连续信号与系统的复频域分析x

1、连续信号与系统的复频域分析开始下一页结束本章说明：n 拉普拉斯变换可以将时域微积分方程变换成为复频域的代数方程，而且自动引入了初值，能够使我们方便地求出系统全响应。拉普拉斯变换法是分析连续系统的有效工具。本章我们讲学习拉普拉斯变换的定义、性质、应用及正反变换的方法。系统函数的定义及物理意义。系统函数的零极点与系统特性的对应关系以及系统的其他描述方法。n1.熟练掌握拉普拉斯变换、反变换和性质及其应用。n2.熟练掌握LTI连续系统的复频域分析法（会求全响应、零输入响应、零状态响应）。n3.熟练掌握系统的各种表示方法（电路、系统方程、系统函数、模拟图、零极图、信号流图）及相互转换。n4.深刻理解复频

2、域系统函数的定义及其的物理意义，掌握冲激响应和阶跃响应的求取方法。n5.理解系统稳定性的概念，掌握系统稳定的判定方法。开始上一页 下一页结束n引言n 傅氏变换的频域分析n 拉氏变换的复频域分析n 从傅氏变换到拉氏变换n拉普拉氏变换的定义及收敛域n 定义n 物理意义n 收敛域n 常用信号的拉氏变换n拉普拉斯变换的性质及应用n拉普拉斯反变换n 部分分式展开法n 留数法n 查表法nLTI系统的S域分析复频域求响应n 已知系统方程求响应n 已知电系统求响应n系统函数及系统稳定性n 系统函数定义及物理意义n 系统函数的零极图n 系统函数零极点与系统时域和频域特性的关系n 系统的稳定性n系统的其他描述n

3、线性系统的模拟n 信号流图开始上一页 下一页结束一.引言n一.傅氏变换的频域分析1.以求零状态响应为例1将时域信号激励分解成无穷多个谐波分量之和（频域表示形式）。2求出这无穷多个谐波激励的响应。3叠加得系统的零状态响应。从而使求响应的过程得以简化求零状态响应的另一方法。虽然在求响应过程中傅里叶变换将系统的微分方程的求取变成了代数方程的求解（化卷积积分运算为乘积运算），但这是以两次变换为代价的。2.以信号分析和处理为例1信号的频率特性分析（信号的波形失真，信号的频宽等）2系统的频率特性分析（系统的带宽等）得出的结论具有非常清楚的物理意义 但是频域分析存在不足之处。求响应过程中绝大部分的傅里叶反变

4、换太困难， 只能处理满足狄利赫里条件的信号。而实际中有很多信号不满足此条件，因此它的应用范围方面受到较大的限制,只能求零状态响应。数学领域的另一积分变换拉普拉斯变换则可以使其应用大大得到扩展，它既可以从积分变换的观点直接定义，又可以从信号分析观点将拉普拉斯变换看成是傅里叶变换在复频域的推广，使其物理意义更为明确。 开始上一页 下一页结束n二.拉普拉斯变换的复频域分析1三大域分析信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。可见各个域的分析不同只是信号分解的

5、基本单元函数不同。js0开始上一页 下一页结束2复频域分析拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用来分析信号和系统的频率特性的主要手段。 3系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础当则傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换在时的一种特殊情况n三.拉氏变换的引出)(tfte)(tfet)(tfet)(tfet)(tfet称拉普拉斯反变换，因为称拉普拉斯正变换因为,)(21)(,)(

6、21)()(21)(,)()(,)()()()()(dsesFjtfdsjdjsdesFtfdesFetfdttfesFjsdttfedtetfetfeFsttjtjtsttjtjtt开始上一页下一页结束去乘以这个函数得到，只要取足够大的正值，则t时衰减就较快。为保证t时也衰减快，可以假使原函数在负方向也衰减且其衰减速率比收敛因子引起的增长快，这样也可以满足绝对可积条件，就可以对它作傅里叶变换。一个函数不满足绝对可积的原因往往是因为或衰减太慢造成的，从而限制了傅里叶变换的使用。现在我们用一个衰减因子仿照傅里叶变换的表示方式，可以将拉氏变换表示为：或者表示成正变换f (t) = F (s) 反变

7、换f (t) =F(s)因为在t+区间积分因此以上称为双边拉普拉斯变换对t 0有始信号 （0表示原点可能存在的沖激）dttfesFst)()(称拉普拉斯反变换),()(21)(tddsesFjtfst二.拉普拉斯变换的定义n1.定义：jstfsFLsFtfLsFtftddsesFjtfst)()(),()(),()(),()(21)(1称拉普拉斯反变换0,)()(称单边拉氏正变换dttfesFst开始上一页 下一页结束n2.物理意义傅里叶变换的物理意义：是将信号分解成许多形式为tjedF)(teetjtjcos2stedsFet)(teeettjtjcos2)()(开始上一页 下一页结束与傅氏

8、变换一样这些振荡频率是连续的并且分布及无穷。通常把为s复频率，把F (s)看成是信号的复频谱，表示各频率分量无穷小幅度的相对比例关系。均为无穷小量振荡，但这些正弦振荡的幅度为分量之和，每一对正负组成一个变幅正弦是将信号分解成许多形式为拉普拉斯变换的物理意义：均为无穷小量分量之和，每一对正负组成一个等幅正弦振荡，但这些正弦振荡的幅度n3.收敛域一个时域实函数的拉氏变换F (s)存在的条件S平面内，使上述积分收敛的区域收敛域或保证满足绝对可积的值范围实例：)(tf00, 0)(lim)(ttstetfdtetftetf)(开始上一页 下一页结束)()(ttf)(sF)()(ttf)(sFn4.常用

9、信号的拉氏变换)()(sFtf开始上一页下一页结束三.拉氏变换的性质及应用n1.拉氏变换的性质1线性性2尺度变换性拉氏变换性质进一步揭示了信号的时域特性和复频域特性的联系，掌握这些特性不但为求解复杂信号的拉氏变换带来方便，且也有助于求拉氏反变换。它的大部分性质与傅氏变换差不多，只是将j变成S。也反映信号在时域作某些运算，则其复频域也会作对应的变化。开始上一页 下一页结束3延时特性4复频移特性5时域微分特性6时域积分特性开始上一页 下一页结束7时域卷积特性8初值定理9终值定理10周期信号的拉氏变换sTTesFtfsFtf1)()()()(111开始上一页 下一页结束n2.拉氏变换的性质应用练习1

10、开始上一页下一页结束练习2开始上一页下一页结束练习3开始上一页 下一页结束练习4开始上一页 下一页结束四.拉氏反变换n1.有理像函数n2.反变换的方法部分分式法也称海维赛展开法，F(S)为真分式n分母首1多项式D(S)=0的根无重根（无重极点）情况0)()(sHsH)()(.)(01110111sDsNasasasabsbsbsbsFnnnnmmmm使分母多项式D(S)=0的根称为极点；它使使分子多项式N(S)0的根称为零点；它使分母多项式中最高次幂的系数为1称D(S)为首1多项式分子多项式的最高次幂分母小于多项式的最高次幂称为真分式分子多项式的最高次幂分母大于多项式的最高次幂称为假分式1na

11、nm nm nm )().()(.).()()()()(.)(212122112101110111tekekektfkssksskssksssssssNsDsNasasasbsbsbsbsFtsntstsnnnnnnmmmmn可以求出各待定系数开始上一页 下一页结束issiiiinisFsskssksF)()()(1实例：开始上一页 下一页结束n分母首1多项式D(S)=0的根有共轭复根情况 可采用部分分式法或配方法部分分式法实例：配方法)(2sin212cos)(2) 1(21211212)(2222ttetetfssssssFtt开始上一页 下一页结束n分母首1多项式D(S)=0的根S1有r

12、重根（r重极点）情况 121)()()!1(1)(.)()(.)()(.)()().()()()()(.)(1111211122)1(11122111211211)1(1112101110111ssmmmmtsntstsrrrrnnrrrrnrnnnmmmmsFssdsdmktekekektktktktfksskssksskssksskssksssssssNsDsNasasasbsbsbsbsFn可以求出各待定系数开始上一页 下一页结束实例：n查表法查常用信号拉氏变换表开始上一页 下一页结束2留数法围线积分法复变函数理论的留数定理即：左式积分是在S平面内沿一条不通过被积函数极点的封闭曲线C上进

13、行的 右式则是此围线积分C中被积函数各个极点留数之和如此可见求拉氏反变换的积分运算转换成了求被积函数各个极点的留数之和运算，由于该留数的计算是很简单的，因此大大简化了拉氏反变换的运算 1分母首1多项式D(S)=0的根无重根（无重极点）情况2分母首1多项式D(S)=0的根S1有r重根（r重极点）情况cnkkstjjstsdsesFjdsesFjsFLtf11Re)(21)(21)()(数定理有在复变函数理论中的留kssstkkkesFssss)()(Re为一阶极点若1)()()!1(1Re111ssstrrrkesFssdsdrs开始上一页下一页结束实例：开始上一页 下一页结束五.LTI连续系统

14、的S域分析复频域求响应n1.已知系统的激励、响应的微分方程（系统方程），求响应1对系统方程两边同时求拉氏变换化为激励和响应象函数的代数方程2求出响应的像函数Y(S)3将响应像函数反变换得响应的原函数y (t)拉氏变换法是求解线性微分方程的好方法。它与频域分析一样也将微分方程变成了代数方程，但它同时自动引入了初值，且它的反变换计算又很方便，这给求系统全响应提供了简单的方法。开始上一页 下一页结束实例：开始上一页 下一页结束n2.已知电系统，求响应1求初值。用换路前的稳态电路直流稳态激励下求电感上的短路电流和电容上的开路电压2画出换路后的域模型图2根据线性电阻电路分析方法求出响应的象函数Y(S)3

15、将响应象函数反变换得响应的原函数y (t)S域模型)0()0(),0()0(LLcciiuuiRu RsIsU)()()0(1CuidtCususIsCsUC)0()(1)(dtdiLu )0()()(LissLIsU)()(),()(sUtusIti开始上一页 下一页结束注意：信号源（电源）也必须作拉氏变换，原电路就化成了S域电路算子图（运算电路图）响应也应以其象函数表示，且也必须标出位置和参考方向，就可以用直流电阻电路的方法求响应的像函数。实例：开始上一页 下一页结束n3.已知电系统或模拟图，求响应1求初值。用换路前的稳态电路直流稳态激励下求电感上的短路电流和电容上的开路电压2列微分方程2

16、将微分方程拉氏变换变代数方程求出Y(S)3将响应象函数反变换得响应的原函数y (t)实例：)0()0(),0()0(LLcciiuu开始上一页 下一页结束六.系统函数及稳定性n1.定义系统函数H(S)是复频域中描述系统特性的重要函数单位冲激响应系统函数；系统零状态响应；系统激励频域：单位冲激响应系统函数；系统零状态响应复频域：系统激励)()()()()()()()()()()()()()()()(thjEjYjHjYtyjEtejsthsEsYsHsYtysEtezszszszszszsn2.分类及物理意义1一端口系统激励响应在同一端口H(S)策动点阻抗函数输入阻抗函数开始上一页 下一页结束2

17、对二端口系统激励响应不在同一端口H(S)转移函数或传递函数3物理意义单位冲激响应的象函数ssHtrtsHtht)()()()()()(n3.系统函数的零极图把H(S)的零点与极点在S平面表示出来系统函数的零极点直接反应了系统的某些特性零点用表示，极点用表示S平面横轴为，纵轴为j。开始上一页 下一页结束).()().()()()(.)(210020101110111pnppnmmnnnnmmmmssssssassssssbsDsNasasasabsbsbsbsHnpppnmssssssassbsH)()()()(32101开始上一页 下一页结束n4.系统函数的零极点在S平面位置与时域特性h(t)

18、的对应关系开始上一页 下一页结束n5.系统函数的零极点在S平面位置与频域特性F(j)的对应关系)(3212132121132102013210201)()()()()(pppjpppjseMMMNNMMMNNjHsjsjsjsjsjsH321020132121)()(pppiijMMMNNjH每给一个可得一个H (j )开始上一页 下一页结束n6.系统函数的零极点在S平面位置与系统稳定性关系1系统稳定的概念n直观的看，当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统响应在干扰消失后，最终将消失。即系统仍能回到干扰作用前的原状态则称系统为稳定系统。否则为不稳定系统。简言之系统对有界激励产生有界响

19、应。该系统称稳定系统。如果系统对一个有界激励产生无限增长的响应则为不稳定系统。稳定性仅与系统本身特性有关，与激励无关。我们知道系统函数集中体现了系统本身的特性，当然也能反映了系统是否稳定。tMrtrtMete0)(0)(有限正实数；有限正实数；00)(,)(*)()(*)()()()(dhdhMeMethtethtrthsH积即：冲激响应应绝对可也应该有限开始上一页 下一页结束2系统稳定性的充分必要条件稳定系统（S域）系统函数的全部极点位于S左半平面，不包括虚轴 （时域）临界稳定系统（S域）系统函数的极点位于S平面的虚轴上，且只有一阶极点（时域）不稳定系统（S域）系统函数的全部极点位于S右半平

20、面，或者在原点和虚轴有二阶或二阶以上的重极点 （时域）3系统稳定性判定罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的（R o u t h-Hurwitz判据）根（不稳定）和零实部的根（临界稳定）。0)(limthtctht)(lim)(limtht开始上一页 下一页结束罗斯准则：罗斯准则：系统函数分母多项式的根全部位于S平面左半面的充分必要条件是 系统函数分母多项式的系数全为正数、无缺项、罗斯阵列中的第一数字符号相同 。系统函数分母多项式：罗斯阵列：结论罗斯阵列的第一列数字的无符号变化系统稳定。0.0111asasasannnn011111111111111716121115

21、141211113121243121101221111,.,.;.111,.,00000.AAAAADADACACACABABABAAADADAaaaaaCACACAaaaaaBABABAaaaaaAaCaBaBaAaAAABADCBADCBAnniiiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn阵列的第一列为：开始上一页下一页结束4反馈系统的稳定性反馈系统：输出或部分输出馈送回到输入，从而引起输出本身变化的系统反馈系统的系统函数：反馈系统稳定与否要由T(S)的极点（s）（s）的根决定)()(1)()()()

22、()()()(1)()()()()()()(sGsHsGsXsYsTsXsGsHsGsYsGsHsYsXsY开始上一页下一页结束七.系统的其他描述系统的描述：电路，系统函数，微分方程，零极图，模拟图，信号流图由于很多实际需要，例如：一些高阶系统的数学处理较为困难，往往需要对它们进行模拟实验，使之结果很容易观察，当系统的参数或输入信号改变时容易通过实验观察到系统响应将如何改变，从而便于我们确定最佳系统参数及系统最佳工作条件。这里我们研究的系统模拟仅仅是指数学意义上的模拟系统微分方程的模拟，因此系统模拟就是用基本运算的组合起来的图表示。按照它们代表时域或复频域中的运算，它分为时域模拟和复频域模拟但是一个基本运算器只能完成一种运算。功能。 标量乘法器n1.系统模拟图n1基本运算器加法器积分器开始上一页 下一页结束n2.微分方程的直接模拟xayyxayy,xbyyayxbyyay ,一阶系统二阶系统ydq