2019届高三数学寒假作业三

1、、填空题（1414X 5=7070）1.已知全集U为实数集，A-xx2/x：0 ?,B=xx_1 则A -Q B二_2 .复数1（i 是虚数单位）的虚部为3.3._ 设向量 a a, b b 满足：|a |=1, a b -3,a:b=22，贝U | b|=_4.4._：的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，点 P（_1,3）是角：终边上一点，则cos2=_5.5.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x - （m1）y =2 _m与直线mx 2y - 8互相垂直的充要条件是6.6.函数f （x） =cosx（sin x亠cosx）（x三R）的最小正周期是_.7.7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面

2、上分别标有1，2, 3，4 的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为 x，y，则x为整数的概率是y8 为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试， 下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是50，150，样本数据分组为50，70），70，90）， 90， 110） ，110， 130） ，130，150，90 的人数是 36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于人数是_ .9运行如图所示程序框图后，输出的结果是 _ .10 .已知直线y =x 2与曲线y =1 n x相切，则a的值为_ .11.关于直线 m, n 和

3、平面 a，0,有以下四个命题：右m ：，n，.-：“/ |，则mn；右m/ n, mm n l1，则.-I-； 若：J : =m, m/ n，则n /:且n 卜；若m I n,：f| : =m，则n .，或n |.:.其中假命题的序号是_ .2 212 过双曲线 乞_1的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （ O 为原点）的2 T 1a b垂直平分线上，则双曲线的离心率为 _ .13.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列， 这个常向量叫做等差向量列的公差已知向量列g是以:二口,为首项，公差:二仆,。）的等差向量

4、列若向量；与非零向量：=（人，人j（n- N ）垂直，则 型=_x14.三位同学合作学习，对问题 已知不等式xyEax2+2y2对于x 1,2,y丢12,3】恒成立，求a的取值范围提出了各自的解题思路. 甲说：可视x为变量，y为常量来分析” 乙说：不等式两边同除以x2，再作分析”丙说：把字母a单独放在一边，再作分析”参考上述思路，或自已的其它解法，可求岀实数a的取值范围是 _.20192019 届高三数学寒假作业三m=已知样本中每分钟输入汉字个数小于70 个并且小于 130 个的二解答题15.15.（本题满分 14 分）某高级中学共有学生 3000 名，各年级男、女生人数如下表:高一年级高二年

5、级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到高二年级女生的概率是0.17.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300 名学生， 问应在高三年级抽取多少名学生?16、已知 m = sin x cos x, .3cos;：x ， n = cos x 一 sin;：x,2sin ;：x，其中 u 0，若函数 f x n，且函数 f X 的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为 二.(I)求，的值；(H)在MBC中，a、b、c 分别是角 A、B、C、的对边，且a=j3,b+c=3，f(A尸1,求MBC的面积.17 如图，棱柱 ABC

6、D-AiBiCiDi的底面 ABCD 为菱形，平面 AAiC 丄平面 ABCD .(1) 证明：BD 丄 AA1;(2)证明：平面 ABiC/平面 DAiCi(3)在直线 CCi上是否存在点 P,使 BP/平面 DAiCi?若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由.AnD18. (本小题满分 15 分)如图所示，已知圆E: x2(y_廿2=4 交 x 轴分别于 A,B 两点，交 y 轴的负半轴于点 M,过点 M 作圆 E 的弦 MN .(1) 若弦 MN 所在直线的斜率为 2,求弦 MN 的长；(2) 若弦 MN 的中点恰好落在 x 轴上，求弦 MN 所在直线的方程；(3) 设弦 MN

7、上一点 P(不含端点)满足pA,PO,PB成等比数列(其中 0 为坐标原点),试探求pA PB的取值范围.19.(本小题满分 16分)已知数列a的前 n 项和为 Sn,且印=1,a2=3,2Sn(n1)an=An B(其中 A、B 是常数，n三N”).(1)求 A、B的值；求证数列亟+丄是等差数列，并求数列an的通项公式 an；已知 k 是正整数，不等式8an,_a2 :k对n N ”都成立，求 k 的最小值.20.(本小题满分 16 分)已知二次函数 g (x)对任意实数 x 都满足g x _1 g 1 _x ;=x2_2x _1，且g 1；=_!.令19f (x) -g x - mlnx：

8、；9(m三R, x .0)(1)求 g(x)的表达式；(2)若-x o使f(x)空0成立，求实数 m 的取值范围；(3)设1尹 込e,H(x) - f (x)(m：f1)x，证明：对各,x三1,m，恒有|H (xj _H(X2) |：120192019 届高三数学寒假作业三参考答案1.(0,1)2.1；3-2；324.45.52 _36.n了了.*8.909.1010.311.12、213.448014.-1,=)24315.15.【解】(1)由题设可知x0.17,所以x=510.- 6 分3000(2).高三年级人数为 y + z= 3000 -( 523+ 487+ 490+510)= 9

9、90 , . 9 分现用分层抽样的方法在全校抽取300 名学生，应在高三年级抽取人数为：200 990 =99名.12 分3000答：(1)高二年级有 510 名女生；(2)在高三年级抽取 99 名学生. 14 分 16 解：(I)f x =m n = sin .x -cos .x, 3 cos xcos ,x-si n ,x,2s in ,x=cos2x-sin2x 亠 2 .3sinxcos，x=cos2，x亠、3sin 2xJ 丄22由余弦定理知cosAc_a 2bc b2c2-bc =3又b c =3联立解得b=2或bT SABCbccosA3c二1c二222(或用配方法 7 b2+c

10、2be =(b +c j 3bc =3 ,b +c=3-be =2 .SABC=- bccosA-)2 217.证明：连 BD，丁 面 ABCD 为菱形，二 BD 丄 AC由于平面 AA1C1C 丄平面 ABCD ,则 BD 丄平面 AA1C1C 故：BD 丄 AA1连 AB1, B1C，由棱柱 ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1/DC1, AD/BQ, AB1Q B1C=B1,A1DQ DC1=D由面面平行的判定定理知：平面AB1C/平面 DA1C1存在这样的点 P因为 A1B1丄 AB DC，二四边形 A1B1CD 为平行四边形./ A1D/B1C在 C1C 的延长线上取点 P,使

11、C1C=CP,连接 BP,因 B1BXCC1,- BB 也 CP,.四边形 BB1CP 为平行四边形贝 U BP/B1C,. BP/A1D /. BP/平面 DA1C10函数f x的周期T =-*2 豹国函数f x的图象与直线y =2相邻两公共点间的距离为 7：.匸(U)由(I)可知*1,f x=2sin 2x -厂I6丿V f A T . 2sin 2A 1 . sin 2A-I6丿I6丿2To :A 2A 些6 6 6- ,J2A6=2s in18.解：(1)在圆 E 的方程中令 x=0,得 M(0, 1),又KMN=2,所以弦 MN 所在直线的方程为y=2x,即2x _y V =0-T

12、圆心到直线 MN 的距离为2,且r =2,二MN_2d25.-55(2)因为yMyN=0,所以yN=1,代入圆 E的方程中得N(_2,1)- 由M(0, 1),N(j2,1)得直线MN的方程为xyJuO或x+y刊=0 易得A(一3,0), B( . 3,0)，设P(x, y),则由PA PB =P02,得(x飞?3)Py2. (x _ 3)2可yQ =x2-y2,化简得xy2-2由题意知点 P 在圆 E 内，所以x2(yd)2：4,结合，得4y2_4y_3：0,解得1 .y3从而2 V 0).当 m0 时，由对数函数性质，f (x)的值域为 R;2当 m=0 时，f(x)=x沁对尬 R，f(x)0恒成立； .6 分2当m0时，由f (x)xm=0=x=不，列表：xx(0Tm)QF,讼)f (x)0+f(x)减极小增这时，f(x)lin=f(.F) =_m-mln .m_mln_m .0,If(x)lin2:em：0.0 0,f(x)0恒成立，则实数 m 的取值范围是(_e, 0.故x 0使f(x)岂0成立，实数 m 的取值范围(_：,_e|j 0, :(3)因为对护词1，m，H(x) =(x，)(x兰o所以H