2022年高考数学二轮复习：零点问题

1、2022年高考数学二轮复习：零点问题【母题】(2020-全国I )已知函数凡x)=ev-a(x+2).(1)当a=l时,讨论兀0的单调性；(2)若丹幻有两个零点，求。的取值范围.(2)思路分析一有两个零点*/(x)的图象与x轴有两个交点求导函数/(X),确定函数;(X)的性质思路分析二(X)有两个零点或二看有两个不相等的实数根I1x+2函数的图象与函数矶x)=学的图象有两个交点ix+2求导确定0(X)=7的性质解(1)当 4=1 时，fix)=e-(x+2), f'(X)=ex-1,令/ (x)<0,解得 x<0,令，(x)>0,解得 x>0,所以y(x)在(一

2、8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增.方法一f (x)=el:a.当 a<0 时，f (x)>0,所以y(x)在(-8, +8)上单调递增.故./(X)至多存在一个零点，不符合题意.当a>0时，由/ (x)=0,可得x=lna.当 xe( 8, Ina)时,f (x)<0；当 xG(lna, +8)时，f (x)>0.所以«x)在(-8, Ina)上单调递减，在。na,+8)上单调递增.故当x=lna时，人幻取得最小值，最小值为TUn a)=-a(l + ln a).(i)若0<ag,则川na)20,/)在(一 8,十8)上至多存在一个

3、零点，不符合题意.(ii)若 67>, /(In n)<0.因为/(2)=52>0,所以7U)在(-8, In”)上存在唯一零点.由(1)知，当>2 时，er-x-2>0,所以当 x>4 且 x>21n 2a 时，J(x)=一。(+2)>髀2a©+2)-a(x+2)=2a>0.故犬x)在(In a, +8)上存在唯一零点.从而人外在(-8, +8)上有两个零点.综上，a的取值范围是Q, +8)1 r-|-2方法二令1x)=0,得 e，=a(x+2),即£=一， 1x+ 2所以函数)，=十的图象与函数0(x)=W的图象有两

4、个交点，x- 1/ a)= .,当工£(-8, 1)时，“ a)>o；当工£(-1, +8)时，“。)<0,所以3(X)在(一8, 1)上单调递增，在(-1, +8)上单调递减，所以 0(X)max = 9(D = e,且 Xf 8时，9(x)f 8； X + 8 时，9(x)fO,所以0<5<e，解得a*所以a的取值范围是Q, +8).子题1 (2021 全国甲卷改编)已知。>0且aWl,函数/(x)=£(x>0),若曲线y=/(x)与直线y =1有且仅有两个交点，求。的取值范围.解 兀x)=5= 1="=寸=.丫1

5、11 a=an牛=乎，设函数8(%)=呼，ClJL LL人.1Inx .八 e则 g (x)= ? » 令 g (x)0,付 x=e,在(0, e)±, gf (x)>0, g(x)单调递增；在(e, +°°)±, gr (x)<0, g(x)单调递减, gOOmax = g(e)又 g(l)=0,当 x- + 8时,g(x)f。,曲线y=7(x)与直线y= 1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=乎有两个交点的充要条件是0<乎这即是0<g(a)<g(e),的取值范围是(1, e)U(e, +).子题2 (

6、2021北京东城区质检)己知函数yU)=Vx.设函数2, x£(o,兀)，试 人oiii人判断*x)的零点个数，并证明你的结论.F 1解心：)=0, xe(o,兀)，即1盍；一2=0,等价于 X2 1 2sin x=0.设 g(x)=f1 2sinx, x(0,兀)，则 g' (x)=2x2cos x.当无仁宏九)时，g，(x)>0, g(x)在区间冬J上单调递增.又 gR)=5_ 3<。，冢兀)=一 1 >。，所以g(x)在区间e，J上有一个零点.当 xG(0,习时，设(x)=g' (x)=2r2cosx.h' (x)=2+2sinx>

7、;0,所以屋(x)在区间(0,号上单调递增.又 g' (0)=-2<0, g'售=兀>0,所以存在冲£(0, 9，使得g' (xo)=O.所以当x£(0,刈)时，g'(戈)<0, g(x)单调递减；当大£(3号时，屋(x)>0, g(x)单调递增.又 g(0)=-l<0, g)=5一3<0,所以g(x)在区间(0, 9上无零点.综上所述，函数"x)在定义域内只有一个零点.规律方法(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与X轴(或直

8、线丫=%)在该区 间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；第三步：结合图象求解.(2)已知零点求参数的取值范围：结合图象与单调性，分析函数的极值点：依据零点确定 极值的范围；对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.后跟踪演练1 . (2021安庆模拟)已知函数|工)=111*一心<+1(4611).(1)当。=1时,讨论式x)极值点的个数；(2)讨论函数./(x)的零点个数.解(1)由_/(x)=lnxae'+l,知 xG(0, +°°).当 a=l 时，/(x)=lnxex+1, f (x)=e显然/'&

9、#39; (x)在(0, +8)上单调递减.又/ (§=2-立>0, f (1)=1-e<0, 所以f (x)在1)上存在零点初，且是唯一零点， 当 xG(0,沏)时，f (x)>0；当 xG(xo, +8)时，/ (x)<0,所以即是负>)=皿*一£，+1的极大值点，且是唯一极值点. .,i In x+1(2)令/(x)=lnx-ae'+l=0,则 a= .人、In x+l令 y=，g(x)=百-，In x- 1g' (x)="/U>0).令 (x)=：Inx1,则'(x)=所以(x)在(0,+8)上单

10、调递减，而(i)=0, 故当x£(0,l)时,(幻>0,即g'(幻>0, g(x)单调递增； 当 x£(l,+8)时，/?(x)<0,即 g' (x)<0, g(x)单调递减.故 g(X)max=g(l)=5.又 gQ)=O，当 x>l 且r-+ 8时,g(x)>。且 g(x)f 0, 作出函数g(x)=奥的图象如图所示.结合图象知，当时，兀V）无零点，当aWO或时，段）有I个零点，当0<4<1时，氏¥）有两个零点.2 .已知函数式x）=lnx-cG - l）e £R，若0<。<

11、£ 证明：危）有两个零点. 证明 f（X）=axe- 令g(x)= 1 一 加加第>0),g' (x)=ar (x+2)eJ<0, ；.g(x)在(0, +8)上单调递减, 又 g(l)=lae>0,沏G(l, In ：),使 g(xo)=o,即 1一遍e%=0,.,.当 xG(0,沏)时，g(x)X), ：.f (x)>0,当 xG(xo, +8)时，g(x)<0, ：.f (x)<0,.J(x)在(0,沏)上单调递增，在(M), +8)上单调递减,=j(Xo)>fi 1) = 0,7U)=o, .Mx)在(0,沏)上有唯一零点在又

12、/(ln*ln(ln£)f +，易证 In x<v l(x>l),工於）在（沏,+8）上有唯一零点, 综上，y（x）有两个零点.专题强化练1. （2018全国II）已知函数外）=式一”（f+x+l）.若a=3,求_/（x）的单调区间；（2）证明：贝x）只有一个零点.(1)解 当 a=3 时，凡¥)=!?3*3x-3,f (x)=x26x3.令/。)=0,解得工=32小或x=3+2小.当 x£( 8, 3-23)U(3+23,+8)时，(x)>0；当不£(32小，3+2小)时，/ (x)<0.故7(x)的单调递增区间为(-8,32小

13、)，(3+2小，+8),单调递减区间为(32巾，3+2小).证明 因为;r+x+1>0在R上恒成立，犬3所以/U)=o 等价于R+(+ 3a=0.、x3设 5(x)=x2+x+l-3a,.曲+2|：+3)、, l 上、则g 旬干在R上恒成立，当且仅当x=0时，gf (x)=0,所以g(x)在(一8, +8)上单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而至多有一个零点.1-6/(3«+i)=j>o,故y(x)有一个零点.综上所述，火x)只有一个零点.2. (2021 广州模拟)已知函数/x)=xln x-a+xiae R). (1)证明：曲线y=7(x)在点(1,月1)处的切线

14、/恒过定点：(2)若y(x)有两个零点X|, X2，且X2>2xi，证明：您证明(1 (x)=lnx-2ar+2,则/ (1)=22， 即切线斜率为22小又41)= 1 。，则切线/的方程为y-(l-a)=(2-2a)(x-l)9 可得当时，y=09故切线/恒过定点(J, 0).(2) Vxj,及是段)的零点,X2>2xi,且 Xi>0, X2>0,xiln X谒+即=0, In 汨 + l =aq, 则9即xzln 一混+工2=0,(In X2+1 =0x2tIn xi + ln X2+2 lni2-InxiXl+2(xi +x2)ln 彳即 ln(xiX2)+2=,X2X令 f=竽，则 Z>2,则 In(xiM)+2="HxiI 1人 (r+l)ln/ n,一 &g