知识讲解导数的计算基础

1、导数的计算【学习目标】1.牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2 .熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3 .能熟练运用四则运算的求导法则，4 .理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：”由外及内, 层层求导”.【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式(1) f(x) C (C 为常数)，f'(x) 0(2) f(x) xn (n为有理数)，f'(x) n xn .(8) f (x) log a x, f '(x) Togae 。x(3) f (x) sin x , f'(x) cosx(4) f (x) cosx, f'

2、;(x) sin x(5) f(x) ex, f '(x) ex(6) f (x) ax, f '(x) ax In a1(7) f (x) ln x , f '(x) 一x要点诠释:1 .常数函数的导数为0,即C/ =0 （C为常数）.其几何意义是曲线f（x） C （C为常 数）在任意点处的切线平行于x轴.2 .有理数幕函数的导数等于幕指数 n与自变量的（n1）次幕的乘积，即（xn） nxn 1有时也把（log ax）' loga e 记作：（log a x）' xx ln a以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可.知识点二：函数的和、差、

3、积、商的导数运算法则：(1)和差的导数:f(x) g(x)'f'(x) g'(x)(2)积的导数：f(x) g(x)' f '(x)g(x) f(x)g'(x) （nC Q）.一， 1特别地1 x(G)'12 ,x3 .正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）/ =cos x.4 .余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）/ = sin x.5 .指数函数的导数：（ax）' axina, （ex）' ex.6 .对数函数的导数：（log a x）' 1logae, （ln x）'-. xx(3)

4、商的导数：工区 g(x)f'(x) g(x) f(x) g'(x)g(x)2(g(x) 0)要点诠释:1 .上述法则也可以简记为:(i)和(或差)的导数：(u v) u' v',推广：(u1 u2 UI un) u'1 u'2 1M u'n .(ii)积的导数：(u v)' u'v uv',特别地：(cu)' cu' (c为常数).(iii)商的导数：u ' u'v2uv'(v 0), v v两函数商的求导法则的特例f(x) , f '(x)g(x) f(x)g

5、9;(x)g(x)g2(x)(g(x) 0),当f(x) 1时,1, 1' g(x) 1 g'(x)g(x)g2(x)这是一个函数倒数的求导法则.2 .两函数积与商求导公式的说明u'v uv'2v(VW0),注意差异，加以区分./C、辽 u , u' 口 u , u 'v uv'(2)注意： '一且'2 (vw0).v v' v v3.求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三 角包等变形可将函数先化简(可能化去了商或积)，然后进行求导，可避免使用积、商 的求导法则，减少

6、运算量.知识点三：复合函数的求导法则1 .复合函数的概念对于函数y f (x),令u (x),则y f(u)是中间变量u的函数，u (x)是自变 量x的函数，则函数y f (x)是自变量x的复合函数.要点诠释：常把u (x)称为“内层”，y f(u)称为“外层”。2 .复合函数的导数设函数u (x)在点x处可导，u'x '(x),函数y f(u)在点x的对应点u处也可导 y'u f '(u),则复合函数y f (x)在点x处可导，并且y'x y'u u'x ,或写作 f'x (x) f'(u)'(x).3 .掌握复

7、合函数的求导方法(2)各层求导：对内层u(1)分层：将复合函数y f (x)分出内层、外层。(x),外层y f(u)分别求导。得到 (x), f'(u)(3)求积并回代：求出两导数的积：f'(u) '(x),然后将u用(x)替换，即可得到y f (x)的导数。要点诠释：1.整个过程可简记为分层一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。2.选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导,不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例1.求下列函数的导数： x3 4

8、(3)Vx (4) y sinx (5) ln x x【解析】(1) (x3)' =3x31=3x2;1 . o .。(2) () =(x 2) =-2x 2 1=-2x 3x111二 11 11(x) (x ) x x222, x y' (sinx)' cosx ；，_、1(5) y' (In x)' ； x【点评】(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数 公式，可以简化求导过程，降低运算难度。(2)准确记忆公式。(3)根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幕的形式。举一反三：【变式】求下列函数的导数：(1)y = -1

9、3-(2)y = Tx(3) y=2x33x2+5x + 4x(4) y log 2 x2 10g 2 x；1(1) y =(-3-) =(x 3) =-3x 3 1=-3x 4 x11 .一 1 一 1(2y (3 x)(x3)-x331x2 332(3) y' 2(x )' 3(x )' 5(x)'_ 2_(4)' 6x 6x 52(4) - y log 2 x 1og2x 1og2x, . y' (log 2x)'1x In 2类型二：求函数的和、差、积、商的导数例2. 求下列函数导数:(1) y= 3x2+ xcosx;(2)y=

10、； (3)y= lgx ex; (4) y= ex tanx.1 x x 1(1)y=6x+cosx xsinx.(2)y =r 2.(3)y = (lgx)(e)=-e.(1 x) (1 x)xln10x' x.e(4)y = e tanx+ 2.cos x【点评】(1)熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前 提。(2)先化简冉求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。举一反三：【变式11函数y (x 1)2(x 1)在x 1处的导数等于()A. 1B. 2 C. 3 D. 4【答案】D法一： y' (x 1)2'(x 1) (x 1

11、)2(x 1)'y'|x 1 4.法二：V y (x 1)2(x 1) (x2 1)(x 1) x3 x2 x 1.32_ 2_.y (x )' (x )' x' 1' 3x 2x 1 y'lxi 4.【变式2】求下列各函数的导函数(1) y=(x+1)(x+2)(x+3)。(2) y=x2sinx;xy=7cosx sin x(1) . y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,=3x2+12x+11。y'(3) y=(x2) ' sinx+ x2 (sinx) ' =2xsinx+x2cosx

12、(x cosx) (x sin x) (x cosx)(x sin x)2(x sin x)(1 sin x)(x sin x) (x cosx)(1 cosx)(x sin x)2xcosx xsin x sin x cosx 1z2(x sinx)【变式3】求下列函数的导数.(1)=(2 x2-5 x +1) ex;(6 1). 1)；(3)_ sinx xcosxcosx xsin x【答案】(1) y'=(2 x2-5 x +1)' ex+(2 x2 5 x +1)(ex)'二(4 x -5) ex + (2 x25 x +1) ex=(2x2 x 4) ex(

13、2) y(G 1311212xx22y'2(cos x x sin x)(sin x x cos x)' (cosx +x sin x)(sin x x cosx) (cox+ x sin x)'1=2 (cos x cos x + x sin x) (cos x(cosx x sin x)+ x sin x) (sin xx cosx) (x cosx)2 , 2.22xsin xcosx x sin x xsin xcosx x cos x-/、2(cos x xsin x)cosx xsin x类型三:求复合函数的导数例3求下列函数的导数:(D y -(1 3x)

14、4(2) y cos(3x ); 62(3) y ln(2x 3x 1);【解析】(1)设厂1-3x, y 4,则y'x y45(3)12(1 3x)5(2)设 3x , y=cosp,则y'x y' 'x sin 3 3sin(3x ) o(3)设 u 2x2 3x 1,则u' 4x 3, y'u In u ln(2x2 3x 1) 【点评】把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记 住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函 数。举一反三：【变式】 求下列函数导数.(1) y ln(

15、x 2)；(2) y e2x1;(3) y cos(2x2 1).【答案】(1) y In u , u x 2 y'x yu u'x(inu)(x2)(2)y eu , u 2x 1. y'x yu u'x (eu)(2x1)2eu2e2x 1(3)2 . y x y u u x (cos u) (2x1)24xsinu 4xsin(2x 1).求下列函数导数.y (12x2)8;(2) yx1(3) y sin 2(2x ) 3(2) y'_ 21 2x ,y(x .1x2) x , 1(1x2)2252 x 1 2xx :rx2 "rx20

16、(3)设 y 2, p=sinv, v2x 一，则3在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤:(1)复合函数求导数的步骤是:分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系(简称分解复合关系)分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导)；将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解一一求导一一回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了， 即分解(复合关系)一一求导(导数相乘)。(2)同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。举一反三：【变式1】 求y =sin4x +cos 4x的导数.【答案】解法一 y =sin 4x +cos 4x= (sin2

17、x +coSx)2 2sin2co4x= 1- - sin22 x= 1 1 (1cos 4x) = 3 + 1 cos 4x. v' = sin 4 x.444解法二 y' =(sin4x)' + (cos4x)' =4 sin3x(sin x)' +4 cos3x (cosx)'=4 sin3x cos x +4 cos3x ( sin x)=4 sin x cosx (sin2x cos2x)=2 sin 2 x cos 2x= sin 4 x【变式2】求下列函数导数:2x(2).求函数cosx2sin x2的导数sin x0)。设 u=1

18、 2x2,贝 U4x)2(132x2)已4x)2x(1 2x2)2x _ O(1 2x2). 1 2x2(2).方法一：y'c cosx22-sin xcosx , 2cos x.22sin x sin x2, 2(cos x) 'sin x cosx(sin x)'sin2cos x(, 32.、sin x 2cos x sin x)sin 6x2cos x.3- sin x34cos x_._50 sin x方法二：: y2cos x_ 4-， sin xy'(cos2 x)'sin 4cos2 x(sin4 x)'.8sin x2cos x

19、( sin x)sin 4 x23cos x 4sin xcosx一 8sin x2cos x3- sin x34cos x_._50 sin x类型四：利用导数求函数式中的参数例 5(1) f (x)3 ax3x21) 4 ,则a的值为(B.133C,坦3(2)设函数f (x)cos(、3x)(0),若f(x) f'(x)是奇函数,【解析】 (1) f '(x) 3ax2 6x ,_10 f'( 1) 3a 6 4, . a ,故选 A。3(2)由于 f'(x)>/3sin(x/3x),f(x) f '(x) cos(>/3x)点sin(J3x) 2sin V3x-,65右 f(x) f'(x)是奇函数，则 f(0) f