高等数学上复旦第三版课后习题答案

1、高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解写出下列级数的一般项:113辽2(1)7l；x一x46227T8L；12n1'nx22n1n1a1-2n1求下列级数的和:153(1)u1xn1xnxn11111.(1)解:2.(1)解:从而£11-2xx111xnxnx1xnxn1因此limSnn12xx1,故级数的和为12xx1因为Un、一n2、n1n1,n从而Sn2.2.?.5、.4.4.3n2'、百1.21.3.3、2n2、n1、n1n所以limSnn1，23，即级数的和为因为Sn15151孑115151n5从而limSnn14丄，即级数的和为43. 判

2、定下列级数的敛散性：(1)1661111165n45n1精品文档5；135L丄L；n5解:(1)S.、2J1,3,2L,n1、nJn11从而limSnn，故级数发散.s-111111L115661111165n45n111155in1从而limSnn15，故原级数收敛，其和为1.5此级数为q2的等比级数，且|q|<1，故级数收敛.3Unn1，而limUn10,故级数发散.75n4. 利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1)cosnxk；3n13n23n解:(1)当P为偶数时,Un1Un2LU1np2np1np当P为奇数时,精品文档pn41n1n1n2Un1UnIn2丄|n1|丄n11

3、n11n13n因而，对于任何自然数Un1Un2P,都有1n>0,则当n>N时，对任何自然数P恒有Un1Un2成立，由柯西审敛原理知，级数n1收敛.n1n(2)对于任意自然数P,都有1n1Un2Lcosn1x2*111,7L2*12n2112*112p,11-211n12Unpcosn?n212*p212cosnpx2*p于是，£>0(0<£<1),?N=Iog21，当n>N时，对任意的自然数P都有UmUn2LUnp成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛.取卍门，则Un1Un2LUnp13n1113n11n6n1丄1211n123n13132n

4、1132n1132n2132n3从而取112,则对任意的都存在P=n所得Unp由柯西审敛原理知，原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1)1213221221321卫Ln2(5)解:(1)UnA收敛，由比较审敛法知1nUn收敛.11n1n1-Un廿尸n1发散，由比较审敛法知,1n原级数发散.nn13n.nsm飞3nllmnnnn匚收敛，故131sin3n也收敛.11：一3n2n2丄收敛，故1n2(5)当a>1时,丄收敛，故1a亠也收敛.11a当a=1时，limU1I21na0,级数发散.limn2.lim-n1综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<aw1时，原

5、级数发散.当0<a<1时，limUn10,级数发散.(6)由12X12n1limln2知lim-x0xX1nln21而1发散，由比较审敛法知1n112nn11发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)2n折;n133322122233323nn2n(1)n2n!nn1n解:(1)Ulimn2n13n1由比值审敛法知,级数收敛.精品文档01,limn3nlimnn1!3n1n!11113'3n所以原级数发散.limnlimn所以原级数发散.limnn123nn2n3n2n1lim2n2limn故原级数收敛.nn11n1nnnn2n!7.用根值判别法判别下列级数的敛散性

6、:(1)5n.n13n12nnn13n1nbr，其n1an解:(1)limn.U7n故原级数发散.limnUnlimnnn11lnn1lim旦n3n1ania(nix),an,b,a均为正数.精品文档11故原级数收敛.(3)limnU?limn甘nn3n1故原级数收敛.nban当b<a时，b<1,原级数收敛；当b>a时，->1,原级数发散;aa时，b=1，无法判定其敛散性.a8判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?nimnlimnan当b=a(1)1.12I-IL；111111113532533534n!；(6)解:(1)(5)4，级数是交错级数，且满足

7、17n1nn0，由莱布尼茨判别法级数收敛，又级数，所以Un发散，故原级数条件收敛.Unn11Inn111lnn1错级数，1Inn11,limInn2n1lnn1由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于UnInn1n1精品文档所以，Un发散，所以原级数条件收敛.n1Un53n民显然Unn153n什是收敛的等比级数，故Un|收敛，所以原级数绝对收敛.n1U22n1(4)因为limlim.nUnnn1故可得Un1Un，得HmUn0,二limUn0，原级数发散.n(5)当a>1时，由级数丄收敛得原级数绝对收敛.n1n当0<a<1时，交错级数n11n1丄满足条件：nn由莱布尼茨判别法知级数

8、收敛,但这时n1丄发散，所以n1n原级数条件收敛.当aw0时，limUn0，所以原级数发散.n(6)由于123l丄丄丄nnn而1发散，由此较审敛法知级数n1n111L1丄发散.n123nn记Un111L11，则23nnUnUn1121213131n1n1丄nn11nn1112n112n1Jnn1即UnU又limUnlim-1nn1n1dxn0x由lim1Tdxlim10xt1知limUn0,由莱布尼茨判别法,原级数n收敛,n而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1)：,x-3,3;nX,x0,1;1nsinnx,x(-o，+o)；(4)13nx鑫，|x|<5;

9、(5)cosnx,x(-OO+oo)_352inx解:3n汽,x-3,3而由比值审敛法可知3nn1!收敛所以原级数在卜上一致收敛.nx2n1T,x0,1,n丄收敛，所以原级数在0,1上一致收敛.insinnxI3n1壬,x(-8，+8),31是收敛的等比级数，所以原级数在（-8，+8）上一致收敛.i3因为nxen!5nen!x(-5,5),由比值审敛法可知5n收敛，故原级数在（-5,5）上一致收敛.n1n!(5)v1n3cosnx32.nx而2是收敛的P-级数，所以原级数在（-8，+8）上一致收敛.n1n310.若在区间I上，对任何自然数n.都有|U（x）|<Wx），则当Vnxn1在I上

10、一致收敛时，级数Unx在这区间I上也一致收敛.n1证：由Vnx在I上一致收敛知，？£>0,?N£）>0，使得当n>Nn1时，？xI有|V+1（x）+V+2（x）+V+p（x）|v£,于是，？£>0,?N（£）>0，使得当n>N时，？xl有|U+1（x）+U+2（x）+U+p（x）|wV+1（x）+V+2（x）+Vt+p（x）w|V+1（x）+V+2（x）+V+p（x）|v£,因此，级数Unx在区间I上处处收敛，由x的任意性和与x的无n1关性，可知UnX在I上一致收敛.11.求下列幕级数的收敛半径及收

11、敛域:(1)x+2x2+3x3+nxn+;(2)2n1nIX.n!n1nnX1.n22n；解：(1)因为limnan1anlimnn1，所以收敛半径R丄1收敛区间(3)n詁；为(-1,1)，而当X=±1时，级数变为1nn，由lim(1)nn0知级数xn(1)nn发散，所以级数的收敛域为n1(-1,1).因为limnan1anlimn1!nnn!limnn1limn所以收敛半径R丄e,收敛区间为(-e,e).当x=e时，级数变为nlimx0竿；应用洛必达法则求得1nan1故有limn1-nan21由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时,级数也发散，故收敛域为(-e,e).(3)级数

12、缺少偶次幕项.根据比值审敛法求收敛半径.Un1lim2nX12n1Un|n2n12n1Xlim2n1X2n2n12Xlimn所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故精品文档收敛半径R=1.当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由ni2n1ni2n11lim耳I10知，丄发散，从而亠也发散，故原级数的收n12ni2n1ni2n1n敛域为(-1,1).(4)令t=x-1则级数变为tn2n1n2nlimnan1anlimnn22nn122n1SXnx所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1<x-1<1即0<x<2

13、.当t=1时，级数”洼收敛，当t=-1时，级数1n出为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以，原级数收敛域为0<x<2,即0,212.利用幕级数的性质,求下列级数的和函数:(1)nxn2；n12n2xno2n1'解:(1)由limnn3n1xn2nxx知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时，nxn2的通项不趋于0,从而发散，故级数的收敛域为(-1,1).n1记Sxnxn2x3nxn1易知nxn1的收敛域为(-1,1),记n1n1n1n1精品文档则；S1x于是Sx3，所以Sxx2x11x1x(2)由limn2n4x2n3x22nnx2知，原级数当|X|&l

14、t;1时收敛，而当|x|=1时,数发散2n2x02n1故原级数的收敛域为(-1,1)2n1x°2n12n1x02n,易知级数2n1x°2n1收敛域为(-1,1)，记则S12nx011x2，1xdxIn2x,SxxS1xln故xS11x尹厂，5100，21x13.将下列函数展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间:(1)f(x)=ln(2+x)；2f(x)=cosX；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(5)fx总；_x2_Tx2；1 xx2 ee；(7)f(x)=excosx；(8)f解:(1)fxInIn2In1仝2由于Inn“厶,(-1<x<1)n1故I

15、n1n1旨,(-2<x<2)因此InIn2n11nJ,(-2<x<2)精品文档21cos2x(2)fxcosx22n由cosx1x,(-sVXV5)no2n!得cos2xn02x2n2nn2nn4x1甘2nxx211n所以211cos2xcosx-2211n1n2n4x(-OO<x<+s)22n02n!f(x)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由ln(-1<x<1)所以由于0nxn1nn_x_nnnnnn11nx1nn1n2x1n1n1xn(-1<x<1)x2x2_1_1x22n1!2n!(-12n1!x2n入2n!精品文档n0

16、n!2n1(-1<X<1)!2n(5)12X32X32n1nX_3n1(6)0n!x(-oo，+oo),x(-o，+o)所以fnn1Xn!n!(7)因为excosx为excosxisinxe1ix的实部,n!nX：2ncos-nisinn!44nnX2nnn-n!2n02nXcosisin44n0nn0n0n7t而e1iX0n!nX取上式的实部.Xecosxn22nncos一4nX(-<X<+o)精品文档(8)由于nxn1|X|<11Xn0而fx一丄飞，所以41X216x2n02n1nxn1n02(Ix|<2)14.将fxxb展开成(x+4)的幂级数.解:1

17、x23x2精品文档所以fx一x23x2nx4n1n03112*13“16x215.将函数fx展开成(x-1)的幕级数.1mx1!2!mn1nxn!3121x1!332?2!33312222n!(-1<x-1<1)16.丄2nn!31222!2nx3233!13L3L2nn!2n0x2利用函数的幕级数展开式，求下列各数的近似值:(1)ln3(误差不超过0.0001)；(2)cos20(误差不超过0.0001)解:(1)1xIn2x1x352L2Ll352n1-L,X(-1,1)2n1令1x1x3，可得x-21,1,精品文档1故In311In-11T232n1?2rn22n122n12

18、n12n122n322n32n122n12n322n3122n12n522n52n7t故cos2012n12n1222n122n12n232n1213112810.000120.00003.因而取n=6则112111.09862ncos20ncos-90n902!n904!n902n!L27C47C902!10410902!10.00060.999417.利用被积函数的幕级数展开式，求定积分0.5ar逊dx（误差不超过0.001）的近似值.0x精品文档352n1L,(-1<X<1)解：由于arctanxxx_L5nx1-2n1故0.50arctanx,dxx0.502x33x4L5

19、57xx1一2n0.52nx1Ldx而19因此130.0139,23°.5arctanxdx0x191251291戸1歹1925491125250.0013,18.判别下列级数的敛散性:(1)1n_nnIn014927114920.0002.0.4872nxcos3；In解:(1)n2n1n1n-nnnn1n2n2n而lim-n12n2nlimnn2n1n2故级数2n11n2发散,由比较审敛法知原级数发散.xncos一32n由比值审敛法知级数斗收敛，由比较审敛法知，原级数n122n收敛.精品文档2n11n-0lnn2lnn2nTn13n由lnimUuInn33nlim百n3lnn2l

20、nn3lnn21lim3n13知级数lnnn13n-收敛，由比较审敛法知，原级数19.证:Tlimn2Un存在，?M>0,使|n2U|<M若limn2Un存在，证明：级数Un收敛.nUn绝对收敛.120.证明，若2收敛，则土绝对收敛.n1n证:.Unn而由Un1收敛,2收敛，知1n122Unn121 2收敛，故|Un收敛,2 nn1丨n丨因而b绝对收敛.n1nancosnxbnsinnx21.若级数an与bn都绝对收敛，则函数项级数n1n1精品文档在R上一致收敛.证：Un(x)=ancosnx+bnsinnx,?xR有Unxancosnxbnsinnxancosnxbnsinnxa

21、nbn由于an与bn都绝对收敛，故级数n1n1an由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数cosnxbsinnx致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:(1)、3n1xn；xyn1n1.nn1sin7解:(1)an1anIlim込Lnn23n31limnlimn3n1nn2e1e3limn3n又当x寸时级数变为、3n1n1n3n3n>3n3因为limnn3333e丁03n3所以当x子，级数发散,故原级数的收敛半径R于，收敛域精品文档所以Fx120(-limnan1alimn.nsin厂2.nsinn2nlimn又limsinn2nn2n.nsin孑limnnn莎所以当(x+1)=士2时，

22、级数n1sinpx1n发散，从而原级数的收敛域为-2<x+1<2，即-3<x<1，即(-3,1)(3)limnan1anlimnn2n/n212j1二122二R2，收敛区间-2<x-1<2，即-1<x<3.当x=-1时，级数变为2，其绝对收敛，当x=3时，级数变为n丄，收敛.n1n因此原级数的收敛域为-1,323.将函数Fx解：由于arctant吐卫dt展开成x的幕级数.t2n1nt2nxarctantdt0旦dt2n1t2n-dt12n1x2n2n1(|X|<1)精品文档24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:n(1)1,x-3,+乂

23、);(2)3,x(2,+乂);1，x(-乂，+乂)；n1xnxn1解:(1)考虑n2时，当x>-3时，有x13n13n3由魏尔斯特拉斯判别法知，级数n1n在卜3,+-)上一致收敛.当x>2时,有Lin2nn1由lim疋1nn2歹1知级数n扌收敛'由魏尔斯特拉斯判别法知，级数斗在(2,+o)上一致收敛.n1x(3)?xR有nx2n2x2n12而2收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知,n1n级数1x2n22n2x(oo,+)上一致收敛.25.求下列级数的和函数:(1)2n1xo2n1'2n1_x2n1xn1；(1)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时，级数2n是收敛的

24、交错级数，故收敛域为-1,1n1x2nn11xxSlx2n1则S(0)=0,S12n211x2所以SXSOdxarctanxx即S(x)二arctan1x,所以S(x)=xarctanx,x-1,1.(2)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时，原级数发散.记xdx所以Sxx10r1.1In21dxxxx由limnn1anaxxe2nx01x1ln1x(|x|<1)limnnn1!1则QxSxdxS(0)=0收敛域(-OOxxe,所以1xex,(-s<x<+s)1.n1n2limn1nn11知收敛半径R=1,当x=1时，级数变为2知级数收敛，当x=-1时，级数变为1n

25、是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1则S(0)=0,xSxxn1xSxn1xn1所以xxSxdx0即xSxIn1In1dxx11xx0x0(X工1)xSxIn1xdx1In1xx即xSxxIn1Inx，又当x=1时，可求得S(1)=1(VIimSnlimn综上所述0,Sx1,In11,0U0,126.设f(x)是周期为2n的周期函数，它在(-n,n上的表达式为fx23nx0,x30xn试问f(x)的傅里叶级数在x=-n处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-n是它的间断点，在x=-n处，f(X)的傅里叶级数收敛于-nf-1n32丄2n22227.写出函数fx1nx0的傅里叶级数

26、的和函数.x0xn解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x),在间断点x=0,x=士n处，分别收敛于f0f01fnfnn21fnfnn1，综222，22，2上所述和函数.1 nx02 小xOxn28. 写出下列以2n为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在卜n，兀)上的表达式为:n0xn(1)fx4nnx0;4(2)fxx2nxn；nn,nx22nnx,x,22解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件,点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于x=nn，nz是其间断bn0，在x工nn,有1nfn-nxcosnxdx10n,1nni小cosnxdxc

27、osnxdx0nn4n04xsinnxdx7tsinnxdx4sinnxdx40,n2,4,6,L1,n1,3,5,L.n于是f(x)的傅里叶级数展开式为1 .sinn12n12n(XMnn)函数f(x)在(-s，+s)上连续，故其傅里叶级数在(-S，+S)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是bnxsinnxdx0,a。丄nx2dx一-n1nfxcosnxdxn-n0,2cosnxdx1n弓(n=1,2，)n所以，f(x)的傅里叶级数展开式为:2nfx3n11n¥cosnx(-s<x<s)n函数在x=(

28、2n+1)n(nz)处间断，在间断点处，级数收敛于0,当xm(2n+1)n时，由f(x)为奇函数，有an=0,(n二0,1,2,)bn2nfxsinnxdxn0n2xsinnxdxonsinnxdx221n2nn1-sinn1,2,Lnnn2所以n111-2.nn2sinsinnxnn2fxn1(xm(2n+1)n,nz)因为fxcos|作为以2n为周期的函数时处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,),14n21n0,1,2,L1nx2:ftx3ncoscosnxdxcos-cosnxdx冗-n27t0217t11cosnxcosnxdx冗02

29、2117tsinnxsinnx122冗11nn220所以f(x)的傅里叶级数展开式为:24_n1cosnxfx12nnn14n129. 将下列函数f(x)展开为傅里叶级数:(1)(2)fxsinx0x2n解：(1)ao1nfxcosnxdx1"n-dx-n-nnn4221an冗nnxn42cosnxdx141cosnxdxxcosnxdx-n2n-n17tsinnx00n1,2,L4n精品文档bn1nnnn41n1nx2sinnxdx-4n1nsinnxdxxsinnxdx-n2n-n故1nfxnsinnx1-(-n<x<n)4n1n所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此

30、其傅里叶级数在0,2n上收敛于f(X)，注意到f(X)为偶函数，有bn=0,a0n7txcosOxdx2nn0nsinxdxnsinxdx2nfxcosnxdxn0nsinxcosnxdxnsin1xsinn1xdx0,4nn21n1,3,5丄n2,4,6,L8所以4cos2nx(0<x<2n)1n1n4n230. 设f(x)=x+1(0<x<n)，试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级解:bn将f(x)作奇延拓，则有an=0(n=0,1,2，)n2nfxsinnxdxx1sinnxdx00n2 111n从而fx21nsinnx(0<x<n)Ttn1若将f(

31、x)作偶延拓,则有bn=0(n=1,2,)anao2nfxcosnxdxn00,4n1n1cosnxdx2,4,6L1,3,5,Ldxdx从而fcos1xJ(0<x<n)2n12n31.将f(x)=2+|x|(-1<x<1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并n由此求级数4,的和.n1n解:f(x)在(-g，+g)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,)a。xdx2xdx5anxcosnxckcosnxdx0,2,4,6L1,3,5,L所以42ncos2n2n1n_2，x-1,1取x=0得，2n12n1n212n112n12n14n12

32、1n精品文档所以-12n1n632.将函数f(x)=x-1(0<x<2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-o，+o)上连续，则有bn=0(n=1,2,3,)ao-2fxdx222x1dx00nn,cosdx21 n|anfxcosdx2 22£1n1nn0,n2,4,6丄822,n1,3,5,Lannn解：先对f(x)作偶延拓到-1,1,再以2为周期延拓到(-o，+o)将1x,0x-,2sxa0ancosnn<,-o<x<+o,其中12n122x,x1,281T2nn12n12n1ncos233.设fxxcosnTixdx，求s52f(x)展开成余弦级数而得到s(x)，延拓后f(x)在x1处间断所以3-45-2f1-2.1-21-25-2Sbnsinnn,-00<x<+，其中34. 设函数f(x)=x(O<x<1)，而sx精品文档1bnF1xsinnn<dx(n=1,2,3，)，求s.2解：先对f(x)作奇延拓到，卜1,1，再以2为周期延拓到(-乂，+乂),并将f(x)展开成正弦级数得到s(x)，延拓后f(x)在x-处连续，2故.1,35. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一