专题训练一等腰三角形的存在性问题

1、专题训练等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点.专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在AB=AC,BA=BC,CA=CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.解等腰三角形的

2、存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为（3,4）,点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标.（09上海24）2 .如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值.（08

3、南汇25）3 .如图，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标.三年真题4 .（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.5 .（11湖州24）如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P

4、（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D.（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）.当点P从O向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）.图1图26. （10南通27）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8,E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE,作EFXDE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8,求x为何值时，

5、y的值最大，最大值是多少？12（3）右y要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？两年模拟7. （2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,DE=4.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF2"cosDOP3cosDOP525_2_2-22一4(一,0)ACJabBC46810此cosACB-.65在APQC中，CQ=t,CP=102t.第2题图1第2题图2第2题图3OEOP35-OE-OO52256如图1,当CPCQ时，t102t,解得t(#).31一如图2,当Q

6、PQC时，过点Q作QMLAC于M,则CM=-PC5t2在RtAQMC中，COSQCM-CM"t,解得t英(秒).5CQt92t.1一如图3,当PQPC时，过点P作PNLBC于N,则CN=-QC24CN1t80在RtAPNC中，COSPCN2一，解得t(秒).5CP102t21综上所述，当t为也秒、25秒、80秒时，PQC为等腰三角形39213.由y=2x+2得，A(1,0),B(0,2).所以OA=1,OB=2.如图，由AOBsQOP得，OP:OQ=OB:OA=2：1.设点Q的坐标为（0,m）,那么点P的坐标为（2m,0）.因此AP2=(2m+1)2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+

7、(2m)2=5m2.4当AP=AQ时，AP2=AQ2,解万程(2m+1)2=m2+1,得m0或m-.所以符合条件的点P不3存在.当PA=PQ时，PA2=PQ2,解方程(2m+1)2=5m2,得m2J5.所以P(42，5,0).1 _当QA=QP时，QA2=QP2,解万程m2+1=5m2,得m.所以P(1,0).2第3题图4. (12临沂26)(1)如图，过点B作BCLy轴，垂足为C.在RtAOBC中，/BOC=30°,OB=4,所以BC=2,OC273.所以点B的坐标为(2,2君).y=ax(x4),(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线的解析式为"6&quo

8、t;所以抛物线的解析式为y避x(x4)6s32x62.3x,3代入点B(2,2曲),2曲2a(6).解得a(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).当OP=OB=4时，OP2=16.所以4+y2=16.解得y2察.当P在(2,2J3)时，B、O、P三点共线.当BP=BO=4时，BP2=16.所以42(y2石)216.解得y1y22J3.当PB=PO时，PB2=PO2.所以42(y273)222y2,解得y2网.综合、，点P的坐标为(2,2点).第4题图5. (11湖州24)(1)因为PC/DB,所以CP-PM-MC1.因此PM=DM,CP=BD=2m.所BDDMMB以AD=4

9、m.于是得到点D的坐标为(2,4m).(2)在AAPD中，AD2(4m)2,AP2m24,PD2(2PM)244(2m)2.当AP=AD时，(4m)2m24,解得m3(如图D.2当PA=PD时，m2444(2m)2.解得m4(如图2)或m4(不合题意，舍去).3当DA=DP时，(4m)244(2m)2.解得m-(如图3)或m2(不合题意，舍去).3综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为3,4或2.233另解第(2)题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单:如图1,当AP=AD时，AM垂直平分PD,那么PCMsMBA.所以劲胆1.因此pc1,m3.CMBA222如图2,当PA

10、=PD时，P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此4m2m.解得m-.3(3)点H所经过的路径长为迈.思路是这样的：4如图4,在RtAOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的。G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图5,P与O重合时，是点H运动的起点，/COH=45°,/CGH=90°.第5题图4第5题图6. (10南通27)因为/EDC与/FEB者B是/DEC的余角，所以/EDC=/FEB.又因为/C=/B=90°，所以DCEsEBF.因此DCCEEBBF，即1128整理，得y关于x的函数关系为yx2x.mm1212c(2)

11、如图1,当m=8时，y-xx-(x4)2.88因此当x=4时，y取得最大值为2.12121282一一若y，那么xx.整理，得x8x120.mmmm解得x=2或x=6.要使DEF为等腰三角形，只存在ED=EF的情况.因为DCEsEBF,所以CE=BF,即x=y.12一.一将x=y=2代入y，得m=6(如图2);12将x=y=6代入y，得m=2(如图3).第6题图1第6题图2第6题图357. (1)BEt4,EF5(t4)8(2) DEF中，/DEF=/C是确定的.如图1,当DE=DF时，DEAB(t4)EF,即28.解得tBC101615625如图2,当ED=EF时,54一(t4)8解得t125

12、如图3,当FD=FE时,FEDEACBC4)10一,一.一.解得t0,即D与B重合.16(3)如图第7题图1MN>AFDE4,运动结束，的中位线，MN/DE,MN=2,MN扫过的形状是平行四边形.N在AC的中点，N至ijBC的距离为3;如图5,运动开始,与B重合，M到BC的距离为9.4所以平行四边形的高为8. (1)C(4,2®),(2)顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为5，代入直线y=<3x2<3，得y费.22设抛物线的解析式为ya(x勺)2虫，代入点C(4,23),可得a2叵.223所以物线的解析式为ylJ(x5)2-2.322(3)由顶点E在直线y=J3x2

13、<3上，可知点G的坐标为(0,2.肉,直线与y轴正半轴的夹角为30°,即/EGF=30°.设点E的坐标为(m,J3m2不)，那么EG=2m,平移后的抛物线为y型3(xm)273m2总所以点F的坐标为(0,&3m2有m23).3如图1,当GE=GF时，yFyG=GE=2m,所以23-m2五m2m-3解得m=0或向32m=0时顶点E在y轴上，不符合题意.此时抛物线的解析式为23-32(x32)2如图2,当EF=EG时,37-J2232m375m2d3m.解得m=0或3.2此时抛物线的解析式为2)2当顶点E在y轴右侧时，/FEG为钝角，因此不存在FE=FG的情况.89. (1)当D为BC的中点时，ADXBC,DEXAC,CE一.3(2)如图1,由于/ADC=/ADE+Z1,/ADC=/B+/2,/ADE=