(word完整版)高等代数(北大版)第5章习题参考答案[1]

1、第五章二次型1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）4x1x22x1x32x2x3;2) x2x1x2C2A222x24x2x34x3；3) xi23x22x1x22x1x36x2x3；4) 8x1x42x3x42x2x38x2x4；5) x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4；6) x122x22/4x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4;7) x1222x2x32x42x1x22x2x3解1)已知fxi,x2,x34xix22xix32x2x3,先作非退化线性替换x1y1y2x2y1y2(1)x3y3则r2.2.fx1,x2

2、,x34y14y24y1y3,2/22,24y14y1y3y3y34y2八32.22y1y3y34y2,再作非退化线性替换1 1y1二乙二Z32 2y2Z2y3Z3则原二次型的标准形为x1,x2，x3222z14Z2于是相应的替换矩阵为且有2）已知f由配方法可得于是可令X1,X2,X3fX1,X2,X3则原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为XiX2X312Z112Z1TATX122X1X1y1y2y3Z2Z22x1x2X1,X2,X3X1X2X32x1x2X2X1X2X3y1y2y312z312z32X2X2X22x3,2y12y2(3)21204X2X32X221214x1,

3、24X2X34X3y22y32y3且有TAT(3)已知由配方法可得fX1,X2，X3于是可令X1,X2,X32X1X1则原二次型的标准形为且非退化线性替换为X1X2X3相应的替换矩阵为且有TAT2X13x22X1X22X1X36X2X3,2x1x22X1X32X2X32X22X34x24X2X3X2X2X322x2X3Y1y2y3y1y3X12x2X3V2X2X3X3X1，X2，X3135y22y312y32y12y2先作非退化线性替换xiyiy4X2y2fXi,X2,X3,X4再作非退化线性替换fXi,X2,X3,X4再令则原二次型的标准形为X3X48y1y4y3y48y22y3y42y2y

4、38y2y42y42y4yiy2i8y3yii2y2i2yii2yi82Zi2z2Wiw2W3W4i2y2i2y2yiy2y3y，Z2Z3ZiZ2Z2Z458z25X24i2乙y3Z3Z338z358z22y2y3V4Z4yiZiV254Z23X3438z3Z434Z32y2y3,相应的替换矩阵为且有X3X4TAT153-W1W2W244W2W3W2W3XiX2w41W12(5)已知fX1,X2,X3,X4X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4先作非退化线性替换X12y1V2fX1,X2,X3,X42y1y2y1再作非退化线性替换Z1Z2Z3X2X3X4y2V2y3y42y1y32y

5、2y32y1y42y2y4V2y1y1y3Z4y4y3V4y312y4y212y4y3y4则原二次型的标准形为yiy2y3y4且非退化线性替换为XiX2X3X4相应的替换矩阵为且有TAT(6)已知fx1,x2,x3,x4由配方法可得fX1,X2,X3,X42X1ZiZiZ3Z4Z22Z12Z2Z2Z32Z3Z3ZiZ2Z3Z3Z42X112Z42Z41Z42，12Z2x2x32x2x42x12x22x3x44x1x22X3X42x24X1X32x32x1x42X4于是可令则原二次型的标准形为且非退化线性替换为故替换矩阵为且有(7)已知由配方法可得Xi2x22x3yiX12x2y2y3y42y1

6、X2X3X42y22x42x23X32X42x31一X422y3X1y12y2y33X2y22y3y4X3y3y4X4y，y4TATX4X1,X2,X3,X4fX1,X2,X3,X42X2X12X1于是可令2X12x2X2X2X132X312X412-X3X4,213212X2X1X3X3X22X3X32X4X12X1X3X3X42x1x22x2X32X3X4,X32X32X1X32X3X42X1X32X3X42X42X32X32X12X42X12X3X32X4X1X3yX1V2X1X2X3V3X3X4V4X1X3则原二次型的标准形为22222fy1y2y2y4,且非退化线性替换为X1y1X2

7、V2V4X3y1VaX4y1V3Va相应的替换矩阵为10000101T,10011011且有10000100TAT。00100001（n）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解1）已求得二次型fX1,X2,X34X1X22X1X32X2X3的标准形为且非退化线性替换为2,2-2fy14y23y3,y2V212y31X1-y11X2-y1X3V3可得二次型的规范形为yiZ3y2y3Zi222ZiZ2Z3。(2)在复数域上，若作非退化线性替换yiiziy2i二Z2，2y3Zi可得二次型的规范形为222ZiZ2Z3。2)已求得二次型fX1x22xix2

8、2x；4x2x34X3的标准形为且非退化线性替换为22fyiy2,xiyiy22y3x2y22y3x3y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形22fyiy2。3)已求得二次型2fxi,x2,x3xi的标准形为fyi2且非退化线性替换为3x22xix22x1x36x2x32y2，xix2x3i3yi二y2二y322ii3y22y3y3(i)在实数域上,上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即22fyiy2。(2)在复数域上,若作非退化线性替换yiZiy2iZ2。y3Z3可得二次型的规范形为22Ziz2。(3) 已求得二次型fXi,X2,X3,X48x1x22

9、x3x42x2x38x2x4的标准形为2yi22y22y38y2,且非退化线性替换为xii2yi53Zy24y3y4x2y2y3x3y2iy3x4-yiy，21 i)在实数域上，若作非退化线性替换yiy2i21-21Z4Z2y32z3V4i2 2Zi可得二次型的规范形为2222ZiZ2Z3Z2。(2)在复数域上，若作非退化线性替换i-：2i2yiV2V3V4可得二次型的规范形为fZi2(5)已求得二次型f必在久的标准形为22232fyiy2y3-y4,4且非退化线性替换为1xiyiy2y32vAiX2yiy2V32V4iX3V32V4X4V4(i)在实数域上，若作非退化线性替换yiZ2V2Zi

10、y3Z3，2y4Z43可得二次型的规范形为Z2IZ32iZ42.22Z2xix222Z3Z2。XiX3x1x4x2x3x2x4x3x42222ZiZ2Z3Z4。(2)在复数域上，若作非退化线性替换yiiZiV2Z2y3iZ3，2.V4IZ43可得二次型的规范形为2z12Z222Z3Z4。6）已求得二次型fXi,X2,X3,X4x122x2x24x1x24x1x32xix42x2x32x2x42x3x4的标准形为2212fyi2y22y3,且非退化线性替换为xiyi2y2y3y43又2y2-y3y，2x3yy4x4y4（1）在实数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为fyiZ2iy2一Z3

11、1,aij21132211122A11122由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且k1Ak|2k10k1,2,n,故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为Aaj，则A的k级顺序主子式为jnn0,8.t取什么值时，下列二次型是正定的:1)2x1x25x22txix22x1x34x2x32x14x2x22txix210x1x36x2x3二次型的矩阵为因为A的各阶顺序主子式为0,0,当原二次型为正定时，有解上面不等式组，可得t25t20。4t2）二次型的矩阵为当A的所有顺序主子式都大于零时,0,t20,t230t1050,4t2t230t1050但此不等式组无解,9

12、.证明：如果列指标相同的子式。即不存在t值使原二次型为正定。A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与证设正定矩阵Aaijnn，作正定二次型nnajXiXj,并令i1j1xj则可得新二次型kikiaxXj，iKj(由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式A0i1,2,10.设A是实对称矩阵,证证明:t充分大之后,tEA是正定矩阵。ta11tEa21ta22a2nan2tann它的k级顺序主子式为ai2a21a22a2kak1ak2akk当t充分大时，kt为严格主对角占优矩阵的行列式，且taHaaij1,2,故kt0k1,2,n，从而tEA是正定的。11.证

13、明：如果A是正定矩阵，那么A1也是正定矩阵。1Y,证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换也是对称矩阵，故YA1YYA1AA1YXAX0,从而YA丫为正定二次型，即证A1为正定矩阵。XAX0。n,且A不是正定矩阵。故必存在非证因为A0,于是A0,所以rankA退化线性替换XC1Y使XAXYC1ACYYBYyiV2ypypiyp2yn,且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在ZC1Y中，令yiy0,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组C11X1C12X2GnXnCp1X1cp2x2cpnxn1,nXnCp1,1X1Cp1,2X2CpCn1X1Cn2X2CnnXn由于C0,故可

14、得唯一组非零解XsX1s,X2s,Xns使sis，as，nsXSAXS000111np0ss即证存在X0,使XAX0。13 .如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。证因为A,B为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且XAX0,XBX0,因此XABXXAX是XABX必为正定二次型，从而AB为正定矩阵。14 .证明：二次型fX1,X2,Xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数p秩r,则pr。即22222fX1,X2,XnV1V2ypyp1yr,若令y1y2yp0,ypy.1,则可得非零解x1,x2,xn使fx1，x2，,xn0。这与

15、所给条件x1,x2,xn0矛盾，故p充分性。由fx1,x2,xn22y1y22yp，故有fx1,x2,xn0,即证二次型半正定。15.证明：n2nxii1nxii1是半正定的。nni12xi2nx12x2i1可见:Xi2xn2x12x22xn2x1x22x1xn2x2x32X2Xn2xn1xn1)2)2x?xn2x1故原二次型2x12xn(2x1x22%xn2x2x32xn1xn)2x1x222x2x12x1x32xixj。n%,x2,x1x2,xn不全相等时x1,x2,xn,xnfx1,x2,xn是半正定的。16设fx1,x2,xnX1Ax2x3xinxinxjxjxn12xn1xn0。0。

16、XAX是一实二次型，若有实n维向量0,X2Ax20。2xnX1，X2使设A的秩为r,作非退化线性替换XCY将原二次型化为标准型222XAXd1y1d2y2dryr,其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量Xi,X2使X1Axi0和X2Ax20,故标准型中的系数d1,dr不可能全为1,也不可能全为-1。不妨设有p个1,q个-1,2222xax必ypyp1ypq,这时p与q存在三种可能：pq,pq,pq下面仅讨论pq的情形，其他类似可证。令y1yq1,yq1yp0,yp1ypq1,则由ZCY可求得非零向量X0使-A-2222cX0AX0y1ypyp1ypq0，即证。17.A是一个实矩阵，证明：r

17、ankAArankA。证由于rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故只要证明AX0与AAX0同解即可。事实上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0,即证AX0与AAX0同解，故rankAArankA。注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、补充题参考解答1 .用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果:1）X1X2nX2X2n1X2X2n1XnXn1；3)2XiiiXiXj;iijn4)XiXiX2Xn作非退化线性替换XiyiX2V2y2niXnynyniXnynyniX2niV2X2nyiTY,则原二次型的标准形为

18、且替换矩阵其中2yiTAT2y22yn2yn2y2ni2y2n，2)yin为奇数时,Vyi1YnX1X2X3作变换X1X2X2X3且当n2y2yiy2X1X2y2yiX2X3X1X2X3y2XiXi12Xi2XnXn1Xn2y12y22y31,3,5,2y4,n22yn2yn4k1时，得非退化替换矩阵为11111000001111111000当n4k3时，得非退化替换矩阵为故当n为奇数时,都有TAT当n为偶数时,作非退化线性替换Vxixi1xi2V1,3,5,nYnxn1xn2Ynxn1xn2x1x2x2x32xn1xnY12Y22Y322yn1Yn，于是当n4k时，得非退化替换矩阵为于是当n

19、4k2时，得非退化替换矩阵为1100110011113）由配方法可得f21nx1Xj2j2X2xjj31111110011T11故当n为偶数时，都有111TAT12n1n12Xn1-XnXn,2n1n2n于是可令yX1y2X2XjXj1yn1Xn1XnnynXn则非退化的线性替换为1xiyi-y21X2y23y3ynyniiynnyniXniyni-ynnxnyn且原二次型的标准形为yi4y2-yn2n相应的替换矩阵为1iiiii23niniii0i3ninii00inini000in0000i又因为ii22ii22ii22ii22所以由于4）令TATX1X2XnXnYi原式2Vyiy2yny

20、n2y1y1ynX1X2XnXn2y2VXiyn2ynVi1yn2V2yi1Vi12Z12yyjn1Z212Zn其中所作非退化的线性替换为yiZiy2Z212z21一Z3313Z31Z4417Zn1n11-Zn1ZnynynZn故非退化的替换矩阵为nXii1X1x,X2X,X111111,XnX2n111n111nnnnnnX11n111n11xX?nnnnnn11n111n1XnnnnnnnXXnX1,X2,Xx所以2.设实二次型证明：f的秩。Xi,X2,ZAZTATfXi,X2,niiinnnXiiniiX2nnniiniXnnnn,XX20000030002400003aiiXiai2X

21、2ainXnXi,X2,Xn的秩等于矩阵ai2a2ia22a2n设rankAr,fXi,X2,卜面只需证明rankA从而asiasn,Xn即可。由于rankArank故存在非退化矩阵P,Q使八ErPAQr0PAEr0PAAPEr0Er0即证rankA3.设P，BrCErPAAPr0BrDEr0Br0是正定的，因此它的r级顺序主子式Br0,从而AA的秩为rorankAA。fXi,X2,1,2,p负惯性指数q是Xi,X2,设libiiXibi2X2fXi,X2,Xn的正惯性指数为s,yiciiXici2X2使得fXi,X2,Xnli2l;lplpi,Xn的一次齐次式,binXn秩为证明：fXi,X

22、2,Xn的正惯性指ii,2,r,则存在非退化线性替换CinXnlpl2ii,2,n,ljq卜面证明sP。采用反证法。该方程组含pns个方程,fai,a2,an上式要成立,必有2yibiiXibpiXics1,1XicniXi22ysysiP,考虑线性方程组binXn0bpnXn0csi,nXncnnXn小于未知量的个数lpilpq故它必有非零解ai,a2,an,2ys，ys0，这就是说，对于x1a1,x2a2,xnan这组非零数，有y10,y20,这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以同理可证负惯性指数r4.设A1A21A2A22是一对称矩阵，且Am0,证明：存在T个级数与A22相

23、同的矩阵。证只要令T1A21A11注意到Ai2A111则有TAT使TATA；A2E1A21A11A1A21A2A22A110A121A21A11A12A22A110即证。5.设A是反对称矩阵，证明:A合同于矩阵A1001.A11A12EA111A2E,其中表不证采用归纳法。当n1时，A0合同于0,结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。当na120第2行乘a第2列乘屋合同，结论成立。假设k时结论成立，今考察0k1的情形。这时aka1,k1如果最后一行（列）a1,k1ak,kak,k10儿素全为零，则由归纳假设,结论已证。若不然，经过行列的同时对换,不妨设ak,k10,并将最后一行和最后一列都乘以1

24、,则A可化成ak,k1ak再将最后两行两列的其他非零元b.a,ik1,2,化成零，则有0b1,k100b1,k1000,00010010由归纳假设知b1,k1b1,k1合同，从而A合同于矩阵0110再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k1级矩阵也成立，即证。6.设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c,使对任一个实n维向量X都有XAXcXX。证因为XAXaijXiXji.jaiji.jXiXj，令amaxaij,则i,jjXAXaXiXji.jXiXj利用XiXj可得222XiXj2XAXaanXicXX,i,j2i其中can,即证。7.主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1

25、）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而BTAT,证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值;2）证明：如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使TAT成对角形;3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则XAX是正定二次型。证1）采用归纳法。当n2时，设a11a12Aa21a22BTAT10a11a121bb1a21a2201考虑B的两个顺序主子式：B的一阶顺序主子式为a11,而二阶顺序主子式为BT|A|T1?|A?1A,与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对n1阶矩阵成立，今考察n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵1,ann其中Tn1为特殊上三

26、角矩阵。于BTn10An1annTn10内11Bn1oTn1An1Tn1的顺序主子式与冬1由归纳假设，B的一切n1阶的顺序主子式，即Bn1的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺序主子式就是B,由BT|A|T1?A?1A,知B的n阶顺序主子式也与A的n阶顺序主子式相等，即证。因a10,同时对A的第一行和第一列进行相同的第三0b2na100Bn1bnn2 ）设n阶对称矩阵Aaj,种初等变换，可以化成对称矩阵a100b22A0bn2与0于是由1）知0,从而b220,再对Bn1进行类似的初等变换，使矩阵A1的0b22第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等

27、变换，便可以将A化成对角形Bo由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在T丁万2,Ts，,左乘一个下三使TATB,命题得证。）由2）知，存在T使又由所以所以由于TATB。1）知B的所有顺序主子式与nA的所有顺序主子式有相同的值，故a110,a11a120,a2220。ai11,2,aiiaii0,因XTY是非退化线性替换，且XAXYTATY2。122y2.2nyn,o证明:是正定二次型,n都大于零,1）如果那么故XAX是正定的。naxxaaij人i人jijjij1a11821%a22ana2n必y2fy1,y2,ynan1an2annyny1y2yn0是负定二次型；2）如果A是正定矩阵，那么A8nnPn1这里Pn1是A的n1阶顺序主子式；3 ）如果A是正定矩阵，那么A811822anno4 ）如果Ttj是n阶实可逆矩阵，那么nT2t；t2ii1证1）作变换YAZ,即y1a11a12anZ1y2a21a22a2nZ2ynan1an2annZna118n1y1ayzan08nn0yny14ynZnynZnAYZAZAZAZAZo因为A是正定矩阵，所以fy1,y2,yn是负定二次型。2）A为正定矩阵，故Pn1对应的n1阶矩阵也是正定矩阵，由1）知是负定a11a1,n1y1fn1Y1,yn1an1,1