(完整版)利用导数解决恒成立能成立问题

1、不得用于商业用途利用导数解决恒成立能成立问题利用导数解决恒成立能成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)(1)恒成立问题恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)AminForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse若不等式f(x)B在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围.3.设a0，函数，若对任意的x1，x2曰1,e,都有fA(x1)g(x2

2、)成立，则a的取值范围为.4._若不等式lax3-lnxl1对任意xG(0，1都成立，则实数a取值范围是.5.设函数f(x)的定义域为D,令M=klf(x)k恒成立,xGD,已知f(51-p,，其中xG0,2,若4GM,2GN,则a的范围是.6. f(x)=ax3-3x(a0)对于xG0,1总有f(x)-1成立，则a的范围为7._三次函数f(x)=x3-3bx+3b在1,2内恒为正值，则b的取值范围是.一利用导一利用导【解决恒成立问题【解决恒成立问题不得用于商业用途8._不等式x3-3x2+2-a0成立，则实数a的值为.11._若关于x的不等式x2+1kx在1,2上恒成立，则实数k的取值范围是

3、.12.已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(g)x-m,若Vx1G0，3，3x2G1，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()A.書，+丙)B.(-x，書C.吉，+丙)D.(-x,-1313.已知：，若对任意的x1G-1,2,总存在x2G-1,JRJ2,使得g(x1)=f(x2),则m的取值范围是() )A.0,*B-g,0C-g,D-I，1二利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f(x)A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立， 则等价于在区间D上的f(x)B.minv-U1r14.已知集合A=xGRI0,使f(x

4、0)115.设函数，；(p是实数，e为自然对数的底数)(1)若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围;(2)若在1,e上至少存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立，求p的取值范围.16.若函数y=f(x)，xGD同时满足下列条件：(1)在D内的单调函数;(2)存在实数m,n,当定义域为m,n时，值域为m,n|.则称此函数为D内可等射函m 十_Q数，设(a0且aH1),则当f(x)为可等射函数时，a的取值范围是1 门呂17.存在xVO使得不等式x22-lx-tl成立，则实数t的取值范围.18存在实数x,使得x2-4bx+3bl3a-1l成立，则实数a的取值范围是.20._存在实数a使

5、不等式ae|lmI成立，贝9实数t的取值范围为.不得用于商业用途23.若存在实数pG-l,1,使得不等式px2+(p-3)x-30成立，则实数x的取值范围为.24.若存在实数x使，3芷+呂+14-X0成立，求常数a的取值范围.25.等差数列an的首项为a，公差d=-1，前n项和为Sn,其中a1G-1,1,2(I)若存在nGN,使Sn=-5成立，求a1的值；(II)是否存在a,使Sna-1，得至到lnx+a-F+lxZ+l1,从而原题等价转化为y=x+在xG1,+x)上的最小值不小于a-1,由此x2+l利用导数知识能够求出a的取值范围.不得用于商业用途(a-1)s2+a-3_1=a-1-一一,

6、,F+lx2+llnx+a-1,宀 1在xe1,+B）上恒成立,F+1.y=x+在xGl,+*）上的最小值不小于a-1,x2+l.買*14A令=0,得x=1,或x=-1（舍），x2 十 1）2.xG1,+*）时，0,（F+1）?.y=x+在xG1,+）上是增函数，x2+l当x=1时，y=x+在xG1,+B）上取最小值1+更?+112+12所以ag号.故答案为：（-X肖.点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化一、【呂一 1）K2+a-3思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是在xG1,12+1+X）上恒成立等价转化为y=x+在xG1,+*）上的最小值不小于a-

7、1.x2+l解答:不得用于商业用途2.若不等式x4-4x32-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围（29,+*）.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题：计算题分析：不等式恒成立，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值因此记不等式的左边为F(x),利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R上的最小值，最后解右边2-a小于这个最小值，即可得出答案.解答：解：记F(x)=x4-4x3-x4_4x32-a对任意实数x都成立，F(x)在R上的最小值大于2_a求导：F(x)=4x3-12x2=4x2(x_3)当xG(_-，3)时，F(x)VO,故F&)在(-B,3)

8、上是减函数；当xG(3，+B)时，F(x)0，故F(x)在(3,+B)上是增函数.当x=3时，函数F(x)有极小值，这个极小值即为函数F(x)在R上的最小值即F(x)min=F(3)=-27因此当2-a29时，等式x4-4x32-a对任意实数x都成立故答案为：(29，+b)点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中不得用于商业用途档题.3.设a0,函数 f(x)=x-F,g(工)=s-lm,若对任意的x1,x2G1,e,都有f(X)g(x2)成立，则a的取值范围为e-2,+*)考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题.专题：综合题.分析：求导函数，

9、分别求出函数f(x)的最小值，g(x)的最大值，进而可建立不等关系,即可求出a的取值范围.解答：解：求导函数，可得g(x)=1-3,xG1，e，g(x)0，二g(x)max=g(e)=e-1F二 1-，令f f(x)=0，va0，x=-/a当0VaV1,f(x)在1,e上单调增,f(x)min=f(1)=1+ae-1,ae-2；当1ae-1恒成立;不得用于商业用途当ae2时f(x)在1,e上单调减，：f(x)亦二彳(e)=ee-1恒成立e综上ae-2故答案为：e-2,+-)点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1,x2G 1,e,都有f(x1)g(x2)成立，

10、转化为对任意的x1，x2G 1，e， 都有f(x)ming(x)max-24.若不等式lax3-lnxlnl对任意xG(0,1都成立，贝V实数a取值范围是号+)考占n 八、 、利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题.专题综合题；导数的综合应用.分析：令g(x)=ax3-lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1,即可确定实数a取值范围.解答：解：显然x=1时，有lal1,a1.令g(x)=ax3lnx,gJ：X当a1时，对任意xG(0,1,g(x)在(0,不得用于商业用途1上递减，g(x)mii=g(1)=a-1,此时g(x)Ga,+*),lg(x)I

11、的最小值为0不适合题意.2实数a取值范围是、400)点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键.5.设函数f(x)的定义域为D,令M=klf(x)k恒成立,xGD，已知，其中xG0,2，若4GM,2GN,则a的范围是考占八、利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题.专题计算题；导数的概念及应用.分析：由题意，xG0,2时,2_且*芒_*工4呂，确定g二書的最值，即可求得a的范围.解答：解：由题意，xGO,2时，2盂-当a1时，对任意xG(0，1，函数在(0,哇)上单调递减,在己看，2 上单调递增lg(x)I的最小值为呂巧丄巧丄!121，解得

12、：且羊厂不得用于商业用途二 2-罡+芒-吉號 4-呂令，则g(x)=x2-x=x(x-1)xG0,2,二函数在0,1上单调递减，在1,2上单调递增x=1时，g(x). .= =- -minvg(0)=0,g(2)3-g(x)max=f点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.6.f(x)=ax3-3x(a0)对于xG0,1总有f(x)-1成立，则a的范围为4,+呵考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题.分析：本题是关于不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对x分类不得用于商业用途_/Jv讨论：x=0与XHO,当XHO即xG(0,1

13、时，得到：，构造函数xJ：；V，只需需ag(x)max，于是可以利用导数来求解函数g(X)的最值.解答：解：.xG0,1总有f(x)-1成立,即ax3-3X+10,XG0,1恒成立当X=0时，要使不等式恒成立则有aG(0,+-)当XG(0,1时，ax3-3X+10恒成立,即有：在XG(0,1上恒成立，令，必须且只需ag亠丿/；_3(1-2x)由o得，X所以函数g(X)在(0,肖上是增函数，在言,1上是减函数，所以=4,即卩a4JTL：dK2综合以上可得：a4.答案为：4,+-).点评：本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数

14、学思想方法.(X)max不得用于商业用途7.三次函数f(x)=x3-3bx+3b在1,2内恒为正值，则b的取值范围是考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题.专题：计算题；转化思想.分析：方法1：拆分函数f(x)，根据直线的斜率观察可知在1,2范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围解答：解：方法1：可以看作y=x3,y2=3b(x-1)，且y2y1x3的图象和x2类似，只是在一，三象限，由于1,2，讨论第一象限即可直线y2过(1,0)点，斜率为3

15、b.观察可知在1,2范围内，直线y2与y=x3相切的斜率是3b的最大值.对y1求导得相切的斜率3(x2)，相切的话3b=3(x2),b的最大值为x2.相切即是有交点，y1=y23x2(x-1)=x3x=1.5则b的最大值为X2=9/4,那么bV9/4.不得用于商业用途方法2：f(x)=xA3-3bx+3bf(x)f(x)=3xA-3bb0,显然成立；b0时，令f f(x)=0 x=Vb-f(x)在Vb,+*)上单调增，在-Vb,Vb上单调减；如果 Vb1即b0,显然成立；如果 Vb2即b4，只需f(2)=8-3b0b8/3，矛盾舍去；如果1Vb2即1b0-b(2Vb-3)0Vb3/2b9/4，

16、即：1b9/4综上：b9/4点评：考查学生的解题思维，万变不离其宗，只要会了函数的求导就不难解该题了8.不等式x3-3x2+2-a0在区间xG-1,1上恒成立，则实数a的取值范围(2,+*).不得用于商业用途考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系专题：计算题分析：变形为x3-3x2+2a在闭区间G-1,1上恒成立，从而转化为三次多项式函数在区间上求最值的问题，可以分两步操作：求出f(x)=x3-3x2+2的导数，从而得出其单调性；在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大函数值，得出所给函数的最大值，实数a要大于这个值.解答：解：原不等式等价于x3-3x2+20,

17、函数为增函数，在区间(0,1)上f/(x)2不得用于商业用途故答案为：(2,+-)点评：本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值，处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用,简化运算9.当xG(0,+*)时，函数f(x)=ex的图象始终在直线y=kx+l的上方，则实数k的取值范围是(-x,1.考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：常规题型分析：构造函数G(x)=f(x)-y=ex-kx+1求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时k的范围，即k的取值范围解答：解：G(x)=f(x)-y=ex-kx+1，G(x)=ex-k，VxG(0，+x).G

18、(x)单调递增,不得用于商业用途当x=0时Gz(x)最小，当x=0时Gz(x)=1-k当Gz(x)0时G(x)=f(x)-y=ex-kx+1单调递增，在x=0出去最小值0所以1-k0即kG(-x,1.故答案为：(-x,1.点评：构造函数，利用导数求其最值，根据导数的正负判断其增减性，求k值，属于简单题.10.设函数f(x)=ax3-3x+1(xGR)，若对于任意的xG-1，1都有f(x)0成立，则实数a的值为4.考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题.分析：弦求出f f(x)=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f(x)的最小值，对于意的xG-1，1都有f(x)0成立， 可转化为最小

19、值大于等于0即可求出a的范围.解答：解：由题意，f f(x)=3ax2-3，当a0即可，解得a2，与已知矛盾，厂当a0时，令fz(x)=3ax2-3=0解得x=士亠，不得用于商业用途1当xV-卫时，F(x)0,f(x)为递增函数，a2当-丄旦 VxV 丄时，fz(x)V0,f(x)为递减函数，aa3当x鼻时，f(x)为递增函数.a所以f(L)0，且f(-1)0，且f(1)0即可a由f(J0，即a3+10,解得a4，aaa由f(-1)0，可得a0解得2akx在1,2上恒成立，则实数k的取值范围是(x,2.考占n八、 、利用导数求闭区间上函数的最值.专题计算题.分析：被恒等式两边冋时除以x,得到k

20、kx在1，2上恒成立，kWx+3，工十!在1,2上的最小值是当x=2时的函数值2，k-卫且Z2m+-13333A0mA6m=0时，g(x)满足题意;m-卫且昼-m+丄3333A-2m03综上知m的取值范围是-g,*故选C.不得用于商业用途点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.14.已知集合A=xGRI0,使f-1x(x0)1考点：利用导数求闭区间上函数的最值；交集及其运算.专题：计算题.分析：解分式不等式求出集合A,根据集合B可得ax-xlnx在(0,+*)上有解.利用导数求得h(x)=x-xlnx的值域为(-x,1，要使不等式axlnx

21、在(0,+*)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a1成立，故B=ala1，由此求得AnB.”IT解答：解：集合A=xGRI0,且2x-1H0=xlxV 号，或x1.不得用于商业用途由集合B可知f(x)的定义域为xlx0，不等式卫-1+lnxWO有解，I即不等式a0，当x1时，hh(x)0，可得当x=1时，h(x)=x-xlnx取得最大值为1.要使不等式ax-xlnx在(0,+*)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可.即a1成立，所以集合B=ala1.所以AcB=xlxg(x0)成立，求p的取值范围.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题

22、.2分析：(1)求导ff(x)=，要使“f(x)为单调增函数”，转化为“fz(x)0不得用于商业用途恒成立”，再转化为“P=恒成立”，由最值法求解.同理，要使“f(x)X X为单调减函数”，转化为“f(x)g(x0)成立”，要转化为“f(X)maxg(X)伽”解决，易知g(x)在1，e上为减函数，所以g(x)G2，2e，当p1时，f(x)在1,e上递增；当0p0恒成立”，即p=恒成立，又，所以当p1时，f(x)在(0,+1*岸XX+B)为单调增函数.同理，要使“f(X)为单调减函数，转化为乍(x)0恒成立，再转化为“pW=恒成立，又，所以当p1或p0(2)因g(x)在1，e上为减函数，所以g(

23、x)G2，2eK1当p1时，由(1)知f(x)在1,e上递增，f(1)g(x)min，XG1,e,i4E即：f(e)=p(e)-2lne2op-.e-13当0p0,xG1,ex所以f(x)=p(x-2)-21nx(x-丄)-21nxe-丄-21ne0且aH1),则当f(x)为可等射函数时，a的取值范围是1.门呂(0,1)U(1,2).不得用于商业用途考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域.专题：新定义.分析：求导函数，判断函数为单调增函数，根据可等射函数的定义，可得m,n是方程且*+旦-3-3的两个根，构建函数g(x)=，则函数g(x)-3=有两个零点，分类讨论，

24、即可确定a的取值范围.Ina解答：解：求导函数，可得f(x)=ax0,故函数为单调增函数T存在实数m,n,当定义域为m,n时，值域为m,n.f(m)=m,f(n)=nm,n是方程的两个根Inau_j_呂_呂_构建函数g(x)=，则函数g(x)=有两个零点，ggIna.Ina.Ina(x)=ax-11OVaVl时，函数的单调增区间为(-B,0),单调减区间为(0,+-)g(0)0,函数有两个零点，故满足题意；2a1时，函数的单调减区间为(-B,0),单调增区间为(0,+-)+日q不得用于商业用途要使函数有两个零点，则g(0)0,a21VaV2综上可知，a的取值范围是(0,1)U(1,2)故答案为

25、：(0，1)U(1,2).点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键.17.存在xV0使得不等式x2V2-lx-tl成立，则实数t的取值范围是(-弓，2).考点：绝对值不等式.专题：计算题.分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合.原不等式x2V2-lx-tl,即lx-tl2-x2，分别画出函数y1=lx-tl,y2=2-x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x0使不等式lx-tl2-x2成立，则y1的图象应该在第二象限(x0)和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t0时，要使y1和

26、y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围.不得用于商业用途解答：解：不等式x22-lx-tl，即lx-tl2-x2,令y1=lx-tl，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限;y2=2-x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x0，使不等式lx-tl2-x2成立，则yi的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，当t0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x-t，联列方程y=x-t，y=2-x2,只有一个解；即x-t=2-x2，即卩x2+x-t-2=0，=l+4t+8=0,得：t=-；此时yi恒大于等于

27、y2,所以t=-专取不到；q所以-t0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可;y1=t-x与y轴的交点为（0,t）,所以t0,所以0t2；不得用于商业用途点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.吟18.存在实数x,使得x2-4bx+3b或b0nbV0或b*.4故答案为：bg.4点评：本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系，是对函数知识的考查，属于基础题.19.已知存在实数x使得不等式lx-31

28、-Ix+2ll3a-II成立则实数a的取值范围是.考点：绝对值不等式.专题：数形结合；转化思想.分析：由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，令其大于等于13a-II，即可解出实数a的取值范围解答：解：由题意借助数轴，lx-3l-lx+2曰-5,5v存在实数x使得不等式lx-31-Ix+2ll3a-II成立，5I3a-1I,解得-53a-15,即-ia23故答案为-春2IIIIIIIII争不得用于商业用途-5-4-3-2-i012345点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取3a-ll5

29、，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误.20存在实数a使不等式a2-x+1在-1,2成立，则a的范围为(-,4考点：指数型复合函数的性质及应用.专题：计算题.分析：由x的范围可得1-x的范围，由此得到2-x+1的范围，从而得到a的范围.解答：解：由于-1x2,-11-x2,*2-x+14.v存在实数a使不等式a2-x+1在-1,2成立,a4.不得用于商业用途故a的范围为（-丙，4,故答案为（-x,4.点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，属于中档题.21.若存在xG，使成立，则实数a的取值范围为且 V.3

30、一.考占n八、 、正弦函数的图象；函数的图象与图象变化.专题计算题.分析：根据正弦函数的单调性，分别求出当0 x和x|成立，只需小于其最大值即可.解答：解：当0 x时，0lsinxl=sinx-42TTo当x0时，0sinxl=sinx32即当xG，0lsinxl?要使成立，则需旦JEI成立，则实数t的取值范围为_t4考占n八、 、 函数恒成立问题.专题计算题；函数的性质及应用.分析：考虑关键点x=1处，分为以下两端：xG(寺1时，tg;xG(l,3时,t,综上所述，t寺解答：解：考虑关键点x=1处，分为以下两端：1xG(丄，1时，丄-x0，lnxeInx,K即t-丄+x)=x2，此时t2.x

31、x222xG(1，3时，丄-xVO；lnx0，于是t+xelnx，即t3-x+x=，此时tKi33综上所述，t寺不得用于商业用途故答案为：tg.点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用.23.若存在实数pG-l,1,使得不等式px2+(p-3)x-30成立，则实数x的取值范围为(-3,-1).考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法.分析：把已知不等式整理为关于p的一元一次不等式，而不等式左边为关于p的一次函数，根据一次函数的性质可得此函数的最值只有在-1，1的端点取得，根据题意不等式恒成立可得当p=-1时，最小值大于0即可，故把p=-1代入不

32、等式，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围.解答：解：不等式px2+(p-3)x-30可以化为：p(x2-3x)-3x-30，这是一个关于p的一元一次不等式，函数p(x2-3x)-3x-3是关于p的一次函数，一次函数图象是直线，在定义域上是单调递增或递减，不得用于商业用途PG-1，1时， 函数p(x2-3x)-3x-3的最小值必定在端点-1或1处取到， 不等式px2+（p-3）x-30总成立，只需最小值大于0即可.-x2+（-l-3）x-30,即卩x2+（1-3）x-30,解得：-3VxV-1,贝y实数x的取值范围为（-3,-1）.故答案为：（-3,-1）点评：考查学生理解函数恒成立时的条件的能力，以及灵活运用一元二次不等式解法的能力.24.若存在实数x使3+6+.14-x成立，求常数a的取值范围.考点：二维形式的柯西不等式