高中数学难点解析教案27求空间的角

1、高中数学难点解析难点27求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想难点磁场()如图，al3为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在I上，Ma,N3，且MP与3所成的角等于NP与a所成的角(1) 求证：MN分别与a、3所成角相等；求MN与3所成角案例探究例1在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，E、F分别是BC、A'D'的中占I八、(1)求证：四边形求直线A'C与DE所成的角;求直线AD与平面B'EDF所成的角;

2、求面B'EDF与面ABCD所成的角命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强,属级题目知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角错解分析：对于第问，若仅由B'E=ED=DF=FB'就断定B'EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B'、E、D、F四点共面技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法<5(1) 证明：如上图所示，由勾股定理，得B'E=ED=DF=FB'=a,下证B'、E、D

3、、F四点共面，取AD中点G,连结A'G、EG,由EG'AB'A'B'知，B'EGA'是平行四边形B'E/A'G,又A'FDG,aA'GDF为平行四边形AG/FD,B'、E、D、F四点共面故四边形B'EDF是菱形.解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP/DE，交直线AD于P,则/A'CP(或补角)为异面直线A'C与DE所成的角.仁A'CP中，易得A'C=-3a，CP=DE=a，A'P=a由余弦定理得cosA'CP115故A'C与DE所

4、成角为arccos515(3)解：/所示.:ADE=/ADF,AD在平面B'EDF内的射影在/EDF的平分线上如下图又B'EDF为菱形，DB'为/EDF的平分线,故直线AD与平面B'EDF所成的角为/ADB'在RtB'AD中，AD=、2a,AB'=.2a,B'D=.2a则cosADB故AD与平面B'EDF所成的角是<3arccos3'解：如图，连结EF、B'D，交于O点，显然O为B'D的中点，从而O为正方形ABCDA'B'C'D的中心.作OH丄平面ABCD，贝UH为正方

5、形ABCD的中心,再作HM丄DE，垂足为M,连结0M，贝UOM丄DE,故/OMH为二面角B'DEA的平面角.OE=-2a,OD=-a,斜边DE=a,222ODOE、30OM=aDE10OH'30sinOMH=OM6故面B'EDF与面ABCD所成的角为arcsln一306'例2如下图，已知平行六面体ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA!长为b,且AA!与AB、AD的夹角都是120°.在RtDOE中,则由面积关系得在RtOHM中,求：(1)AC1的长；直线BD1与AC所成的角的余弦值命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体

6、几何问题，属级题目.知识依托：向量的加、减及向量的数量积错解分析：注意vAA,AB>=vAA1,AD>=120°而不是60°,<AB,AD>=90技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：(1)|AC；|2二AGAC；二(AA1AC)(AAAC)=(AA1ABAD)(aA1ABAD)=|Aa1|2|AB|2|AD|22AA1AB2AA,AD2ABAD由已知得：|AA1|2=b2,|AB|2=|ADfra2:AA,AB=：AA1,A120，:AB,AD卞=90h1hh1h.AA1AB=bacos120ab,AA,AD=bacos120ab,

7、ABAD=0,2 12.|AC1|2-2a2b2-2ab,|AC1-：?2a2-b2-2ab.y(2)依题意得,|AC|=-2a,AC=ABAD=ADBA二AA1AD-.ACBD1=(ABAD)(AAAD-AB)二ABAA)ADAA1ABADAD2-AB2-ABAD二-abIBD1I2二BD1BD1=(AAAD_AB)(AAAD_AB)=|AA1|2|AD|2|AB|22AA1AD-2ABAD-2秋AB=2a2b2cos:BD1,AC-：BD1AC|B|AC|_b.4a22b2BDi与AC所成角的余弦值为b4a22b2锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1异面直线所成的角范围：0

8、6;v90°方法：平移法；补形法2直线与平面所成的角范围：0°<0<90°方法：关键是作垂线，找射影3二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法注：二面角的计算也可利用射影面积公式S'=Scos0来计算歼灭难点训练一、选择题jiD.2AB=BC=BD=a,/CBA=%)在正方体ABCDAiBiCiDi中，M为DDi的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱AiBi上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A-631B._4?()设厶ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且/CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()A.30

9、°B.45°C.60°D.75、填空题3.&H)已知/AOB=90°，过O点引/AOB所在平面的斜线OC,与OA、OB分别成45°、60°,则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于.(*)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为三、解答题5. (*)已知四边形ABCD为直角梯形，AD/BC,ZABC=90°,PA丄平面AC,且PA=AD=AB=i,BC=2(i)求PC的长;(2) 求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小;求证：二面角BPCD为直二面角6. (*)设厶A

10、BC和厶DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，/ABC=/DBC=120°求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；异面直线AD与BC所成的角；(3) 二面角ABDC的大小.?()一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD丄平面ACD;求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小.&.()设D是厶ABC的BC边上一点，把厶ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C'在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1) 求证：直线C'D与平面ABD和平面AHC'所成的两个角之和不可能超过90°

11、;(2) 若/BAC=90°,二面角CADH为60°，求/BAD的正切值.参考答案难点磁场(1) 证明：作NA丄a于A,MB丄B于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC丄I于C,BD丄I于D，连接NC、MD./NA丄a,MB丄B,/MPB、/NPA分别是MP与B所成角及NP与a所成角，/MNB,/NMA分别是MN与B,a所成角，/MPB=ZNPA.在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，/MPB=ZNPA,.AMPBNPA,.MB=NA.在RtMNB与RtNMA中，MB=NA,MN是公共边，MNBNMA,MNB=/NMA，即(1)结论成立.(2) 解：设/MNB=0,MN

12、=、2a,则PB=PN=a,MB=NA=、2asin0,NB=，2acosB,vMB丄B,BD丄l,.MD丄l,./MDB是二面角alB的平面角，/MDB=60°，同理/NCA=60°,<3V6MB2BD=AC=MBasin0,CN=DM=6asin0,3 36sin603/MB丄B,MP丄PN,BP丄PNBDPBPN即*-CN2二DBJBN2_a2a2_（2：asin）2.6sinv22-a3.G2acos"pc/BPN=90°，/DPB=ZCNP,aBPDPNC,aLc整理得，i6sin40i6sin20+3=0解得sin20=丄或3,sin0

13、=-或3，当4422合理，舍去.i-sin0=2，二MN与B所成角为30°.歼灭难点训练一、i.解析：(特殊位置法)将P点取为答案：B二、3.解析:交OB于B,AC=1,OA=42,BC=43,OB=2,RtAOB中，AB2=6,ABC中，由余弦定理，得cosACB=-33sin0=二3时，CN=d，r6asin0=<2a>PN不23Ai,作OE丄AD于E,连结AiE,则AiE为OAi的射影，又AM丄AiE,aAM丄OAi,即卩AM与OP成90°角.答案：D2.解析：作AO丄CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,：/ADO=4

14、5°.2在OC上取一点C,使0C=1，过C分别作CA±OC交OA于A,CB丄OC答案：-4.解析：设一个侧面面积为Si,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为由题设得S答案：60°三、5.(1)解:S1二，设侧面与底面所成二面角为0，则COS0=33Si因为RA丄平面AC，AB丄BC,.PB丄BC,即/PBC=90°,由勾股定理得PB=PA2AB22.解：如图，过点C作CE/BD交AD的延长线于E,连结PE，则PC与BD所成的角为/PCE或它的补角./CE=BD=,2，且PE=.PA2AE2二.10由余弦定理得cosPCE=-PC琴奥AH中，HR=

15、a,.tanARH=2HR故二面角ABDC大小为narctan2.7. (1)证明：取BC中点E,连结AE,vAB=AC,AE丄BC2PCCE673PC与BD所成角的余弦值为.6(3) 证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，贝UGF/BC/AD，且1GF=丄BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，2又AD丄平面PAB,.AD丄AG，即卩ADFG为矩形，DF丄FG.在厶PCD中，PD=、2,CD=2,F为BC中点，DF丄PC从而DF丄平面PBC，故平面PDC丄平面PBC，即二面角BPCD为直二面角.6解：如图，在平面ABC内，过A作AH丄BC,垂足为H，贝UAH丄平面

16、DBC,/ADH即为直线AD与平面BCD所成的角由题设知AHBAHD，贝UDH丄BH,AH=DH,/ADH=45°(2)/BC丄DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BC丄AD，故AD与BC所成的角为90°.过H作HR丄BD，垂足为R,连结AR,则由三垂线定理知，AR丄BD，故/ARH为J3a二面角ABDC的平面角的补角设BC=a,则由题设知，AH=DH=a,BH，在HDB22平面ABC丄平面BCD,AE丄平面BCD,/BC丄CD，由三垂线定理知AB丄CD.又AB丄AC,.AB丄平面BCD,vAB二平面ABD.平面ABD丄平面ACD.解：在面BCD内，过D作DF/BC,过

17、E作EF丄DF，交DF于F，由三垂线定理知AF丄DF，/ADF为AD与BC所成的角J2$设AB=m，贝UBC=.2m,CE=DF=2m,CD=EF=6m23.tanADFAF.AE2EF2一Df"rctan卫2即AD与BC所成的角为arctan2!3解：vAE丄面BCD，过E作EG丄BD于G,连结AG,由三垂线定理知AG丄BD,/AGE为二面角ABDC的平面角vZEBG=30V2AE又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.2GE即二面角ABDC的大小为arctan2.8. (1)证明：连结DH,vC'H丄平面ABD,/CDH为C'D与平面ABD所成的角且平面C'HA丄平面