全称量词和特称量词

1、ICHAFTERIHI-I-RM第一章常用逻辑用语全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题【明目标、知重点】1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假.填要点,记疑点1,全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题,叫作全称命题.2.存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,样的词叫作存在量词.含有存在量词的命题,叫作特称命题.探要点,究所然探究点一全称量词与全称

2、命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?x3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的xR,x3;(4)对任意一个xC乙2x+1是整数.答语句(1)(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句(3)在的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(4)是命题.小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题

3、.思考2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个X0,使得p(%)不成立即可(即举反例).例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意xCR,x2+11；(3)对每一个无理数x,x2也是无理数.解(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.(2)任意xCR,总有x20,因而x2+11.所以，全称命题任意xCR,x2+11”是真命题.(3)也是无理数，但(近)2=2是有理数.所以，全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.

4、反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意xCR,x2+20;(2)任意xCN,x41.对任意角%都有sin2a+cos2a=1.解(1)由于任意xCR,都有x20,因而有x2+220,即x2+20,所以命题“任意xCR,x?+20是真命题.(2)由于0CN,当x=0时，x41不成立，所以命题“任意xCN,x41”是假命题.(3)由于任意氐R,sin2a+cos2a=1成立.所以命题“对任意角a,都有sin2a+cos2a=1是真命题.探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有

5、什么关系？(1)2x+1=3;(2)x能被2和3整除；存在一个X0CR,使2x0+1=3;(4)至少有一个xoCZ,使xo能被2和3整除.答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.小结“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题.思考2怎样判断一个特称命题的真假？答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定

6、集合M中，至少能找到一个x=x0,使p(xo)成立即可，否则，这一特称命题是假命题.例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数xo,使x2+2xo+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.解(1)由于任意xCR,x2+2x+3=(x+1)2+22,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以，特称命题“有一个实数x,使x2+2x0+3=0”是假命题.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“

7、有些整数只有两个正因数”是真命题.反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)存在xoCZ,x31；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数a,tana无意义；一一一一c且(4)存在xqCR,cosx0=2，解(1)一1CZ,且(一1)3=11,“存在X0CZ,X31，-不存在xoCR,使cosX0=原命题是假命题.探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都

8、能使不等式成立，相当于一个全称命题.例3(1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2W0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2+2x+10,若对任意xCR,p(x)是真命题，求实数a的取值范围.解(1)关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2W0的解集非空，/.A=(2a+1)2-4(a2+2)0,即4a-70,解得a4,.实数a的取值范围为-7,+oo,(2)对任意xR,p(x)是真命题.，对任意xCR,ax2+2x+10恒成立，当a=0时，不等式为2x+10不恒成立，a0,当aw0时，若不等式恒成立，则”IA=4-4a1.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题

9、和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3(1)对于任意实数x,不等式sinx+cosxm恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x,不等式sinx+cosxm有解，求实数m的取值范围.解（1）令y=sinx+cosx,xCR,y=sinx+cosx=平sink十；廿一平,又,任意xCR,sinx+cosxm恒成立,，只要mm有解,只要m即可，所求m的取值范围是（8,J2）.当堂测查疑缺1 .下列命题中特称命题的个数是（）有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被6整除的数也能被3整除；对于任意xCR,总有|sinx|0D.任意xCR,2x0答案C，一.一一，一.，一，一.一兀.解析对于A,当x

10、=1时，lgx=0,正确；对于B,当x=4时，tanx=1,正确；对于C,当x0时，x30,正确.4 .用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2兀.(2)有一个有理数x0满足x2=3.对任意角%都有sin2a+cos2a=1.解(1)任意xCx|x是凸n边形,x的外角和是27t.(2)存在xoCQ,x0=3.(3)任意代R,sin2a+cos2a=1.呈重点、现规律1 .判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2 .要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立

11、；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3 .要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.40分钟课时作业一、基础过关1.下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一个数除0,都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析命题都是全称命题.2 .下列特称命题是假命题的是（）A.存在xCQ,使2xx3=0B,存在xCR,使x2+x+1=0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数答案B解析对于任意的xCR,x2+x+

12、1=（x+2）2+30恒成立.3 .给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2整除；有的菱形是正方形；存在实数x,x0;对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是（）A.四个命题都是真命题B.是全称命题C.是特称命题D.四个命题中有两个假命题答案C解析为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题.4 .下列全称命题中真命题的个数为（）负数没有对数；对任意的实数a,b,都有a2+b22ab;二次函数f（x）=x2ax1与x轴恒有交点；任意xCR,yCR,都有x2+|y|0.A.1B.2C.3D.4答案C解析为真命题.5 .下列全称命题为真命题的是（）A.所有的素数是奇数B.任意xCR,x2+33

13、C.任意xCR,2x1=0D.所有的平行向量都相等答案B6 .下列命题中，真命题是.存在x0C0,2!sinx0+cosx02;任意xC(3,+),x22x+1;存在mR,使函数f(x)=x2+mx(xCR)是偶函数;任意xCg，兀)，tanxsinx.答案解析对于，任意xC0,2,sinx+cosx=避sin,+j卜.此命题为假命题;对于，当xC(3,+8)时，x2-2x-l=(x-1)2-20,，此命题为真命题；2对于，当m=0时，f(x)=x为偶函数,，此命题为真命题；对于，当xC9,兀4寸,tanx03,xa恒成立，则实数a的取值范围是.答案一,3解析对任意x3,xa恒成立，即大于3的

14、数恒大于a,，aW3.9 .给出下列四个命题：ab?ab=0;矩形都不是梯形；存在x,yCR,x2+y2w1；1.任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-其中全称命题是.答案解析省略了量词“所有的”，含有量词“任意”.10 .四个命题：任意xR,X?3x+20恒成立；存在xQ,x2=2;存在xR,*2+1=0;任意xGR4XS2X1+3x2淇中真命题的个数为.答案0解析x2-3x+20,A=(-3)2-4X20,当x2或x0才成立，为假命题.当且仅当x=地时,x2=2,不存在xQ,使得x2=2,为假命题，对任意xR,x2+10,为假命题，999O4x-(2x-1+3x)=x-2x+1=(x-1)

15、0,即当x=1时，4x?=2x1+3x?成立，：为假命题.均为假命题.11 .判断下列命题的真假：(1)对任意xR,|x|0;(2)对任意aR,函数y=logax是单调函数；2(3)对任意xR,x-1;(4)存在aC向量,使ab=0.解(1)由于OCR,当x=0时，|x|0不成立，因此命题“对任意xCR,|x|0”是假命题.(2)由于16R,当a=1时，y=logax无意义，因此命题“对任意aR,函数y=logax是单调函数”是假命题.(3)由于对任意xR,都有x0,因而有x2-1.因此命题“对任意xR,x2-1是真命题.(4)由于0c向量,当a=0时，能使ab=0,因此命题“存在aC向量,使ab=0”是真命题.212 .已知函数f(x)=x22x+5.(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意xCR恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x,使不等式m-f(x)0成立，求实数m的取值范围.解(1)不等式m+f(x)0可化为m-f(x),即mx2+2x5=(x1)24.要使m(x1)24对于任意xCR恒成立，只需m4即可.故存在实数m使不等式m+f(x)0对于任意xCR恒成立，此时m4.(2)不等式mf(x)0可化为mf(x).若存在实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m4.故所