二次函数一般式与顶点式互化

1、2021/3/91 二次函数y=ax +bx+c的图象xyo2实验中学实验中学 数学组数学组授课教师授课教师 2021/3/92y=ax2y=a(x+m)2y=a(x+m)+k22021/3/931。什么叫二次函数？它的一般形式是怎样的？。什么叫二次函数？它的一般形式是怎样的？形如形如y=ax+bx+c(a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数它的一般形式它的一般形式y=ax+bx+c(a0)2.函数函数y=a(x+m)+k的对称轴是什么？顶点坐标呢？的对称轴是什么？顶点坐标呢？对称轴：对称轴：x=-m, 顶点坐标：顶点坐标：(-m,k)3.用配方法将用配方法将y=x4x+5化为化为y=a(

2、x+m)+k的形式，求出的形式，求出顶点坐标和对称轴？顶点坐标和对称轴？2021/3/94函数y=x的图象如何平移就可以得到 y=x4x+5 的形式. （即y=(x2)+1)的图象？思考：函数思考：函数y=ax的图象如何平移就能得到的图象如何平移就能得到y=ax+bx+c的图象？的图象？先向右平移个单位，再向上平移个单先向右平移个单位，再向上平移个单位位2021/3/95下面我们来对y=ax+bx+c进行配方成y=a(x+m) +k y=ax+bx+c=a(x + x)+ca=ax +x+( ) +c-( ) aba2b2a2b2a2=a( x + ) + b2a24ac-b24a思考：上式中

3、思考：上式中m为多少？为多少？k呢？呢？2b22021/3/96显然，m=,k=b2a4ac-b24a结论：二次函数结论：二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物的图象是一条抛物 线，它的对称轴是直线线，它的对称轴是直线x= ，顶点坐标是，顶点坐标是( , )b2ab2a4ac-b24a2例求抛物线例求抛物线y= x +3x 的对称的对称轴的顶点坐标轴的顶点坐标125222021/3/97解：在函数式解：在函数式y= x +3x 中，中，a= , b=3, c= .125221252所以所以因此，原抛物线的对称轴是直线因此，原抛物线的对称轴是直线x=3，顶，顶点坐标是（，）点坐标是（，）

4、= , = b2a4acb24a322021/3/98例已知关于例已知关于x的二次函数的图象的顶点坐的二次函数的图象的顶点坐标为（，）标为（，）,且图象过点（且图象过点（, ）（）求这个二次函数的解析式（）求这个二次函数的解析式（）求这个二次函数的图象与坐标轴的（）求这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标交点坐标2021/3/99解：解：因为函数图象的顶点坐标为（，）因为函数图象的顶点坐标为（，）所以可设所求的二次函数的解析式为：所以可设所求的二次函数的解析式为： y=a(x+1) +2.2又因为图象过点（，），又因为图象过点（，），即当即当x=1时，时，y=，代入，代入a(1+1) +2,得得

5、a= 254所以，所求的二次函数是所以，所求的二次函数是y= (x+1) +25422021/3/910OXY同学们同学们: 想一想想一想, 在坐标轴上的点的坐在坐标轴上的点的坐标有什么特点标有什么特点?y轴上的横坐标为零轴上的横坐标为零,x轴上的纵坐标为零轴上的纵坐标为零.y=(x+1) +2542-122021/3/9112.因为函数图象与y轴交点的横坐标为零,所以求函数图象与y轴交点的坐标时,可以令自变量x,即y= (0+1) +2=54234所以这个二次函数与y轴交点:(0, )34同样，因为函数图象与x轴交点的纵坐标为零，所以求函数图象与x轴交点的坐标时，可以令自变量y=0,即 (x+1) +2=0 进而我们就可以求出函数图象与x轴的交点5422021/3/912课堂小结：1.函数函数y=ax +bx+c的图象与的图象与y=ax 的图象的位置关系的图象的位置关系222.函数函数y=ax+bx+c的图象在对称轴，顶点坐标等方面的图象在对称轴，顶点坐标等方面的特点的特点3.函数解析式类型的归纳：函数解析式类型的归纳：(1)一般式一般式 y=ax +bx+c (2) 顶点式顶点式 y=a(x+m) +k22.判断二次函数图象与坐标轴的交点情况及求法判断二次函数图象与坐标轴的交点情况及求法令令x=0,求出函数图象与求出函数