1.2无穷级数和微分方程备考年一级注册结构工程师基础考试ppt课件

1、 1.4 无穷级数无穷级数1.4.1 数项级数1.4.2 幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3 傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数数项级数给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和。1.数项级数定义数项级数定义2.基本性质基本性质 ,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性质性质1. 若级数若级数1n

2、nu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,即其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为.S说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 那么)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质性质3.,1nnuS在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级

3、数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5：设收敛级数：设收敛级数则必有.0limnnu可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .等比级数时当1qpppn131211 (又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ). 级数收敛 ,;1 qa,1时当q级数发散 .其和为3. 几个重要级数的收敛性几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数 p 0)p -级数发散。收敛，当11pp*例例1.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:.,21211收收敛敛的的等等比比级级数数是是 qnn)3121()3121()3121()3121(3322n

4、n解解:该级数是下列两级数之差该级数是下列两级数之差故原级数收敛.,31311收敛收敛的等比级数的等比级数是是 qnn (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱级数1nnu则强级数1nnv则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),4.审敛法审敛法正项级数：的敛散性。判别级数例1) 1(12nnn (比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l =

5、,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,的敛散性. n1例例3. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n21n2n211lnn221)11ln(nnnlim比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu那么(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 . 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu为正项,limnnnu;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 级数, 且那么时上述定

6、理失效。注：1nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此级数12nnen收敛. 412的敛散性判别级数例nnen解解:交错级数交错级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 。,2, 1,0nun设绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu假设若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级1nnu收敛 ,1nnu数1nnu绝对收敛

7、 ；则称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .例例5. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :证证: ,1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因而14sinnnn绝对收敛 .判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1比值审敛法根值审敛法）2比较审敛法或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛ox发 散发 散收 敛收敛 发散 1.Abel定理定理 若幂级数0

8、nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式1.4.2 幂级数幂级数*例例6.已知幂级数已知幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在3x处绝对收敛，故在1x绝对收敛。例例7. 知知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 假设0nnnxa0nnnx

9、a的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,那么 的收敛半径为1limnnnaaR2.求收敛半径求收敛半径对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例例8.8.求幂级数求幂级数 limn 3.求函数的幂级数展开式求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)

10、x11nxxx321) 1 , 1(xe! 212nxxxn),(xsin)!12() 1(! 5! 3121253nxxxxnn),( )1ln(x1) 1(32132nxxxxnn 1 , 1(1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3 傅立叶级数的有关问题傅立叶级数的有关问题例例9.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(3)将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11的值。求)(),23(),2(),0() 1 (SSSS.)2(3b求解解:1)23(, 1)2(),()(,) 1 (SSxfxSkx

11、当0)()0(, 02) 1(1)(,SSxSkx当(3) 先求傅里叶系数先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0nxxxfbd3sin)(1)2(300d3sin11d3sin) 1(1xxxx34xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx1.5 微分方程微分方程1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1.

12、5.2 解微分方程解微分方程1.5.3 微分方程应用微分方程应用1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念,)(2xyyyx一阶微分方程yxyx 2)1(2二阶微分方程1. 判定微分方程的阶2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解例例1. 验证函数验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解.解解: : 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2tkCtkCxsincos21是方程的解 .),(21为常数CCt kkCcos2102xk1.5.2 解微分方程解微分方程1. 一阶微分方程可分离变量，一阶线性2. 高阶微分方程二阶线性

13、常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例例2. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得Cxylnln3即3xeCy ( C 为任意常数 )因此可能增、减解.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解* *例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：例例4. 曲线族曲线族cxy22所满足的一阶微分方程是_.解解: 对对cxy22两边求导，得

14、cyy22代入上式，得将xyc22xyyy2222yyxy即为所求一阶微分方程),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解例例5.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例6. 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此

15、原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C*例例7.052 yyy求方程的通解. 解解: 特征方程特征方程, 0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解为)2sin2cos(43xCxCeyx例例8.32线性方程数齐次为一个特解的二阶常系写出以xxey 解：因xxey23是一个特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程为：0440)2(22rrr所对应微分方程为044 yyy(2) 假设 是特征方程的单根 特解形式为xmexQxy)(*(3) 假设 是特征方程的重根 特解形式为xmexQxy)(*2(1) 假设 不是特征方程的根特

16、解形式为. )(*xQeymx式时，非齐次方程特解形)()(xPexfmx1332 xyyy写出方程的特解形式.解解: 此题此题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .特解形式为,*10bxby0,0例例9.xexyyy265 写出方程例例10.的特解形式.解解: 此题此题,2而特征方程为,0652 rr3, 221rr其根为特解形式为xebxbxy210)(*1.5.3 微分方程应用微分方程应用1. 利用导数几何意义列方程2. 利用导数物理意义列方程3. 利用牛顿第二定律求所满足的微分方程 .*例例11. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyox解解: 如下图如下图, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02