2019届高三数学(文)黄金考点总动员：考点11三角化简和求值(含解析)

1、2019 届高三数学 33 个黄金考点总动员考点 11 三角化简和求值(文)【考点剖析】1. 最新考试说明：(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式实行三角函数式的化简、求值是高考常考的点.(2) 考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的使用.(3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解水平，属于容易题2. 命题方向预测：(1)考查利用三角函数的公式对三角函数式实行化简求值.(2) 公式逆用、变形应用是高考热点.(3)题型以选择题、解答题为主.3. 课本结论总结：(1)同角三角函数的基本关系1平方关系： sin2a+ COS2a= 1 ；sina2商数关系：=

2、tana.COSa(2)诱导公式公式一：sin(a+ 2kn) = sina, cos(a+ 2kn) =cos，其中k 乙公式二：sin(n+a) =sin, cos(n+a) =cos,tan(n +a) = tana公式三：sin(a)=sin,cos(a)= cos.公式四：sin(n a) = sina,cos(na)= COS公式五：sin(2)=cos,COS() =sina.2公式六：sin(2)=cos,cos() =sin2诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式Ca B):cos(a一B)=coscossinsin；Ga+ B):

3、cos(a+B)=coscossinsin； S(a+ B):sin(a+B)=sin coscossin；S；a- B):sin(a (3)= sin coscos sin ；T(- + B):tana+tan3tan(a+3)1tanatan3T(a B):tanatan3tan(a 3)1+tanatan3.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2“：sin 2a2sin cos； C2a：2 2 2 2COS 2a COSa sina 2COSa 1 1 2sina； T2a：2ta natan 2a2-.1 tana4.名师二级结论：(1)相关公式的逆用、变形等tana tan卩=t

4、an( )(1 tan tan2231 + sin 2a= (sina+ COSa)1 sin 2a= (sina COSa),sinCOS2 sin( ).4(2)函数f( ) a cosbsi n(a,b为常数)，能够化为f(a) =a2+b2si n(a+0)或f(a)=a2+b2cos(a0)，其中0可由a,b的值唯一确定.(3) 三种方法在求值与化简时，常用方法有：sina1弦切互化法：主要利用公式tana=化成正、余弦.COSa2和积转换法：利用(sin0 cos0) = 1 2sin0cos0的关系实行变形、转化.2222n3巧用 “ 1” 的变换：1 = sin0+ cos0=

5、 cos0(1 + tan0) = tan 才=(4) 三个防范1利用诱导公式实行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.5.课本经典习题： COS2a1 + COS 2a2. 2sinaI COS 2a2(1)新课标 A 版第 64 页，第 A8 题(例题)已知tan3，计算:4sin2 cos2(1); (2)sin cos; ( 3)(sin cos )5cos 3sinrAnj.n-B_ 小 4sin

6、优一 2uos 吃 4tan2 43 2 5【解析】.tan a=3, .(1)-；=- =- =:3cos + 3sin5 + 3tan5 + 3x3 7r、.sin eZcostX tan eX 3(2sin czcos Or -n 5:sin 化 +costan 0 + 110r一 -in.sin2a+cosatK + 2sinacosa(刃 ismCE+ co aGL) =sm tz + cos Z + 2sm at cosa =-二-sinLX+CQSeXtan1iZ+itan E + L 1681an2a + L 105【经典理由】弦化切的典型例题.的值.cos(300)6.考点交

7、汇展示:新课标 A 版第 130页，第例 4( 3)题(例题)求值:01 tan 151 tan 150【解析】1 tan1501 tan 150tan45。Jan忙tan(450150)1ta n450ta n150【经典理由】” 1 “的巧用与”变式“的有机结合新课标 A 版第 137 页，第A5 题(例题)已知sin(300)-,60051500,求cos【解析】6001500，900300180； 又sin (300)则cos0cos(30)3000cos(30)cos300sin (300)si n300-323 4310【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围；2.注意用已知

8、角表示所求角(1)与三角函数的图像与性质的交汇【2019 高考新课标 3 文数】函数y sinx -3cosx的图像可由函数y sinx . 3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.【答案】3【解析】因为y sinx ,3cosx 2sin(x),y sinx 3 cosx32sin(x -)，所以函数y sinx3cosx的图像可由函数y33像至少向右平移个单位长度得到.3(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇1.【2019 高考北京文数】已知函数f(x) 2sin xcos x cos2 x(2si n(x )=sin x 3 cosx的图0)的最小正周期为(1) 求的值；(2) 求f (

9、x)的单调递增区间3【答案】(I)1(n) k,k(k).8 8【解析】(I)因为f x 2sin xcos x cos2 xsin2 x cos2 x、2sin 2 x 4所以f x的最小正周期2依题意,宙2AJT-2X+-2A；+-242i x0)，则A=_, b=_【答案】,21【解析】扌盘)+1?所1.=气圧0 = 1.斗【方法规律】-、利用诱导公式化简求值时的原则1“负化正”，使用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.2“大化小”，利用公式一将大于360的角的三角函数化为 0。到 360。的三角函数，利用公式二将大于 180的角的三角函数化为 0。到 180的三角函数.3

10、“小化锐”，利用公式六将大于90的角化为 0。到 90的角的三角函数.4“锐求值”，得到 0。到 90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令卩=a所得.特别地，对于余弦：cos 2a= cos2asin2a= 2cos2a- 1= 1-2sin2a,这三个公式各有用处,幕公式”，在考题中常有体现.【解题技巧】(1)拆角、拼角技巧：a+3aSa82a= (a+S)+(a 8)；8= 2 2 ； 2同等重要，特别是逆用即为“降(2)化简技巧：切化弦、“ 1”的代换等【易错点睛】(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所

11、涉及的角，其手法通常是“配凑”.15例.已知 是锐角，且COS(-)，则sin(2 )的值为【答案】636527【解析】sin(2) sin2() cos2() 2cos () 1662669(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与【解析】由已知及倍角公式得=l-2siDaf= -1 + 2x1=- 2j16 S(3)变式：根据式子的结构特征实行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通 常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方” 等.例新课标 A 版第 138 页，第 A19(3)题(例题)化简：si

12、nxcosxcos2x【答案】丄sin 4x4【解析】【热点预测】【答案】D例.设sin41， 贝U sin24(117B.CD.888【答案】D.降幂”等.)sin xcosxcos2x2 sin xcosxcos2x2sin 2xcos2x22si n2xcos2x 1 .sin 4x.441.【2019 咼考新课标川文数】若tan3，则cos241(A)5(B)5(C 5(D)5【解析】cos22 . 2cossin2 . 2cossin1 tan21 tan222.【2019 高考浙江文数】设函数f(x) sin2x bsin x c,则f(x)的最小正周期()3斗sin ft = -

13、 ,cossx = 55【答案】DA.与 b 相关，且与c相关B与b相关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D与亍b无关, 但与c相关【答案】B4(D)64(B)48(C) 1(A) 252516258己a -l-2sin252564云；）（）fl1r12A.BC33.3【答案】CD.【解析】cos21 cos 221 si n2422-，故选 C.35.若, ，且3cos 2sin 24，贝U sin2的值为（）D.1181718B.丄18C.1718【答案】A4.已知sin 21，则cos2(3A.5【解析】3cos 22 23 cossin3 cos sincossin，sin 42.门

14、3sin cos cos sincos sin,Q 所以442 2444，sin 2cossin0，所以cos sin0，由423 cossin cossin丄cos sin可得cossin，两边平方得cossin222，即2661 si n2117一，所以sin2，故选 D.18186【2019 高考四川文科】sin7500=.1【答案】121【解析】由三角函数诱导公式sin 750 sin(72030 ) sin 30-.27.已知sin cos【答案】2425【解析】对式子两边平方亀SID2CE-1- =252525【答案】2533【解析】 由题意cos3 .,sin4，所以252sin

15、 cos cos25338.已知A 是角终边上一点，且，则2sin cos2cos，sin(59.【百强校】2019 届河北武邑中学高三上学期周考】已知sin(则坦 J 的值为_tan2【答案】Z13【解析】sin()sin cos cos sin|,sin()sin cos cossin式相加得sin cos30，两式相减得13cos sin30，以上两式相除，得tantan71310.【2019 咼考新课标 1 文数】已知是第四象限角，且 sin(0+ -)=3,则5tan(0n)=【答案】【解析】由题意sinsincos因为2k22k 2,所以2k2k从而sin44,所以tan54故填3

16、11.【百强校】2019 届河北武邑中学高三上学期周考】已知sintan( /5sin(2cos(q)-的值.)5【答案】当为第一象限角时，5;当 为第二象限角时,2I解析】/sinR =二优期第一或第二象限角.当圧为第一象限角时，costr-71-an1- 卢征.51叫亍 cos a sin t cos a15tan( iZ-kJZ) +- -= tan疣 + -=- 4 - =-=.史芍妊_ )sin CE. cos a sin X &tn txcos 2当九再第二象限角时*cosa = -y/l-siua =原式=5W氐CO皿12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A, B,C均

17、在单位圆上,已知点A在第一象限的横坐标3是3,点B在第二象限，点C 1,0 .5(1)设COA ,求sin2的值；(2)若AOB为正三角形,求点B的坐标【答案】1242BS4251010阳 D三角 E対点JC=r s(0 4囲呛 j 的生13.【百强校】2019 届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】已知函数y3sin( x ) 2sin2 1(0,02距离为 2(1) 当x (,)时，求f(x)的单调递减区间；2 4(2)将函数y f (x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的6(纵坐标不变)，得到函数y g(x)的图象当x ,时，求函数g(x)的值域.12 6所以函数的减区间为2，4.lof(x)为奇函数，且相邻两对称轴间的【答案】(1),；( 2)242,、3.【解析】(1)由题意可得：f (x)、3sin(因为相邻两对称轴间的距离为，所以T2所以k , k，因为06 6x ) cos( x ) 2sin( x)6，2，因为函数为奇函数，所以 一，函数为f (x) 2sin2x.6要使f(x)单调减，需满足2x ,- x 224由题育可得：曲0 = 2啦牡亍,-l(4x-) ),cos16 23所以sin.1 cos22.23所以X2cos(-)1cos3 . sin322【解析】(I)由三角函数定