圆中垂径定理推论教学设计1

1、24.1垂径定理（第二课时）垂径定理（第二课时）授课教师：南羊中学初三数学组李青祖授课教师：南羊中学初三数学组李青祖 2010.11.24.所选内容：人教版九年级上册第二十四章第一节第二个内容第二课时 我心爱的玻璃，保重呀！我心碎（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧EOCDAB垂径定理垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧也可理解为条件条件(已知）已知）结论（求证）结论（求证）CD为直径为直径AD=BDAC=BCAE=EBCDAB证明：

2、连接证明：连接OA.OB,OAB是等腰三角形是等腰三角形 AE=EB CDAB （等腰三角形的三线合一） OABCD已知：已知：O是圆心，是圆心，CD是直径、是直径、AE=EB, 求证：求证： CDAB ， = =，. CBAC（垂直于弦的直径，平分弦所对的两条弧）（垂直于弦的直径，平分弦所对的两条弧）推论一推论一：平分弦的直径垂直于弦，：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧,（但被平分的弦不能是直径）（但被平分的弦不能是直径）=ADDBADDBBCACE（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）

3、平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧EOCDAB垂径定理垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧也可理解为条件条件(已知）已知）结论（求证）结论（求证）CD为直径为直径AD=BDAC=BCAE=EBCDABABCDEO平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦过圆心过圆心平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧过圆心过圆心平分弦所对的优弧（劣弧）平分弦所对的优弧（劣弧）平分弦平分弦垂直于弦垂直于弦平分弦所对的劣弧（优弧）平分弦所

4、对的劣弧（优弧）平分优弧（劣弧）平分优弧（劣弧）平分弦平分弦过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦所对的劣弧（优弧）平分弦所对的劣弧（优弧）垂径定理与推论中的条件和结论过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 (作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧练习练习2、按图填空：在、按图填空：在 O中，中， （1）若）若MNAB，MN为直径，则为直径，则_，_，_；（2）若）若ACBC，MN为直径，为直径，AB不是直径，则不是直径，则_，_，_；（3）若）若MNAB，ACBC，则，则_ _，_，_

5、；MNABcAC=BCAM=BMAN=BNMNABAM=BM AN=BNAN=BNAM=BM MN过圆心过圆心所用知识知二推三所用知识知二推三过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 (作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧 O r d A D a B 如图，在如图，在 o中，若半径为中，若半径为 r，O到到AB的距离的距离OD=d，BD=a,则三者间关系为什么？则三者间关系为什么？r2=a2+d2小提示：若已知小提示：若已知Rt中的两个量可中的两个量可用勾股定理求第三用勾股定理求第三

6、个量，不要忘记弦个量，不要忘记弦AB=2a1、在、在 O中，中，OC垂直于弦垂直于弦AB，AB = 8，OC = 3，则则AC = ，OA = 。ABCOABCO38452、在、在 O中，中，OC平分弦平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则，则OCA = ，OC = 。1610906经验总结经验总结：在圆中解有关线段问题时，：在圆中解有关线段问题时，常常要寻找常常要寻找半径，半弦，弦心距半径，半弦，弦心距所构成所构成的的直角三角形直角三角形”并在其中运用勾股定理。并在其中运用勾股定理。 3已知：如图，在以已知：如图，在以 O为圆心为圆心的两个同心圆中，的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦

7、AB交交小圆于小圆于C、D两点。若两点。若CD=6,AB=8则则AC=_.ACDBOE在圆中解决弦的问题时，在圆中解决弦的问题时，通常要过圆心作弦的垂线通常要过圆心作弦的垂线作为辅助线作为辅助线2mABC D 已知AB是弦，C,D分别是AB,弦AB的中点，AB=4m，CD=1m,求半径OD的长？解：延长CD,AB所在圆的圆心O必在其上， 设O在如图所示位置，连接O.A, C,D分别是AB,AB的中点AD=DE= AB=2 ODAB21在RTADO中，AD2+OD2=OA2设半径为R,OD=R-1即22+(R-1)2=R2 R2-(R2+1-2R)=4 R=1m答：半径为答：半径为2.5mO25

8、 如图，铁路如图，铁路MN和公路和公路PQ在点在点O处交汇，处交汇， QON=30O在点在点A处有一栋居民楼，处有一栋居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围如果火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，那么火车以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路在铁路MN上沿上沿ON方向行驶时，居民楼方向行驶时，居民楼A是否会受到噪音的影是否会受到噪音的影响，如果火车行驶的速度为响，如果火车行驶的速度为2 m/s,居民楼受噪音影响的时间居民楼受噪音影响的时间为多少秒？为多少秒？NMPQOAC方法：与关注点方法：与关注点为圆心与火车扰为圆心与火车扰民范围为半径画民范围为半径画圆，火车在圆内圆，火车在圆

9、内的铁路上行时，的铁路上行时，关注点受噪音影关注点受噪音影响。响。5150mBC NMPOA如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30O在点A处有一栋居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响，如果火车行驶的速度为2 m/s,居民楼受噪音影响的时间为多少秒？Q5BCD在RTADC中，AC2-AD2=DC21502-1002=DC2 DC=50BC=100 5555答：居民楼会受到噪音的影响，影响的时间为50s200m30o100m 150m影响时间为100 2 =50sOA=200, QON

10、=30O AD=100解：过解：过A点作点作BC的垂线的垂线AD经验总结经验总结：在圆中解有关线段问题时，常常要过在圆中解有关线段问题时，常常要过圆心圆心“作弦的垂线或连接圆心与弦的端点即作作弦的垂线或连接圆心与弦的端点即作半径，半径，半弦，弦心距半弦，弦心距所构成的所构成的直角三角形直角三角形”作为辅助线。作为辅助线。过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 (作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）作条件时，被平分的弦不能是直径，否则不成立）平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧知二推三知二推三同学们，再见同学们，再见例例2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所

11、示，正常水位下水面宽AB= 60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m 是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R 解：不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） DE=4 不需采取紧急措施?B?A?C?E?D?O?N?M实际问题实际问题如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点图中，点O是是 O的圆心，的圆心， 其中其中CD