(完整版)证明圆的切线经典例题

1、1证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:一、若直线一、若直线 l l 过过 OOOO 上某一点上某一点 A,A,证明证明 1 1是是 OOOO 的切线，只需连的切线，只需连 OA,OA,证明证明 OAOA 丄丄 l l 就行就行了，简称了，简称“连半径，证垂直连半径，证垂直”难点在于如何难点在于如何证明两线垂直证明两线垂直. .例例 1 1 如图，在厶ABC中，AB=AC,以AB为直径的 0O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与 0O相切.证明：证明：连结OE,AD.VAB是 0O的直径，.AD丄BC.又 VAB=BC,Z3=Z4.?.BD=DE,Z1

2、=Z2.又VOB=OE,OF=OF,.BOFAEOF(SAS).ZOBF=ZOEF.VBF与 00相切，.OB丄BF.ZOEF=900.EF与 0O相切.c2说明：说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的3例例 2 如图，AD是 ZBAC的平分线，求证：PA与 0O相切.证明一：证明一：作直径AE,连结EC.TAD是 ZBAC的平分线，ZDAB=ZDAC.PA=PD,Z2=Z1+ZDAC.TZ2=ZB+ZDAB,Z1=ZB.又 TZB=ZE,.Z1=ZETAE是 0O的直径，.AC丄EC,ZE+ZEAC=9Oo.Z1+ZEAC=9Oo.即OA丄PA.PA与 00相切.证明二：证明二：延长AD交

3、 00于E,连结0A,TAD是 ZBAC的平分线，.BE=CE,.0E丄BC.ZE+ZBDE=9Oo.TOA=OE,ZE=Z1.TPA=PD,ZPAD=ZPDA.又 TZPDA=ZBDE,P为BC延长线上一点，且PA=PD.OE.4.Zl+ZPAD=90)即OA丄PA.PA与 0O相切说明：说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例例 3 如图，AB=AC，AB是 0O的直径，00交BC于D,DM丄AC于M求证：DM与 00相切.证明一：证明一：连结0D.VAB=AC，ZB=ZC.5=0D,AZ1=ZB.AZ1=ZC.ODAC.DM丄AC,.DM丄OD.DM与 0

4、0相切证明二：证明二：连结OD,AD.AB是 00的直径,.AD丄BC.又.AB=AC,Z1=Z2.DM丄AC,?.Z2+Z4=9OoOA=OD,Z1=Z3.?.Z3+Z4=9Oo.5即0D丄DM.:.DM.DM是 00的切线说明：说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例例 4 4 如图，已知：AB是 00的直径，点C在 00上，且 ZCAB=3Oo,BD=OB,D在AB的延长线上.求证：DC是 00的切线证明：证明：连结OC、BC.VOA=OC，.ZA=Zl=Z3Oo.AZBOC=ZA+Z1=600.又.OC=OB,.OBC

5、是等边三角形.OB=BC.5=BD,OB=BC=BD.0C丄CD.DC是 00的切线.说明：说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例例 5 5 如图，AB是 00的直径，CD丄AB,且0A2=0D0P.求证：PC是 00的切线.证明：证明：连结0C6.0A2=0D0P,0A=0C,0C2=0D0P,7OCOPODOC又 VZ1=Z1,OCPsODC.ZOCP=ZODC.VCD丄AB,ZOCP=90o.PC是 0O的切线.说明：说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例例 6 6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：

6、CE与厶CFG的外接圆相切.分析：分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边O是RtCFG的外心.VOC=OG,Z3=ZG,VADBC,ZG=Z4.VAD=CD,DE=DE,ZADE=ZCDE=45o,ADECDE(SAS)FG的中点，为此我们取FG的中点O,证明：证明：取FG中点O,连结OC.VABCD是正方形,BC丄CD,ACFG是RtAVO是FG的中点,8.Z4=Z1,Z1=Z3.VZ2+Z3=90o,Z1+Z2=9Oo.即CE丄OC.CE与厶 CFGCFG的外接圆相切二二、若直线若直线 1 1 与与。O O 没有已知的公共点没有已知的公共点，又要证明又要证明

7、 l l 是是 OOOO 的切线的切线，只只需作需作 OAOA 丄丄 1,1,A A 为垂足，证明为垂足，证明 OAOA 是。是。O O 的半径就行了，简称：的半径就行了，简称：“作垂直；证半径作垂直；证半径”例例 7 7 如图，AB=AC,D为BC中点，0D与AB切于E点.求证：AC与 0D相切.证明一：证明一：连结DE,作DF丄AC,F是垂足.VAB是 0D的切线，.DE丄AB.DF丄AC,AZDEB=ZDFC=9Oo.VAB=AC,ZB=ZC.又 VBD=CD,.BDE9ACDF(AAS)DF=DE.F在 0D上.AC是 0D的切线证明二：证明二：连结DE,AD,作DF丄AC,F是垂足.

8、TAB与 0D相切，9.DE丄AB.TAB=AC,BD=CD,/.Z1=Z2.10TDE丄AB,DF丄AC,DE=DF.F在 0D上.AC与 0D相切.说明说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例例 8 8 已知：如图，AC,BD与 0O切于A、B,且ACBD，若 ZCOD=90o.求证：CD是 0O的切线.证明一：证明一：连结OA,OB，作OE丄CD，E为垂足.VAC，BD与 0O相切，.AC丄OA,BD丄0B.VACBD,Zl+Z2+Z3+Z4=18Oo.VZCOD=90o,AZ2+Z3=9Oo,Z1+Z4

9、=9Oo.VZ4+Z5=9Oo.AZ1=Z5.RtAAOCsRtABDO.AC_OCOOD.VOA=OB,.AC_OCOOD.又*/ZCAO=ZCOD=9Oo,.AOCsODC,AZ1=Z2.又 VOA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E点在00上.CD是 00的切线.ZC0D=900,CF=CD,Z1=Z2.又 V0A丄AC,0E丄CD,OE=OA.E点在 00上.CD是 00的切线.证明三：证明三：连结A0并延长，作0E丄CD于E,取CD中点F,连结OF.VAC与 00相切，AC丄A0.VACBD,.A0丄BD.VBD与 00相切于B,A0的延长线必经过点B.AB是 00的直径.VACBD,0A=0B,CF=DF,证明二：证明二：连结0A0A,0B,作0E丄CD于E,延长D0交CA延长线于F.Rn12.OFAC,Z1=ZCOF.ZCOD=900,CF=DF,.OF=1CD=CF2Z2=ZCOF.AZ1=Z2.VOA