专题22正方形(解析版)

1、专题22正方形专题知识回顾1 .正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2 .正方形的性质：(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴；(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3.正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等

2、。即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。2b24.正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,S正方形=a2专题典型题考法及解析【例题1】(2019湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.v2B.2C.v3D.4【答案】B【解析】设正方形ADOF的边长为x,由题意得：BE=BD=4,CE=CF=6,BC=BE+CE=BD+CF=10,在RtABC中，AC2+AB2=BC2,即(6+x)2

3、+(x+4)2=102,整理得，X2+10x-24=0,解得：x=2,或x=-12(舍去)，.x=2,即正方形ADOF的边长是2O,E是OC上一点，连【例题2】（2019?四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点接EB.过点A作AM，BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证：OE=OF.【答案】见解析。即可得出/MEA+ZMAE【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA,根据AMXBE,=90°=ZAFO+ZMAE,从而证出RtABOERtAAOF,得到OE=OF.证明：:四边形ABCD是正方形. .ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA

4、.又;AM±BE, ./MEA+ZMAE=90°=/AFO+ZMAE, ./MEA=/AFO.BOEAAOF(AAS).OE=OF.专题典型训练题、选择题1.（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB=1,点E,F分别在边BC和CD上，AE=AF,/EAF=60°,则CF的长是（）【解析】四边形ABCD是正方形, ./B=ZD=ZBAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,在RtAABE和RtAADF中,AE=AFAE一如RtAABERtAADF(HL), ./BAE=ZDAF, ./EAF=60°, ./BAE+ZDAF=30

5、76;, ./DAF=15°,在AD上取一点G,使/GFA=/DAF=15°,如图所示: .AG=FG,/DGF=30°,DF=FG=,dg=|V1df,设DF=x,贝UDG=V3x,AG=FG=2x, AG+DG=AD,2x+V3x=1,解得：x=2-,DF=2-V3,.CF=CD-DF=1-(2-近)=VS-1；故选：C.2.（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019c2019,那么点A2019的坐标是(

6、【解析】解：.四边形C.（岑，专）D.(0,T)OABC是正方形，且OA=1,A(0,1),将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,A1（返2发现是8次一循环，所以2019+8=252余3,二点A2019的坐标为（故选：A.3. （2019?四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为11-11(A)1(B)1(C)l(D)16354【答案】A211【解析】阴影部分面积=1x2X1=13264. (2019须州省铜仁市)如图，正方形ABCD中，AB=6,E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE,延长EF交BC于G,F

7、HXBC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论：BF/ED;DFGDCG;.d_,一一，-FHBsEAD;tan/GEB=;SAbfg=2.6;其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.【答案】C.【解答】.正方形ABCD中，AB=6,E为AB的中点AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,/A=/C=/ABC=90°,ADE沿DE翻折得到FDE./AED=/FED,AD=FD=6,AE=EF=3,/A=/DFE=90°.BE=EF=3,/DFG=/C=90°./EBF=ZEFB/AED+/FED=/EBF+ZEFB./DEF=/EFBBF/ED故结论正确；AD=

8、DF=DC=6,/DFG=/C=90°,DG=DGRtADFGRtADCG，结论正确; FHXBC,/ABC=90° .AB/FH,/FHB=ZA=90° ./EBF=ZBFH=ZAEDFHBAEAD，结论正确； RtADFGRtADCGFG=CG设FG=CG=x,贝UBG=6x,EG=3+x在RtABEG中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)2解得：x=2BG=4.tan/GEB=BGBE故结论正确；FHBAEADBH=2FHa2+(42a)2=22设FH=a,贝UHG=42a在RtAFHG中，由勾股定理得:解得：a=2（舍去）或a=§5.S

9、aBFG=±X4更=2.425故结论错误。5.（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4,EF=2,设AE=x.当PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当x=0（即E、A两点重合）时，P点有6个当0vxv4我-2时，P点最多有9个当P点有8个时，x=242-2当PEF是等边三角形时，P点有4个A.B.C.D.【解析】当x=0（即E、A两点重合）时，如下图,分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，正确。当0VXV4J2-2时，P点最多

10、有8个,故错误。当户点有8小时.如图2所示：当0W率<a<4V或2<jcv4，一代二1<f2“31vky4N时P点肓H个：散错层；G）如圉3.当户是等边三角形时，产点有44;改正确i当FEf是等腰二角形时，关于凡宗个数的说法中，不正确的是.一定正确的星：故皆：tf.二、填空题赵爽弦图6. （2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.【答案】4.【解析】勾a=6,弦c=10,股=4=8,，小正方形的边长=8-6=2,，小正方形的面积=22=4.故答案是：4.7. （2019湖南张家界）如图：正

11、方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,贝Utan/APD=【解析】解：连接AF,.E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,.CF=BE,迪fDF在ABE和BCF中，网:BCbe=cfRtAABERtABCF(SAS, ./BAE=ZCBF,又/BAE+ZBEA=90,CBF+ZBEA=90,ZBPE=ZAPF=90, /ADF=90, ./ADF+ZAPF=180,.A、P、F、D四点共圆，AFD=ZAPD, tanZAPD=tanZAFD=-=2,故答案为：2.DF如图，已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）

12、，将4ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:/EAG=45°；若DE=-a,则AG/CF；3若E为CD的中点，则4GFC的面积为a2；10若CF=FG,贝UDE=(72-1)a；BG?DE+AF?GE=a2.其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】二四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD=a, 将ADE沿AE对折至AFEZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,/DAE=/FAE,fin=Jr在RtAABG和RtAAFG中|:於二；,：.RtAABGRtAAFG(HL), ./BAG=

13、ZFAG,1 ./GAE=/GAF+/EAF=.,X90=45,故正确；BG=GF,/BGA=/FGA,11设BG=GF=x,/DE=-a,/.EF=-a,/.CG=a-x,4J,I9I在RtEGC中，EG=x+-a,CE=-a,由勾股定理可得(x+-a)2=x2+(.a)2,I解得x=-a,此时BG=CG=-a,I.GC=GF=,ja,.GFC=/GCF,且/BGF=/GFC+/GCF=2/GCF,.2/AGB=2/GCF,/.ZAGB=ZGCF,.AG/CF,.正确;_、，I若E为CD的中点，贝UDE=CE=EF口，设BG=GF=y,贝UCG=a-y,CG2+CE2=EG2,即（&

14、一+、口尸=I0-，解得，y%a,.BG=GF=口,CG=a-a二-3'3322112I,“FC=r=lX”Xq门Mq上=77口一，故错误；V1J.上<1J当CF=FG,则/FGC=/FCG,./FGC+/FEC=/FCG+/FCE=90°,/FEC=/FCE,，EF=CF=GF,.BG=GF=EF=DE,EG=2DE,CG=CE=a-DE,/.=EC,即1项以-DE）三2DF,.DE=（*生-1）a,故正确；设BG=GF=b,DE=EF=c,贝UCG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2,整理得bc=a2-ab-ac,Srcmi

15、=:w一口=；一口匕一同仁+品=院+加=1h：即$ceg=BG?DE,SaABG=SAFG,S»aAEF=S»aADE,5.»山曲.=26A，店F=1>,jlF-Ef?=jiF"-EG,S五边形abged+Saceg=S正方形abcd,BG?DE+AF?EG=a2,故正确.故答案为：.由折叠得AD=AF=AB,再由HL定理证明RtAABGRtAAFG便可判定正误；1 9|设BG=GF=x,由勾股定理可得（x+-a）2=x2+（；a）2,求得BG=a,进而得GC=GF,得/GFC=ZIJ-S,J-GCF,再证明/AGB=ZGCF,便可判断正误；设BG

16、=GF=y,则CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得BG,GF,EF,再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得CGF的面积，便可判断正误；证明/FEC=/FCE,得EF=CF=GF,进而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；设BG=GF=b,DE=EF=c,则CG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得bc=a2-ab-ac,再得CEG的面积为BG?DE,再由五边形ABGED的面积加上CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误.9. （2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的。的圆心重合，E、F分别是A

17、D、BA的延长与。的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留兀）【答案】兀-1.【解析】延长DC,CB交。于M,N,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.延长DC,CB交。于M,N,则图中阴影部分的面积=X（S圆OS正方形ABCD）=X（4兀4）=兀1,4410. （2019?四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12,AE=-AB,点P在BC上运动（不与B、C4重合），过点P作PQXEP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.【解析】先证明BPEsCQP,得到与CQ有关的比例式，设CQ=y,BP=x,则CP=12-x,代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值./BEP+

18、/BPE=90°,ZQPC+ZBPE=90°,./BEP=/CPQ.又/B=ZC=90°,.BPEACQP.BEBP.=.PCCQ设CQ=y,BP=x,贝UCP=12-x.(x2-12x),整理得y=(x-6)2+4,g所以当x=6时，y有最大值为4.11. （2019?广东广州）如图，正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合），/DAM=45°,点F在射线AM上，且AF=V2BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:/ECF=45°4AEG的周长为（1+叵）a；2BE2+DG2=EG2;EAF的面积的

19、最大值工a2.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）【答案】.【解析】正确.如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.证明FAEAEHC(SAS),即可解决问题.错误.如图2中，延长AD至ijH,使得DH=BE,则CBEACDH(SAS),再证明GCEAGCH(SAS),即可解决问题.正确.设BE=x,则AE=a-x,AF=&x,构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.,.BE=BH,/EBH=90°,1EH=2BE,AF=2BE,AF=EH,/DAM=/EHB=45°,/BAD=90°,./FAE

20、=ZEHC=135°,.BA=BC,BE=BH,AE=HC,FAEAEHC(SAS),EF=EC,/AEF=ZECH,./ECH+ZCEB=90°,.ZAEF+ZCEB=90°, ./FEC=90°,，/ECF=/EFC=45°,故正确,如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,则CBEACDH(SAS), ./ECB=ZDCH, ./ECH=ZBCD=90°, ./ECG=/GCH=45°, .CG=CG,CE=CH,GCEAGCH(SAS),EG=GH, .GH=DG+DH,DH=BE,.EG=BE+DG,故错误,.AEG

21、的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故错误,设BE=x,贝UAE=a_x,AF=1yx,SaAEF=?(ax)-<0,22a时，AEF的面积的最大值为a2.故正确,故答案为.图2图112.（2019广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点，AF平分/BAE交BC于点F,将ADE绕点A顺时针旋转90°得ABG,则CF的长为【答案】6-2叵【解析】作FMXAD于M,FNLAG于N,如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM=4,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点，DE=2,11AE=d42+22=2!&g

22、t;,ADE绕点A顺时针旋转90°得ABG,.AG=AE=2区,BG=DE=2,/3=/4,ZGAE=90°,/ABG=/D=90°,而/ABC=90°,点G在CB的延长线上，.AF平分/BAE交BC于点F,1=72,2+/4=/1+/3,即FA平分/GAD,FN=FM=4,i-AB?GF=-irFN?AG,.-.GF=CF=CG-GF=4+2-25=6-2/5.B落在线段13. （2019?山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点AE上的点G处，折痕为AF,若AD=4cm,则CF的长为cm.AD【答案】6-【解析】设

23、BF=x,则FG=x,CF=4-x,在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=（24号-4）2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22,从而得到关于x方程，求解x,最后用4-x即可.设BF=x,贝UFG=x,CF=4x.在RtAADE中，利用勾股定理可得AE=2姓.根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=2VS-4.在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=（2M-4）2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22,所以（4）2+x2=（4-x）2+22,解得x=|2V5-2.贝UFC=4-x=6-14. （2019江苏镇江）将边长为1的

24、正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H,则HD=.（结果保留根号）【答案】72-1.【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理.由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°,得/CFE=/ECF=45°,而在RtCEF中，由勾股定理，得CF=J2,从而DF=J21,易知DHF是等腰直角三角形，于是DH=DF=应1.因此本题答案为J21.15. （2019辽宁抚顺）如图，在2X6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A,B,C在格点上，连接AB,B

25、C,则tanZABC=.故答案为：_2【解析】连接AD,根据网格利用勾股定理求出AB,AD,BD的长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可.连接AD,由勾股定理得：AD=+=AB=、标=2、历,BD=在不m了,（|V2）2+（2吏）2=（V10）2,即ad2+ab2=bd2,.ABD为/BAD是直角的直角三角形，B三、解答题16. （2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,AD上，且AF=CE.(1)求证：ABFACBE;(2)若AB=4,AF=1,求四边形BEDF的面积.【答案】（1）见解析；（2）12.【解答】(1

26、)在ABF和CBE中"杷二BCZA=ZC=90°,AF=CEABFACBE(SAS);（2）由已知可得正方形ABCD面积为16,ABF面积=CBE面积=X42.2所以四边形BEDF的面积为16-2X2=12.17. （2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A,D不重合）,射线PE与BC的延长线交于点Q.求证:PDEAQCE;(2)过点E作EF/BC交PB于点F连接AF,当PB=PQ时,求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.【答案】见解析。【解析】由正方形性质得到边角关系，从而证明全

27、等；通过证明全等得到AP=EF,由平行线的传递性得到平行，故四边形AFEP是平行四边形：列出方程得到AP的长，与PE比较，不能判定四边形AFEP是菱形.(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，/D=ZBCD=90°.1,.ZECQ=90°=ZD/E是CD的中点，DE=CE,又./DEP=ZCEQ,PDEAQCE;(2) (2)证明：如图，由(1)得PDEAQCE,.PE=QE=1PQ,又EF/BC,.PF=FB=1PB,PB=PQ,，22PF=PE,，/1=/2J,四边形ABCD是正方形，/8人口=90°在RtAABP中,F是PB的中点，AF=BP2=FP/./3

28、=/4,AD/BC,EF/BC,.AD/EF,/1=/4,，/2=/3,又PF=FP/.APFAEFP/.AP=EF,又AP/EF,/.四边形AFEP是平行四边形四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x,则AP=1x,由(1)可知PDEZQCE,，CQ=PD=x,，BQ=BC+CQ=1+x,=点E,F分别是PQ,PB的中点，EF是APEQ的中位线，EF=1BQ=1+x.由可知AP=22rr1+x_1_1_2_122、13EF,即1x=，解得x=-，.PD=-,AP=，在RtAPDE中,DE=,.PE=4PD+DE=，.二233326APwPEa四边形AFEP不是菱形.18. (2019湖南

29、株洲)如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG.(1)求证：DOGCOE;OEFG1(2)若DGBD,正万形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=,求正万形2的边长.EG【答案】(1)见解析；(2)2历.【解析】解：(1)二.正方形ABCD与正方形OEFG,对角线AC、BDDO=OC DBXAC,DOA=ZDOC=90° ./GOE=90°,GOD+ZDOE=ZDOE+/COE=90° ./GOD=ZCOE .GO=OE 在4DOG和ACOE中ZG0D=ZC0EIgd=oe .DOGACOE(SA

30、S)(2)如图，过点M作MH±DO交DO于点H AM=1,DA=2,DM=2./MDB=45°MH=DH=sin45°DM=T,DO=cos450DA=V2HO=DO-DH=V2-在RtAMHO中，由勾股定理得MO=v'hh?+ho2=号*哼产哼.DGXBD,MHXDO,.MH/DG.易证OHMs*ODG返史:驳=zODGOV2则正方形OEFG的边长为24.EG19.（2019?胡北省仙桃市）如图，E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点，且BE=CF,过点E作EG/BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证：（1） AEXBF;【解

31、析】由SAS证明ABEBCF得出AE=BF,/BAE=/CBF,由平行线的性质得出/CBF=/CEG,证出AEXEG,即可得出结论；延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,则AP=CE,ZEBP=90°,证明APEECG得出AE=EG,证出EG=BF,即可得出结论.证明：（1）二.四边形ABCD是正方形，.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,ABE=ZBCF=90°,FAB=BC在ABE和BCF中，/ABE=/BCF,BE二CFABEABCF(SAS),，AE=BF,/BAE=ZCBF, EG/BF,.CBF=ZCEG, ./BAE+ZBEA=90°

32、,./CEG+ZBEA=90°, AEXEG,AEXBF;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,如图所示：则AP=CE,/EBP=90°,.P=45°,.CG为正方形ABCD外角的平分线，/ECG=45°,P=/ECG,由(1)得/BAE=ZCEG,2p=Necg在APE和ECG中，APCE,lZbae=ZcegAPEAECG(ASA),，AE=EG,AE=BF,.1.EG=BF,.EG/BF,四边形BEGF是平行四边形.20.(2019?山东泰安)如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且/CEF=90°,

33、FGXAD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.F【答案】见解析。【解析】过点F作FMLAB交BA的延长线于点M,可证四边形AGFM是矩形，可得AG=MF,AM=FG,由AAS”可证EFMACEB,可得BE=MF,ME=BC=AB,可得BE=MA=MF=AG=FG;延长GH交CD于点N,由平行线分线段成比例可得gG_FHCNCH,且CH=FH,可得GH=HN,NC=FG,即可求DG=DN,由等腰三角形的性质可得DHHG.(1)AG=FG,理由如下：如图，过点F作FM，AB交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形 .AB=BC,ZB=90°=ZBADFM±AB,/MAD=90°,FGXAD，四边形AGFM是矩形AG=MF,AM=FG, ./CEF=90°, ./FEM+/BEC=90°,ZBEC+ZB