,0000002极大值极小值的为则负定正定若矩阵的在点为元函数设ffffUCfnffxxHxxH0 xx习题习题5.45.4 1.; 4. (1),(4); 5. (2); 6. (2); 7.; 8.; 10.第4

26、1页/共65页定理定理1 1处的导数为在此时处可微在的每个分量处可微的充要条件为在点向量值函数000, 1:xfxfxRRfmifimnnmmmnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfD0201002202102012011010 xxxxxxxxxxf.,00nmjixfxJacobixf记为处的在这个矩阵称为矩阵矩阵第42页/共65页0,Jacobi,1100 xxfxJxfnnxxffnm记成行列式处的在该方阵的行列式称为时当 二阶导数二阶导数处的在为数量值函数为数量值函数时002001000,1) 1 (xxxxxxxxxfDfDfDfxfxfDffmTn第43页/共65页Tfnnnn

27、nnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxffD002202102202220221021021202210202xHxxxxxxxxxx 0010200101,1)2(xfxfxDxfxfxDxfxfxxnmmmfffRf为实变量为一元向量值函数时第44页/共65页定理定理2 2 xDxxxDxDxDuuDuDuDDDDDDuTTgfgfgfgfRRgRRfxxfxfxfxfxfxgxgxfxgfxgxfxgfxgfgfxxgf并且处可微在则向量积若并且处可微在并且处可微在则有处可微的数量值函数是在处可微都在点与设有向量值函数,:,:)3(,)2(,) 1 (,33第45页/共65页

28、定理定理3(3(向量值函数的链式法则向量值函数的链式法则) )0000000010100,xgxgfxgufxwxgfwRxgufRxgxguDDDDDffggpTmnTp并且处可微在点则复合函数处可微在对应的点向量值函数处可微在点设向量值函数000212221212111212221212111212221212111xxuuxxnpppnnpmmmppnmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgufufufufufufufufufxwxwxwxwxwxwxwxwxw第46页/共65页特殊情况:njxgufxwufufufDffwfmpijiijpnp, 2 , 1,:,:, 1) 1

29、(100020100 xuuuuuRRgRRnnnnnnxxxggguuufffxxxwwwpmn,)2(212121212121第47页/共65页考虑m个方程,m+n个变量组成的方程组 ., 2 , 1,:.,0,0,0,12111112111函数函数由该方程组所确定的隐由该方程组所确定的隐解解 或称为数是它的个函那么就称这个恒等式使其变成述方程组将其代入上函数个上的如果存在定义在点集变量的方程组个个方程上式就是包含对于给定的mmmixxfymAmmxxxyyxxFyyxxFyyxxFniinnmnmmnmnR第48页/共65页 AAffFFyyxxyyxxmnTmTmTmnmTmnTnxx

30、fyRRf0yxFxfy0yxFfFyxRyRx,:,.,111111或所确定的向量值函数就可看成由向量方程由方程组确定的隐函数式写成则方程组可写成记第49页/共65页定理定理4(4(隐函数存在定理隐函数存在定理) ) .,:0,Jacobi)2(;,) 1 (,:,000,1100000000 x0 xfxFxfyRfRxyxJ0yxFyxRFRRyxF使向量值函数及唯一的连续可微的的区域则存在一个包含行列式满足下列条件且数是连续可微的向量值函域是一个区设mnmmmmnyyFF：GGG第50页/共65页若方程组nnnnnxxxfyxxxfyxxxfy,2121222111nxxx,21在点的

31、某邻域内有连续的偏导数,并且, 0,2121nnxxxyyy的反函数导数组单值连续且有连续偏邻域内唯一地确定了一的某相对应的点则在与点nnyyyxxx,2121nnnnnyyyxyyyxyyyx,2121222111第51页/共65页并且nnnnxxxyyyyyyxxx,1,21212121 .).,(,.,;,.212121有向曲线有向曲线负向负向正向正向简单闭曲线.简单闭曲线.简单曲线简单曲线连续曲线连续曲线规定了正向的曲线称为的的方向为减小自然的增大的方向为我们规定曲线的对于选定了参数为则称且为简单曲线如果自身不相交的连续曲线即简单曲线就是为则称为单射上即在均有且续曲线为连如果为则称量值

32、函数如果向的方程为设空间曲线tttttttttCtttrrrrrrrr第52页/共65页 .,:0000为参数的向径的动点为切线上其中可写为处切线的向量方程在点曲线RrrrrrtzyxMzyxttttPt对称式方程(标准方程) 000000tztzztytyytxtxx .,.,分段光滑曲线分段光滑曲线光滑曲线光滑曲线为则称段都是光滑曲线每分成若干有限段后但将不是光滑曲线果曲线如为曲线时且上有连续的导数在当函数tttttrr0rr第53页/共65页 .,00,.000000000000的向径是法平面上点其中或法平面方程是的在点此平面称为平面内这些法线显然位于同一处的在线称为此曲线处的切线垂直的

33、任一直且与点上点过曲线zyxzyxtzztztyytytxxtxttPPPPrr法平面.法平面.法线法线 01,00000000000 xzzxzxyyxyxxxzxzzxyxyyxxxxbxaxzzxyy法平面方程分别为程与相对应的点处的切线方上与参数那么的方程为如曲线第54页/共65页 曲面的参数方程.曲面的参数方程.称为或写为向量形式示为的方程可用此映射表的某一连续映射的象到空间一区域可以看作是由平面上某曲面DvuvuzvuyvuxvuDvuvuzzvuyyvuxxSOxyzDS,.rr 100000,.,IuvuzvuyvuxvuSSuvvDrrr其方程为上的称为曲面曲线上的一条下象点

34、的集合应是曲面则此时在映射化变让中固定若在对于曲面的参数方程u曲线u曲线第55页/共65页 .,2120000所允许的变化区间与分别为与其中曲线的方程为上的同理可得曲面vuIIIvvuzvuyvuxvuvS rr.,参数曲线网参数曲线网的上曲线族构成曲面曲线族和它们的交点就是线曲曲线和一条就有一条上的每一点过曲面SvuPvuPS IttvtuztvtuytvtuxtvtuIttvvtuuDS,rrr的方程为因而它下的象点集合在映射内某一平面曲线上任一条曲线必是区域曲面第56页/共65页 正则点.正则点.为曲面的此时称点且导数存在偏在点内连续在其中对于曲面000000,00,00002,0000

35、vuvuvuvzvyvxvuuzuyuxvuDvuDDvuvuzvuyvuxvuvuvuvvuu0rrrrrRrr法向量可取为法线的方向向量称为处的在点的直线称为此曲面垂直于切平面且过点是此切空间的一组基它是一个线性空间的在点也称为的在点称为曲面所确定的平面与曲线的切向量曲线和把由.,.,000000000000法向量法向量法线法线二维切空间,二维切空间,切平面切平面rr0rrrrrrrrSvuvuSSvuvuvuvuvuvu第57页/共65页0000000000000000,0,0.000vuzzvuyyvuxxCzzByyAxxzzCyyBxxASCBAvuyxvuxzvuzyvuvuvu其中法线方程为的切平面方程为在点rrr光滑曲面.光滑曲面.是一则称曲面内连续区域均在若偏导数SDvzvyvxuzuyuxvu,rr第58页/共65页00000000000000000, 0,PFzzPFyyPFxxzzPFyyPFxxPFzyxPzyxFSzyxzyx法线方程为的切平面方程为在点的方程为若曲面.,1,000