高中数学必修三第一章第三节：K进制转换为十进制

1、1.3 1.3 算法案例算法案例 第三课时第三课时 吉林省白山市解放中学 宋丽萍问题提出问题提出 1. 1.辗转相除法和更相减损术，是求两辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算相关运算. . 2.2.人们为了计数和运算方便，约定了人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，这些进位制是什么概念，各种进位制，这些进位制是什么概念，它们与十进制之间是怎样转化的？对此，它们与十进制之间是怎样转化的？对

2、此，我们从理论上作些了解和研究我们从理论上作些了解和研究. .进位制：进位制：是人们为了计数和运算方便而约定的记数是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统系统.“满十进一满十进一”就是十进制，就是十进制，“满二进一满二进一”就是二就是二进制，进制，每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，一般地，“满满k进进一一”就是就是k进制进制，其中，其中k称为称为k进制的进制的基数基数.判断下列数表达是否正

3、确？判断下列数表达是否正确？(1) 12(2)(2) 061(7)(3) 291(8)思考思考1:1:十进制使用十进制使用0 09 9十个数字，那么二进十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？制、五进制、七进制分别使用哪些数字？ 思考思考2:2:在十进制中在十进制中1010表示十，在二进制中表示十，在二进制中1010表示表示2.2.一般地，若一般地，若k k是一个大于是一个大于1 1的整数，则的整数，则以以k k为基数的为基数的k k进制数可以表示为一串数字连进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：写在一起的形式： a an na an-1n-1aa1 1a a0(k)0(k)

4、. .其中各个数位上的数字其中各个数位上的数字a an n，a an-1n-1，a a1 1，a a0 0的取值范围如何？的取值范围如何？思考思考3:3:十进制数十进制数45284528表示的数可以写成表示的数可以写成4 410103 3+5+510102 2+2+210101 1+8+810100 0，依此类比，依此类比，1:1:二进制数二进制数110011110011（2 2）, , 2 2: :八进制数八进制数 73427342（8 8）分别可以写成什么式子？分别可以写成什么式子？ 解：110011110011（2 2）=1=12 25 5+1+12 24 4+0+02 23 3+0+0

5、2 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0 73427342（8 8）=7=78 83 3+3+38 82 2+4+48 81 1+2+28 80 0. .思考思考4:4:如何将如何将k k进制数进制数 a an na an-1n-1aa1 1a a0(k)0(k)写写成各数位上的数字与基数成各数位上的数字与基数k k的幂的乘积之的幂的乘积之和的形式？和的形式？anan-1a1a0(k)=ankn+ ankn-1+a1k1+ a0k0练习练习1:1:二进制数二进制数110011110011（2 2）化为十进制化为十进制数是什么数？数是什么数？ 110011110011（2 2）=1=

6、12 25 5+1+12 24 4+0+02 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0 =32+16+2+1=51. =32+16+2+1=51. 思考思考5:5:二进制数右数第二进制数右数第i i位数字位数字a ai i化为十化为十进制数是什么数？进制数是什么数？ai2i-1第二步，令第二步，令b=0b=0，i=1i=1. .第四步，判断第四步，判断in in 是否成立是否成立. .若是，则输若是，则输 出出b b的值；否则，返回第三步的值；否则，返回第三步. .第一步，输入第一步，输入a a和和n n的值的值. .第三步，第三步， b=b+ab=b+ai i2

7、2i-1i-1，i=i+1i=i+1. .思考思考6 6利用利用 运用循环结构，把二进制数运用循环结构，把二进制数 化为十进制数化为十进制数b b的算法步骤如何设计？的算法步骤如何设计？anan-1a1(2)=an2n-1+ an2n-2+a221+a120a=anan-1a2a1(2)思考思考7 7：按照上述思路，把按照上述思路，把k k进制数进制数 a=anan-1a2a1(k)化为十进制数化为十进制数b b的算法的算法步骤如何设计？步骤如何设计？第四步，判断第四步，判断in in 是否成立是否成立. .若是，则若是，则输出输出b b的值；否则，返回第三步的值；否则，返回第三步. .第一步

8、，输入第一步，输入a a，k k和和n n的值的值. .第二步，令第二步，令b=0b=0，i=1.i=1.第三步，第三步， b=b+aiki-1 ，i=i+1.i=i+1.思考思考8:8:上述把上述把k k进制数进制数a=anan-1a2a1(k) 化为化为十进制数十进制数b b的算的算法的程序框图法的程序框图如何表示？如何表示？ 开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a的右数第的右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki- -1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否思考思考9:9:该程序框图对应的程序如何表述？该程序框图对应的程序如何表述？开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把

9、a的右数第的右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki- -1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否INPUT aINPUT a，k k，n nb=0b=0i=1i=1t=a MOD 10t=a MOD 10DODOb=b+tb=b+t* *k k（i-1i-1）a=a10a=a10t=a MOD 10t=a MOD 10i=i+1i=i+1LOOP UNTIL iLOOP UNTIL in nPRINT bPRINT bENDEND 1 1 将下列各进制数化为十进制数将下列各进制数化为十进制数. .（1 1）1030310303（4 4） ； （2 2）12341234（5 5）. .

10、 （3 3） 7342(8)= 理论迁移理论迁移1030310303（4 4）=1=14 44 4+3+34 42 2+3+34 40 0=307.=307.12341234（5 5）=1=15 53 3+2+25 52 2+3+35 51 1+4+45 50 0=194=194. . 7342(8)=783+3 82+4 81+280 2 2 、已知、已知10b110b1（2 2）=a02=a02（3 3）, ,求数字求数字a a，b b的值的值. .所以所以2b+9=9a+22b+9=9a+2，即，即9a-2b=79a-2b=7. . 解：解：10b110b1（2 2）=1=12 23 3+b+b2+1=2b+92+1=2b+9. .a02a02（3 3）=a=a3 32 2+2=9a+2+2=9a+2. .故故a=1a=1，b=1.b=1. 1. k1. k进制数使用进制数使用0 0（k-1k-1）共）共k k个数个数字，但左侧第一个数位上的数字（首位字，但左侧第一个数位上的数字（首位数字）不为数字）不为0.0.小结作业小结作业121( )nnka aa a-L 2.2.用用 表示表示k k进制数，其进制数，其中中k k称为基数，