知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

1、指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点3理解对数的概念及其运算性质4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质6.知道指数函数y=ax与对数函数y=logx互为反函数(a0,a#1.a知识框图】要点梳理】2)=aa,a0,-a,a1,neN*当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两

2、个，这两个数互为相反数可以表示为土n方.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.2. n次方根的性质:(1)当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，0,m,neN,n1丿；a-n=a0,m,neN,nman要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.4. 有理数指数幂的运算性质：(a0,b0,r,seQ)(1)aras=ar+s(2)(ar)s=ars(3)(ab)r=arbr要点二：指数函数及其性质1指数函数概念一般地，函数y=ax（a0,且a丰1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2指数函数函数性质：函数名称指数函数

3、定义函数y=ax（a0且a丰1）叫做指数函数a10a1(x0)ax0)值的变化ax=1(x=0)ax=1(x=0)情况ax1(x1(x0,且a丰1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=logN，其中a叫做底数,aN叫做真数（2）负数和零没有对数（3）对数式与指数式的互化：x=logNoax=N（a0,a丰1,N0）.a2几个重要的对数恒等式log1=0,loga=1,logab=b.aaa3常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN；自然对数：lnN，即logN（其中e=2.71828）.10e4对数的运算性质如果a0,a丰1,M0,N0,那么 加法：logM+logN二log（MN）aa

4、aM 减法：logM-logN=logaaaN 数乘：nlogM=logMn（neR）aa alogaN=Nn logMn=logM（b丰0,neR）abbalogN 换底公式：logN=b（b0,且b丰1）alogab要点四：对数函数及其性质1对数函数定义一般地，函数y=logx（a0,且a丰1）叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域（0,+8）.a2对数函数性质：函数对数函数名称定义函数y=logx(aa0且a丰1）叫做对数函数a10a0(x1)alogx=0(x=1)alogx0(0x1)alogx1)alogx=0(x=1)alogx0(0x0，则幕函数的图象过原点，并且在0,+8

5、)上为增函数.如果1时，若0x1，其图象在直线y=x上方，当a1时，若0x1，其图象在直线y=x下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算例1.计算1)log21+性12一2吨242；2)lg32+lg35+3lg2lg5；2(1ig0.73)lg52+lg8+lg5lg20+lg22；(4)7ig20-思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幕，而小数也要化为分数为好1【答案】(1)-亍；(2)1；(3)3；(4)14.【解析】原式=l0g27121存7/6丿=log2=log22-2=-2(2)原式=(lg2+lg5)Gg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5=lglO(lg5+lg

6、2)2-3lg2lg5+3lg2lg5=1-3lg2lg5+3lg2lg5=1(3)原式=21g5+2lg2+lg5(1+lg2)+lg22=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg2+lg5)=2+lg5+lg2=3；(1lg0.7(4)令x二7ig20-，两边取常用对数得12丿lgx=lg（1）lg0.77lg20-=（1+lg2）lg7+（lg7-1）（-lg2）=lg7+lg2lg7-lg2lg7+lg2=lg14(1lg0.7x=14,即7lg20-一=14.12丿【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样

7、的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.举一反三：【变式1】2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】2log10+log0.25=log102+log0.25=log(100x0.25)=log25=2.555555【变式2】(1)(lg2)2+lg2-lg50+lg25；(2)(log2+log2)-(log3+log3).39485【答案】(1)2；(2)4【解析】(1)原式二(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52二(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2；2）原式=（空

8、+竺）翌+空）=竖+竺）（旦+旦）lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例2.设偶函数f(x)满足f(x)二x3-8(x0)，则xIf(x-2)0)=()A.xIx4C.xIx6B.xIx4D.xIx4答案】B【解析】Qf(x)二x3-8(x0)且f(x)是偶函数.X3-&X0,X3&X0,x20,或0X2,或Jx4,Ix4或x0，故选B.【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用举一反三：13x+i,x3，则x的取值范围是().logx,x0,002A.x8B.x8C.000

9、【答案】Ax0,fx【解析】依题意仁0c或J0。即J03xf+i3logx3Ix2000x8D.x0或0x80000,或J0，所以x8，故选A+11Ilogx20log802Ilogx,x0,例3设函数f(x)=1log2(x),xf(-a)，则实数a的取值范围是()A.(1,0)U(0,1)B.(Y,-1)U(1,+8)C.(1,0)U(1,+8)D.(8,1)U(0,1)答案】C【解析】解法一：若a0，则aloga，212得logalog1，得a1，解得a1.22aa若a0，log(a)log(a)，丄2.log2(-匚)log2(-a)解得ae(-1,1)由可知ae(-1,0)U(1,+

10、8)解法二：特殊值验证令a=2,f=log2=1,2f(-2)=一1，满足f(a)f(-a)，故排除A、D.令a=-2,f(-2)=-1,f=1不满足f(a)f(-a)，故排除B.【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.【高清课堂：幂指对函数综合377495例1】例4.函数y二log丄(x26x+8)的单调递增区间是()3A.(3，+w)B.(g,3)C.(4,+w)D.(g,2)【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”.【答案】D【解析】函数y二log(x2-6x+8)是由y二logu,u二x26

11、x+8复合而成的，y二logu是减函111333数，u=x26x+8在(-8,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即x26x+80，解得x4或x0,a1)在区间1,2上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=(3-10m)J7是单调增函数，则a=.【思路点拨】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f(x)的单调性，从而求出a的值.1【答案】-8【解析】根据题意，得310m0，3解得m1时，函数f(x)二ax在区间1,2上单调递增，最大值为a2=8，解得a=2迈，最小值为1Q23ma-1，不合题意，舍去；2迈410当1a0时，函数f(x)二ax在区间i,

12、2上单调递减，最大值为a-1=8，解得a=J，最小值813为m=a2=，满足题意；64101综上，a=.81故答案为：6.8【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键举一反三：2，记满的点集【变式1】已知f(x)=2|x，该函数在区间a,b上的值域为1,足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P(a,b),则由点P构成14组成的图形为()A.线段ADB.线段ABDCC.线段AD与线段CDD.线段AB与BC【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件f(x)二2ix-ii在闭区间a,b上的值域为1,2的不等式组，画出函

13、数的与答案进行比照,即可得到答案【答案】C*函数图象后【解析】函数f(x)二2|x-1的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图.故选C.【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a,b的不等式组，是解答本题的关键.Ilgx1,0x10.2取值范围是()A(1，10)B(5，6)C(10，12)D(20，24)【答案】C【解析】由a,b,c互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间(0,1),(1,10),(10,12)上，不妨设ae(0,1),be(1,10),ce(10,12)，由f(a)=f(b)得lga+l

14、gb=0,即lgab=0，所以ab二1，所以abce(10,12)，故选c.【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法类型三：综合问题2x+b已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数。2x+1+a(I)求a,b的值;k一3【解析】(I)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0，即_1=0nb=1f(x)=a+212xa+2x+112又由f(1)=f(1)知=a+4(II)解法一：由(I)知f(x)=1 丄2na=2.a+112x1=+1，易知f(x)在(+8)上2 +2x+122x+1为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(2t2-1)+f(t2-1-k)0等价

15、于f(2t2-1)0，1从而判别式A=4+12k0nk-3.(II)若对任意的teR，不等式f(2t2-1)+f(t2-1-k)0恒成立，求k的取值范围【思路点拨】(I)利用奇函数的定义去解。(II)先判断函数f(x)的单调性，由单调性脱掉函数符号f，转化成二次函数问题去解决。【答案】(I)a=2，b=1；(II)(或：即对一切teR有：k3t22t，又3t22t=3(t3)233.k一32+2x+1122t2k=0，1-2t2-2t解法二:由(I)知f(x)=严乂由题设条件得:2+2t2-2t+12+22t2-k+1艮卩：(22t2-k+i+2)(122-2)+(2t2-2t+i+2)(12

16、2t2-k)1，因底数21，故：3t22tk01上式对一切twR均成立，从而判别式A=4+12k0nk0,且a#1.aa(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；1(3) 设a=-，解不等式f(x)0.厶(x+10,【解析】(1)依题意知，c解得jVx0.函数f(x)的定义域为x11x0，得0-1丄1x1x2解得1x0.x|1x0成立，求实数a的取值范围.【思路点拨】由题意知，原不等式转化成a在(-3,1】上恒成立只要求出不等式解析】依题意，则设0(x)=一任取Xi，X2Wx-1(1Ax(2Axa-+13丿13丿1+2x+3x-a0o在上恒成立.,xw(-8,1】只需求0(x)的最大值0(xi)-0(x2)=_(2Ax13丿(2丫23丿由于y=ax(0a1)是单调递减函数.0(x)-1，这【总结升华】解决本题的关键是把af(x)转化成af(x)，af(x)转化成a0且b丰1)b1+2ax1)求f(x)的定义域；(2)求使f(x)0在(0,+8)上恒成立的实数a的取值范围.解析】(1)Qx2-2x+2=(x-1)2+10，.1+2ax0,即2ax-1.若a=0，则f(x)的定义域为R；若a0，则f(x)的定义域为(-扌-，+8、I2a丿若a1时，在f