2016年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（AUB）=P（A）+P（B）；如果事件A，B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）；柱体的体积公式V=Sh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高;锥体体积公式V=-Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高.3第I卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）【2016年天津，文1，5分】已已知集合A=1,2,3），B=yIy=2x-1,xea,则AAB=（）（A）1,3（B）1,2（C）2,3（D）1,2,3【答案】A

2、【解析】B=1,3,5,APIB=1,3,故选A.【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.（2）2016年天津，文2,5分】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1,甲获胜的概率是1，则甲不输的32概率为（）(B)-5(C)1(D)13(A)56【答案】A【解析】甲不输概率为-+1=5,236故选A.【点评】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对

3、古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.（3）2016年天津，文3,5分】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，贝y该几何体的侧（左）视图为（）(B)11【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B.【点评】1、解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.2、三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系

4、及相关数据.（4）2016年天津，文4,5分】已知双曲线兰-竺=1（a>0,b>0）的焦距为用，且双曲线的一条渐近线与直a2b2线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）（A）丁-y2=1【答案】A竺-型=1205(D)辺-込=1520【解析】由题意得c=5,2=a=2,b=1n-1，故选A.a241点评】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a,b的值，常用待定系数法.(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论.若双曲线的焦点不能确定时，可设

5、其方程为Ax2By2-1(AB<0).m2x2n2y2-九(九北0).若已知渐近线方程为mx+ny-0，则双曲线方程可设为(5)【2016年天津，文5，5分】设x>0，ygR，贝lj“x>y”是“x>|y|”的()(A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】3>-4,3<|-4，所以充分性不成立；xlyl>ynx>y，必要性成立，故选C.【点评】充分、必要条件的三种判断方法.1、定义法：直接判断。若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pnq”为真，则p是q的充分条件.2、

6、等价法：利用pnq与非qn非p，qnp与非pn非q，pOq与非qO非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3、集合法：若A匸B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A-B，则A是B的充要条件.(6)【2016年天津，文6,5分】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-©0)上单调递增，若实数a满足f(2ia-ii)>f)，则a的取值范围是()A)f1-g,_(B)f1、-g,_uf3、(C)f13(D)f3,+8L2丿L2丿L2丿L2'2丿L2丿答案】C【解析】由题意得f(-2a-1)>f)n-2a-1>V2n2a-1<

7、n|a1|<丄n<a<，故选C.2 22点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(.2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.(7)2016年天津，文7,5分】已知AABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE-2EF，则AF-BC的值为()(A)-5(B)-(C)-(D)118848【答案】B

8、1>133-【解析】设BA-a，BC-b，：DE=一AC=(b-a)，DF=DE=(b-a)，2224>>>1-3-5-35一3531AF-AD+DF-a+(b-a)-a+b，:AF-BC-a-b+b2-，故选B244444848点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.(8)【2016

9、年天津，文8,5分】已知函数f(x)-sin2竺+tinox-1(0)，xgR若f(x)在区间G,2兀)内A)f0,11(B)f0丄1u(C)f0,51(D)f0,11u_15-L8JL4L8丿L8L8JL48J没有零点，则o的取值范围是()【答案】D_222【解析】f(x)=上竺竺+皿-1J2sinfox-珂，f(x)=0nsin仏x-打-0，所以2222I4丿(4丿k兀+_x=4电(兀,2兀),(kez),因此o纟r11Ur55、ur99u=r1丄ur5),+8184；184丿(84；184；(8丿=*(0,8”4,8故选d.【点评】对于三角函数来说，常常是先化为y=Asin(ox+*)+

10、k的形式，再利用三角函数的性质求解.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式.第II卷(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)【2016年天津，文9，5分】i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为.【答案】1【解析】(1+i)z=2nz=1-i，所以z的实部为1.1+i【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(a-bd)+(ad+bc

11、)i,(a,b,cdeR)，空=a+翌)+呼-皿",(a,b,cdeR).其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,beR)的c+dic2+d2实部为a、虚部为b、模为52+b2、共轭为a-bi.(10)【2016年天津，文10,5分】已知函数f(x)=(2x+1)ex，广(x)为f(x)的导函数，则广(0)的值为.【答案】3【解析】T广(x)=(2x+3)ex.广(0)=3.【点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)根式形式：先化为分数指数幕，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；4)复合函数：确定复

12、合关系，由外向内逐层求导;(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导.(11) )2016年天津，文11,5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出S的值为答案】4【解析】第一次循环：S=8,n=2；第二次循环：S=2,n=3；第三次循环：S=4,n=4；结束循环，输出S=4.【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题(是求和还是求项.(12) )2016年天津，文12】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点

13、MC,“5)在圆C上，且圆4苗心到直线2x-y=0的距离为心，则圆c的方程为5【答案】(x-2)2+y2=9【解析】设C(a,0),(a0)，则骨=壬5na=2,r*22+5=3，故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.【点评】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用W寺定系数法”求圆的方程.若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解.若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解.(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程.BD(13)【2016年天津，文13,5分】如图，

14、AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为【答案】22【解析】设CE=x，则由相交弦定理得DE-CE=AE-BE,DE=,又BD=DE=,所以AC=AE=1，因为xxAB是直径，则BC=*3212=,AD=,.9，在圆中ABCEADAE,则色£=-，即=兰x2ADAEI41X点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形-比例式-等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.2、应用

15、相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等（14）016年天津，文14,5分】已知函数f（x）=;；（：:了0（a>°Ka主1在r上单调递减，且a关于X的方程If（x）|=2扌恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是答案】【解析】由函数f（X）在R上单调递减得-4a>°，°<a<1，3a>1n|<a<4，又方程f（x）|=2|恰有两11因此a的取值范围是个不相等的实数解，所以3a<2,11<6na>丄a37点评】已知函数有零点求参数取值范围

16、常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题：本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤._（15）【2°16年天津，文15,13分】在AABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin2B=43bsinA.(1) 求B；若cosA=3，求sinC的值.解：(1)在AABC中，由"=，可得asinB=bsinA，又由asin2B

17、=3bsinAsinAsinB得2asinBcosB=<3bsinA=、3asinB，所以cosB=二，得B=；26车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.2)由cosA=3得sinA=¥，则sinC=sin兀(A+B)=sin(A+B),所以sinC=sinA+cosA=22/6+16点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问

18、题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证（16）【2016年天津，文16,13分】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料20°吨，B种原料36°吨，C种原料30°吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1轉AC甲4g5厂10(1) 用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.4x+5y<2008x+5y<360解：(1)由已知x，y满足的数

19、学关系式为3x+10y<300，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部x>0、y>0分.(2) 设利润为z万元，则目标函数z=2x+3y，这是斜率为-2，随z变化的一族平行直线.三为直线在y轴3 3上的截距，当3取最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z=2x+3y经过可行或中的点M时，截距3的值最大，即z的值最大解方程组4x+5y=200八c/得点M的坐标为3x+10y=300M(20,24)，所以z=2x20+3x24=112.答生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，x+5y=360x+5y=360O103x+10y=300

20、2x+3y=z5y=200且最大利润为112万元.【点评】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意,+5y=2003x+10y=300max设出未知量；(2)2列出线性约束条件和目标函数；(3) 作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.(17)2016年天津，文17,13分】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED丄平面ABCD，EF/AB，AB=2，BC=EF=1

21、，AE=，DE=3，ZBAD=60?，G为BC的中占八、(1) 求证：FG/平面BED；(2) 求证：平面BED丄平面AED；(3) 求直线EF与平面BED所成角的正弦值.解:(1)取BD的中点为O,连接OE,OG，在ABCD中,因为G是BC的中点，所以OG/DC且OG=-DC=1，又因为EF/AB,AB/DC，所以EF/OG且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边2形，所以FG/OE，又FG匸平面BED，OEu平面BED，所以FG/平面BED.(2) 在AABD中，AD=1,AB=2,ZBAD=600，由余弦定理可BD=叮3，进而可得ZADB=900，即BD丄AD，又因为平面AED丄平面AB

22、CD,BDu平面ABCD；平面AEDD平面ABCD=AD，所以BD丄平面AED.又因为BDu平面BED，所以平面BED丄平面AED.(3) 因为EF/AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作AH丄DE于点H，连接BH，又因为平面BED"平面AED=ED，由（2）知AH丄平面BED，所以直线AB与平面BE。所成角即为如H在山AD中,AD=1,DE=3，AE八6,由余弦定理可得c°4DE-3'所以血ZADE十，因此AH二AD-Sin"DE二宁，在RtAAHB中,sinZABH二鬻二于，所以直线AB75与平面BED所成角的正弦

23、值为丄.6点评】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直13分】已知a是等比数列，前n项和为S（neN*），且丄-丄-S63.nnaaa612318）【2016年天津，文18，（1）求a的通项公式；n（2）若对任意的neN*,b是loga和loga的等差中项，求数列n2n2n+1解：（1）设数列a的公比为q，由已知有丄-丄-丄，解之可得q2,q-1，又由S叫-q6）63知qH-1,b2n2n项和na

24、aqaq2n1-q111所以作63，解之得a1，所以a2n-1.1-21n（2）由题意得b1（loga+loga丄Gog2n-1+log2nn-1,即数列b是首项为丄，公差为1的n22n2n+12222n2等差数列.设数列-1）nb2的前n项和为T,nn则T(-b2+b2)+(-b2+b2)+(-b2+b2)-b+b+2n12342n-12n12【点评】分组转化法求和的常见类型(1)若a=b土c，且b,nnnn'bn，n为奇数，c,n为偶数n2n（b+b）22+b二十2n-2n2.2n2c为等差或等比数列，可采用分组求和法n的数列，其中数列b,c是等比数列或nn求a的前n项和.（2）通

25、项公式为ann等差数列，可采用分组求和法求和（19）2016年天津，文19,14分】设椭圆兰+兰1a23其中O为原点，e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于/的直线与/交于点M，与y轴交于点H,若BF丄HF，且ZMOAZMAO，求直线的/斜率.113e113c解：（1）设F（C,O）,由宀+宀三,即1+1-（,可得a2-C23C2,又Q2-C2b23,所以C21,OFOAI|FAcaa（a-cO、：3）的右焦点为F，右顶点为A，已知侖+fOA-命'因此a2=4，所以椭圆的方程为手+号=1-冬+22143，消去y，yk(x-2)

26、整理得Ck2+3)x2-16k2x+16k2120，解得x2或x,由题意得x,y-4k2+3B4k2+3B4k2+3“9-4k212k、（2）设直线的斜率为k（k丰0），则直线l的方程为y二k（x-2），设B（x,y）,由方程组BB由（1）知F（1,0），设H（0,乙），有FH=（-1,yH），BF二,由BF丄HF，得BF-HF=0,4k2+3'4k2+3丿所以瓷I+4k全°解得丁是因此直线MH的方程为y-kx+詈设M（xm，y”）194k2yx由方程组sk12k,消去y,得xy=k(x2)M20k2+912(k2+1)，在MAO中，ZMOA=ZMAOo|ma|二|mo|,即

27、(x2)2+y2=x2+y2，化简得x=1，即型匕丈9=1,解得k二-上6或k二並,MMMMM12(k2+1)44所以直线l的斜率为k一空或k二空44点评】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型(20)【2016年天津，文20，14分】设函数f(x)=x3axb

28、，xeR，其中a,beR.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)存在极值点x，且f(x)=f(x)，其中x丰x,求证：x+2x=0;0101010(3) 设a0，函数g(x)=|f(x)|，求证：g(x)在区间-1,1上的最大值不小于1解：(1)由f(x)=x3axb，可得广(x)=3x2-a，下面分两种情况讨论：V(1)知a0且x丰0.由题意得：f'(x)=3x2-a=0，即x2=纟.00003又f(2x)=8x3+2axb=一凹x+2axb=一丝xb=f(x),000300300，由题意及(1)知，存在唯一实数x满足f(x)=f(x)，且x丰x，因此x=2x,1101010(2)因为f(x)存在极值点，所以由当a<0时，有f(x)=3x2a>0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(-亚小.x(QL-3丿J3a3353V丿丿75a"