2019届高三二轮复习专题一第一讲函数与方程思想

1、专题一 数学思想方法思想方法解读函数与方程都是中学数学中最为重要的内容而函数与方程思想更是中学数学的一种 基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域， 在解题中有着广泛的应用， 是历年来高考考查 的重点1函数的思想函数的思想， 是用运动和变化的观点， 分析和研究数学中的数量关系， 建立函数关系或 构造函数， 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决 函数思想 是对函数概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、 分析和解 决问题经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等2方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建

2、立方程或方程组，通过解方程 或方程组， 或者运用方程的性质去分析、 转化问题，使问题获得解决 方程的教学是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 方程思想 是动中求静，研究运动中的等量关系3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决； 方程问题 也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y= f(x)的零点，解不等式f(x) 0(或 f(x)v0)，就是求函数 y = f(x)的正负区间，再如方程 f(x)= g(x)的解的问题可以转化 为函数y= f(x)与 y= g(x)的交点

3、问题，也可以转化为函数 y= f(x) g(x)与 x 轴的交点问题，方 程 f(x)= a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要.4函数与方程思想解决的相关问题(1) 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：1借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；2在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数； 把研究的问题化为讨论函数的 有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的(2) 方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：1解方程或解不等式；2带参变数的方程或不等式的讨论， 常涉及一元二次方程的判别式、 根

4、与系数的关系、 区间根、区间上恒成立等知识应用；3需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；4构造方程或不等式求解问题方法应用示例考点一 函数与方程思想在求最值或参数范围1求字母 (或式子 )的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程 (组)，然后由方程 ( 组)求得2求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题解决 这类问题一般有两条途径， 其一， 充分挖掘题设条件中的不等关系， 构建以待求字母为元的 不等式 (组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数， 然后，应用函数知识求值域3当问题中出现两数积与这两数和时，是构建

5、一元二次方程的明显信号，构造方程后再利 用方程知识可使问题巧妙解决.4当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一 个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决.例1（2019 东莞模拟）已知 a, b, c R, a+ b + c= 0, a + be 1 = 0，求 a 的取值范围.【独立解答】解法一（函数思想）a b e =0 口由已知得 b+ c bc+ 1 = 0,a +bc 一 1 =0如果 c= 1,贝 U b+ 1 b + 1= 0,即 2= 0，不成立，因此CM1,令 f(c)= J c = 2 + (1 c) +21

6、 c1 c当 1 c0 时，f(c) -2 2, (1 -c)2=-2221 -c当 1 _c：0 时f(c) =-2 -J(1-c)- = -2-2 逅Y 1 -c所以 a 的范围是 a -2 2 2 或 a 0即 =a24a -4 0解得 a -2 2 2 或 a 2 _2 2考点二利用函数与方程思想解决方程问题1 将两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题，即把函数问题用方程的思想 去解决.2.已知方程的解的情况，求参数的取值范围.研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂 方程解的问题，通常有两种处理思路： 一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问

7、题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决.例2（2019 泰安市模拟）若关于 x 的方程 cos 2x 2cos x+ m= 0 有实数根，则实数 m 的取 值范围是_【独立解答】原方程可化为m= cos 2x+ 2cos x.所以 b= Lc -1a=-c.1 c令 f(x)= cos 2x+ 2cos x,则 f(x)=2COS2X+1 + 2cos x=-2(cosx -i)23,2 2 由于一 1 cos x2y+ 3x，那么Ax+yv0Bx+y0C.xyv0Dxy0设不等式 2x 1 m(x2 1)对满足 m 2,2的一切实数 m 都成立

8、，求 x 的取值范围.(1)设 f(x) = 2x 3 x因为 2x， 3x均为 R 上的增函数，所以 f(x)= 2x 3x是 R 上的增函数.又由 2x 3x2y 3y= 2y 3(y),即 f(x) f( y),二 x y, 即卩 x + y0.设 f(m)= (x21)m(2x1),则不等式 2x 1 m(x2 1)恒成立？f(m)v0 恒成立.在2 10 时，y . = 6 600, min此时 x= 10;当 5 10 米时，猪舍的宽定为10 米，该养殖户投入的资金最少是6 600 元；若 5 av10 米时，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是80（a 5000元.（1

9、2 分）变式训练（2019 湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建f（m）：0 二(OWxw10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由 C(0)3x +540=8，得 k= 40,因此 C(x)=- .3x +5而建造费用为 C(x) = 6x.最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为40 小f(x)=20C(x)+C1(x)=20X+6x13x +5+6x(0wx 0.故 x= 5 是 f