割圆术教学设计

1、割圆术教学设计苍南中学王加义一、教学内容解析本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3 第一章算法初步的阅读与思考材料， “割圆术”是由我国魏晋时期数学家刘徽创立的， 263 年左右， 刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆面积；另一方面，这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，这样就得到了圆面积的上限和下限。当半径为 1 时，圆面积就等于圆周率，可以求得圆周率的近似值。本文的主要内容包括三点：（ 1）从算法的角度，解释“割圆术”的理论；（ 2） 刘徽的割圆术由现在的计算机可以求得更加精确的近似值；（ 3） 通过

2、对割圆术的学习，增强国人的自豪感。对圆周率的计算，我国有两位非常杰出的数学家，一是刘徽，二是南北朝时期数学家祖冲之，继承并发展了刘徽的割圆术，求得的范围为3.1415926< <3.1415927。2、 教学目标设置知识与技能：了解割圆术的算法；通过对 “割圆术”的学习， 更好的理解 “算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。过程与方法：改变解决问题的思路，将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方式，提高逻辑推理能力。情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱

3、国主义情怀。3、 学生学情分析高一的学生对圆周率已经有了初步的了解，知道圆周率主要用于解决有关圆和球的问题；学生已经具备了一定的计算能力，能计算圆内接正六边形、正十二边形等的面积；具有一定的归纳推理，能在求圆内接正六边形的面积S6,圆内接正十二边形的面积s2，圆内接正二十四边形的面积 S24,的过程中归纳出圆内接正2n 边形的面积与圆内接正n 边形的面积之间的递推关系。但是学生在思想方面的感悟及总结的能力还有待加强，对 “割圆术”中所蕴含着数学思想，还需要学生去体会，并能与已有的数学知识进行融会贯通。4、 教学策略分析在整个教学过程中，我做了一些调整，首先开门见山，就说本节课我们将共同揭开圆周

4、率的神秘面纱；从圆周率的定义出发，介绍圆周率的符号及其背景；通过学生动手试验，去测量圆周率的近似值，发现误差，再去寻找科学的方法，即引出刘徽的“割圆术”。本节课始终以学生为主题，抓住学生思考方式，沿着历史的足迹，探寻计算圆周率的科学方法。5、 教学过程（歌曲引入） 师 课间我们同学欣赏了由为谱作成的曲子，堪称神曲！领略了的神奇。在数学史上有三个非常神秘的无理数，同学们知道是什么吗？生一个是，一个是e, 一个是（黄金分割比）。师今天这节课，我们将共同来揭开的神秘面纱 师 在此之前，老师想知道，关于圆周率，我们同学的了解有多少？生 13.141592653生2圆周长=2 R,圆面积=R2（追踪历史

5、） 师 同学们可知道，人类是如何发现这个无理数的吗？ 师 早在远古时期，人类就已经发现：一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，并将其定义为圆周率，后由欧拉于1748 年将其 " 命名 " 为 ， 是希腊文圆周的第一个字母。既然圆周率是一个客观存在的常数，那人们最早是如何找到这个常数的呢？ 生 测量的方法。（实践验证） 师 请同学们动手试一试，利用已有的工具材料，测量圆周率的值。（学生动手试验） 师 由上述试验结果的数据，同学们发现了什么？生1 一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，与圆半径大小无关。生2测量的结果存在误差。师那你的结果与 值比较是大还是小？生不知道师可见，利用测

6、量的方法不能准确找到这个常数，同学们想想，还有没有其他更科学的方法？生利用圆内接多边形的面积来逼近圆面积，当圆内接正多边形的边数无限增加 时，正多边形的面积可无限逼近圆面积。（引出课题）师非常好，你的这个想法与我国魏晋时期的刘徽所想的完全一样，我们把刘徽的这个方法称作“割圆术”。师给你一个圆，你会选择从圆内接几边形开始算？生1圆内接正方形生2圆内接正六边形。（理论探求）师据记载，刘徽当时是从圆内接正六边形开始算的， 下面请同学求一下圆内接 正六边形的面积，令R=1。生S6 6 1 1 皆空 2.598222师如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形的面积？生圆内接正十二边形。师怎么算？1 X

7、xTT生S12 S6 6 - X6 （1 h6）, h6 ” （巴）2。2 22师如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形面积？生圆内接正二十四边形。师怎么算？1.XXq CC生S24S1212 2 % （1h12Hhi2“（） ,X12、:（万）（1h6）师继续往下算，我们可以求?生S48S2424X24(1h24),1 唠师要求圆内接正四十八边形面积，只需求生S24 和 X24 师要求圆内接正二十四边形面积，只需求生S,2 和 Xl2 师要求圆内接正十二边形面积，只需求生S6和X6 师依次类推，我们可以求得圆内接正 2n边形面积，即生S2n Sn n J 4 （1 h.）, hn, X加

8、伯）（1 几）2 :师这样我们就找到了 S2n与Sn的递推关系式。刘徽一直算到，n=192时，的 近似值为3.14, n=3072时， 的近似值为3.1416,为了纪念刘徽的伟大贡献， 我们将=3.14称作徽率。我国南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的割 圆术，算得3.1415926V <3.1415927。这不仅在当时是最准的，而且领先世界 达1000多年，是一项非常了不起的成就。师现在随着计算机的发展，我们可以借助计算机来求圆周率的近似值。 不难发 现：随着n值的增大，圆内接正2n边形的面积也随之增大，当半径为 1时，我 们可以用圆内接正2n边形的面积来近似代替 的值。但所求的值

9、与 比较始终 来得生小师为什么？生因为是用圆内接多边形来逼近的。师我们把这些值称作 的下限，那 的上限怎么求？生利用圆的外切正多边形来无限逼近圆。 师 有没有更好的方法？ 生 利用余径乘以边长，可得S2nS2n （S2n Sn ） 师 这个方法与上个方法相比较，好在哪里？ 生 一、计算的结果比它更精确，少求两个三角形的面积；二、涉及的计算量与它比较少了一半，有一种事半功倍的效果。 师 我们用 excel 来感受一下。（思想归纳） 师 前面我们沿着刘徽的足迹，计算了圆周率的近似值，在计算过程中，同学们体会到了数学上哪些有用的思想方法。 生 无限趋近（极限），以直代曲，两边夹思想和数形结合的思想。 师 其实计算圆周率的方法还有很多，刘徽是从面积的角度出发，也可以从圆周长的角度出发，最有代表性的是古希腊的阿基米德，阿基米德利用内接多边形和外切多边形逼近圆周，从而获得圆周率的近似值。阿基米德一直割到正96 边形，得到3.14。