通信原理第2章(3)教学文稿

1、通信原理第2章(3)（7） 若平稳若平稳(t)含有一个周期分量，则其含有一个周期分量，则其R()也含有一个也含有一个相同相同周期周期的的周期分量。周期分量。这里举个例子说明：这里举个例子说明： 例例1:设某接收机的输入混合信号设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号是随机相位正弦信号S(t)和噪声和噪声电压电压N(t)的和，即：的和，即： ，并且，并且 是是(0,2 )上均匀分布的随机变量。且上均匀分布的随机变量。且N(t)为平稳随机过程，求为平稳随机过程，求X(t)的的自相关函数。自相关函数。 0( )( )( )cos()( )X tS tN tatN t 解解:既然既然N(t)

2、为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为RN()，则，则X(t)的自相关函数为：的自相关函数为：( )( )( )XSNRRR 其中：其中：00( ) cos()cos()SRE atat 2000coscos(22 )2aEt 2200001coscos(22 )22atd 20cos2a 02cos( )2NaR例例2:已知平稳随机过程已知平稳随机过程 (t)的自相关函数为：的自相关函数为：利用自相关函数的性质求利用自相关函数的性质求 (t)的均值与方差。的均值与方差。24( )361 5R 解解:根据性质根据性质2可得：可得：R()=E2(t)=36则

3、有：则有：E(t)=6再由性质再由性质1可得：可得： R(0)=E2(t)=40最后可由性质最后可由性质5得：得：R(0)-R()=2=40-36=4因此求得，均值为因此求得，均值为36，方差为，方差为4。2( )( )limTfTFPT 2.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度功率谱密度来表述的。来表述的。 我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：，它的功率谱密度为：

4、式中，式中，FT()是是f(t)的截短函数的截短函数fT(t)（见图（见图 2 - 2）所对应的频谱函）所对应的频谱函数。数。（2.2 - 14）图图 2-2 功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数 我们可以把我们可以把f(t)看成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（实现的功率谱密度也可用式（2.2 - 14）来表示。）来表示。 但是由于但是由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。知的，因此，某一实

5、现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。 这个时候可以把这个时候可以把随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度应看做是应看做是任一实现任一实现的的功功率谱的统计平均率谱的统计平均，即，即 2( )( )( )limTE FPfTTE P (t)的的平均功率平均功率S则可表示成：则可表示成：2( )11( )22limTTE FSpdT（2.2 - 15）（2.2 - 16） 其傅里叶反变换为：其傅里叶反变换为： 虽然式（虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程）给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度的功率谱密度P()，但我们很难直接用它来计算功率谱。但我们很难直接用它来计算功率谱。 那么，如

6、何方便地求功率谱那么，如何方便地求功率谱P()呢？呢？ 我们知道，确知的我们知道，确知的非周期功率信号非周期功率信号的的自相关函数自相关函数与其与其频谱密度频谱密度函数函数是一对是一对傅立叶变换傅立叶变换关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，即：即：( )( )jPRed 1( )( )2jRPed 于是有：于是有： 21(0)( )( )2RPdEt 因为因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。下的面积。 因此，因此，P()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平必然是平稳

7、随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关函数与其自相关函数R()是一对傅里叶变是一对傅里叶变换关系换关系, 即即 （2.2 - 17）( )( )jPRed 1( )( )2jRPed （2.2 - 18） 或或 简记为简记为: R() P() 关系式（关系式（2.2-18）称为）称为维纳维纳-辛钦辛钦定理，在平稳随机过程的理论和定理，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。应用中是一个非常重要的工具。 它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。 ( )( )jfP

8、 fRed 1( )( )2jfRPed （2.2 - 19）2.2.5 平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量,它具有下它具有下列重要性质列重要性质:（1）功率谱密度）功率谱密度是非负的是非负的，即：，即：P()0，可以根据其定义式：可以根据其定义式：2( )( )( )limTE FPfTTE P 可以得到：可以得到： ， 所以得到：所以得到： P()02( )0TF （2）功率谱密度是）功率谱密度是的的实函数实函数，这里可以根据其定义式看出：，这里可以根据其定义式看出： 是是的

9、的实函数，所以实函数，所以P()必然为必然为的的实函数。实函数。2( )0TF （3）对于实随机过程来说，功率谱密度是）对于实随机过程来说，功率谱密度是的的实函数，实函数，这里同样可这里同样可以根据定义式证明。以根据定义式证明。因此有：因此有： P(-)=P() 并且，并且， 可定义可定义单边谱密度单边谱密度P1()为：为：2( )p0 P1()= （4）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：( )pd 21(0)( )( )2RPdEt根据：根据： 可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过

10、程的全部功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因此功率谱密度可积。此功率谱密度可积。例例3：某随机相位余弦波某随机相位余弦波 ，其中，其中A和和0均为常数，均为常数， 是在是在(0,2)内内均匀分布均匀分布的随机变量。的随机变量。 求求(t)的自相关函数与功率谱的自相关函数与功率谱密度。密度。 解解 ：(1) 先考察先考察(t)是否广义平稳：是否广义平稳：1, 02( )20 ,felse ( )( )( )Ett fd2001cos()2atd 012( , )R t t11( ,)R t t ( ) ()Ett00 cos()cos()E atat 2000coscos(22 )2aEt 2200001coscos(22 )22atd 20cos2a R0( )cos()tat 可见可见(t)的数学期望为常数，的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔而自相关函数只与时间间隔有关，有关， 所以所以(t)为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，根据平稳随机过程的相关函数与