1.2微分中值定理赵树嫄ppt课件

1、中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 ( (第三节第三节) )推广推广一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 第三章 问题的提出 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函态，但在理论研究和实际应用中，

2、常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。费马引理费马引理一、罗尔定理

3、一、罗尔定理,有定义在)(0 xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: : 设设, )()(, )(0000 xfxxfxUxx那么)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕几何解释几何解释: :.0于水平位置的那一点动时，就必然经过位，当切线沿曲线连续滑为率显然有水平切线，其斜曲线在最高点和最低点导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点、临界点)ab1 2 xyo)(xfy CAB罗尔定理罗尔定理)(xfy 满足:(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区

4、间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 证证: :，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .假设 M = m , 那么, ,)(baxMxf因而.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点假设 M m , 那么 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxx

5、fx1yo1x1yo使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: :设设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(例例1. 证明方程证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1的正实根 .证证: 1) : 1) 存在性存在性 . .那么)(xf

6、在 0 , 1 连续 , 且由零点定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,.0)(f使但矛盾,故假设不真!设二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在闭区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: : 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数数作辅助函数

7、显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: : 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕证毕几何解释几何解释:在曲线弧在曲线弧AB上至少有一点上至少有一点,在该点处的在该点处的 切线平行于弦切线平行于弦AB拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论: : 若函数在区间 I 上满足,0)( xf那么)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: :在在 I I 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,

8、21xx格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令那么例例2. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: :设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证: :),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经历经历: :欲证Ix时,)

9、(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例3.3.证明不等式证明不等式证证: : 设设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日,0)(xtf在则中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有三、柯西中值定理三、柯西中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析: :)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()(

10、)()()()(FfaFbFafbf满足:)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx证证: :作辅助函数作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa内可导,在,上连续在则),(,)(babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf考虑考虑: : 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个 不一

11、定相同错错! !上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义: :)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率)0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4.4.设设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF内可导,在,上连续在) 1 ,0( 1 ,0)(xf至少存在一点),1,0(使证证: : 结论可变形为结论可变形为设那么)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少

12、存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证证: : 法法1 1 用柯西中值定理用柯西中值定理. .xxFxxfln)(,lnsin)(那么 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因而 11lncoslncos1sin即分析分析: :例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 令令xxf

13、lnsin)(那么 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理4412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件,则

14、中值._2) 设有个根,它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程2. 设设,0)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: : 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(3. 假假设设)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: : 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )

15、(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.4. 考虑考虑:在在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,00 x时. 0cos1问是否可由此得出问是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能! !因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数 )(111nnf作业作业P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示提示: :xexfx)()(题15. )(nxxf)0(f 0)0(f0题14. 考虑费马费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:”“无整数解方程时,当nnnzyxn 2至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方