2019-2020年高中数学1.6三角函数模型的简单应用(1)教案新人教A版必修4

1、2019-2020年高中数学16三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修4一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能

2、力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤1）根据图象建立解析式（2）根据解析式作出图象（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问是注意在复杂的背景中抽取基本的数学关J还要调动相关学科知识来帮助理解问题切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。3、情态与价值：培养学生数学应用意识提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。三、教学重点与难点教学

3、重点:分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课思路1.（问题导入）既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描

4、述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题 回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幕函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的？ 数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？ 上述的数学模型是怎样建立的？ 怎样处理搜集到的数据？活动:师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生，教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法

5、在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据一画散点图一选择函数模型一求解函数模型一检验一用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题，探求新知.讨论结果:描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学

6、方法. 解决问题的一般程序是：1°审题:逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.三、应用示例例1如图1,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(3x+Q)+b.(1) 求这一天的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是xx年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师

7、可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式其中求W是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20°C

8、.(2) 从图中可以看出，从614时的图象是函数y=Asin(3x+Q)+b的半个周期的图象，.A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.=14-6,.°.3=.将x=6,y=10代入上式，解得Q=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x£6,14.点评:本例中所给出的一段图象实际上只取614即可，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2xx全国高考函数y=|sinx|的一个单调增区间是()A.(,)B.(,)C.(n,)D.(,2n)

9、答案:C例3如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为e,6为此时太阳直射纬度,Q为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是e=90°-|q-6|当地夏半年6取正值，冬半年6取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h°的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？活动：如图2本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为Q,正午

10、太阳高度角为e，此时太阳直射纬度为6，那么这三个量之间的关系是e=90°-|q-6|当地夏半年6取正值,冬半年6取负值.根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3,由画图易知太阳高度角e、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h二htane.0由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直

11、射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度一23°26z依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有ZC=90°-|40°-(-23°26)|=26°34,所以MC=2.OOOh0即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3,然后由图形建立函数模型，问题得以求解这道题的结论有一定的实际应用价值.教学

12、中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°，小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层，每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？A南楼C北楼图4解:如图4,由例3知，北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan90°-(23°+23°26)=15tan43°3414.26,由于每层楼高为3米，根据以上数据，所以他应选3层以上.四、课堂小结1本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将

13、实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.五、作业1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系I=Asin(3x+Q)(w0,g|<)在一个周期内的图象.(1) 根据图象写出I=Asin(wx+Q)的解析式；(2) 为了使I=Asin(wx+Q)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数3的最小值为多少？解:(1)由图知A=300,

14、第一个零点为(一,0),第二个零点为(,0),.*.w()+q=0,3+q=n.解得3=100n,Q=,.°.I=300sin(100nt+).(2)依题意有TW,即W,.32200n.故3mi=629.2搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.解:如以下两例： 人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等； 蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，

15、这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕.2019-2020年高中数学16三角函数模型的简单应用(I)教案新人教A版必修4一、导入新课思路1.通过展示上节作业引入，学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的简单和谐运动,星体的环绕运动；地理情景的气温变化规律，月圆与月缺；心理、生理现象的情绪的波动，智力变化状

16、况，体力变化状况；日常生活现象的涨潮与退潮，股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题 本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？ 请做下题(xx浙江高考)若函数f(x)=2sin(3x+Q),x£R(其中3>0,|q|<)的最小正周期是n,且f(0)=,则()A.3=,Q=B.3=,Q=C.3=2,Q=D.3=2

17、,Q=活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的教师引导学生复习、回忆、理清思路查看上节的课下作业.教师指导、适时设问，让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中，使学生的思维状态进入到现在的情境中.讨论结果:略D三、应用示例例1货船进出港时间问题:海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0（1）选用一个函数来近似描述

18、这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口?在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据并进一步引导学生作出散点图让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图，如图6.教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎

19、样的函数模型来刻画其中的规律根据散点图中的最高点、最低点和平衡点学生很容易确定选择三角函数模型港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin（3x+Q）+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，w，Q，h的值即可.这时注意引导学生与"五点法”相联系要求学生独立操作完成,教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.642卜1-03691215182124x图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是

20、否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例（3）中，应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水

21、深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图（图6）.根据图象，可以考虑用函数y=Asin（wx+Q）+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：A=2.5,h=5,T=12,Q=0,由T=12,得w=.所以这个港口的水深与时间的关系可用y=2.5sinx+5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水5.006.257.167.57.166.255.003.752.8

22、32.502.833.75深00550045054时刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0000000000000水深5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.7500550045054货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米)，所以当y±5.5时就可以进港.令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.由计算器可得如图7,在区间0,12内,函数y=2.5sinx+5的图象与直线y=5.5有两个交点A、B,因此x0.2014,或nx0.2014.解得x0.384&x

23、5.6152.AB由函数的周期性易得:Xc12+0.3848=12.384&x°12+5.6152=17.6152.因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.(3) 设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x±2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在67时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米

24、;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中，一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释.变式训练发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数

25、,1=Isinwt,I=Isin(3ABt+120°),丁1$讪(3t+240°),则屮人+丁答案：0例2图9,是一个单摆的振动图象，据图象回答下列问题：(1) 单摆振幅多大；(2) 振动频率多高；(3) 摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4) 摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5) 若当g=9.86m/s2J,求摆线长.活动：引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(wx+Q)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.1.00.5-0

26、.5-1.0图9解:结合函数模型和图象：(1) 单摆振幅是1cm；(2) 单摆的振动频率为1.25HZ；(3) 单摆在0.6s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4) 单摆在0.4s时处正向最大位移处，首次具有加速度最大负值；(5) 由单摆振动的周期公式T=2n,可得L=0.16m.点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型，然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1.已知函数f(x)=sin(3x+Q)(w0,0WqWn)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若sinx+f(x)=，求

27、sinxcosx的值.解：(1)/f(x)为偶函数，.°.f(x)=f(x),即sin(wx+Q)=sin(wx+Q).Q=.f(x)=sin(wx+)=coswx.相邻两点P(x0,1),Q(x0+,1).由题意,|PQ|=n2+4.解得w=1.f(x)=cosx.(2)由sinx+f(x)=，得sinx+cosx=.两边平方，得sinxcosx=.2小明在直角坐标系中，用1cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象若他将纵坐标改用2cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2cm代表一个单位长度,而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,xWR,由于纵坐标改用了2cm代表一个单位长度,与原来1cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y=sinx,x