例1设随机变量X概率密度为ppt课件

1、例例1 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为3,0,( )0,0.xkexf xx 试求试求: (1)常数常数k ; (2) X的分布函数的分布函数; (3)0.1.P X 例例2 知延续型随机变量知延续型随机变量X的分布函数为的分布函数为0,0,( ), 01,1,1.xxF xabexx 试求试求:(1)常数常数a , b ; 13(2);22PX (3) X的概率密度的概率密度.例例3 知某型号电子管的运用寿命知某型号电子管的运用寿命 X 为延续型为延续型r.v., 其概其概率密度为率密度为2,1000( )0,cxxf x 其其它它. .(1) 求常数求常数 c; (3) 知

2、一设备装有知一设备装有3个这样的电子管个这样的电子管, 每个电子管能否正每个电子管能否正常任务相互独立常任务相互独立, 求在运用的最初求在运用的最初1500小时只需一个损小时只需一个损坏的概率坏的概率.1700 15002000;P XX (2) 计算计算1. 均匀分布均匀分布1,()0,axbfxba 其其 它它假设随机变量假设随机变量X具有概率密度函数具有概率密度函数 那么称那么称X在在(a, b)上服从均匀分布，记作上服从均匀分布，记作XU(a, b).二、几个常用的延续型随机变量的分布二、几个常用的延续型随机变量的分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形0,( ),1,

3、.xaxaF xaxbbaxb X的分布函数为的分布函数为 xo)(xF a b 1对恣意长度为对恣意长度为l的子区间的子区间(c, c+l), a c 0为常数为常数, 那么称那么称X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,记记作作X E ()或或e().2. 指数分布指数分布1,0,( )0,0.xexF xx 其分布函数为其分布函数为 指数分布的另一种表示方式指数分布的另一种表示方式 1,0,()0,0.xexXfxx 那么称那么称X服从参数为服从参数为0的指数分布的指数分布. 其分布函数为其分布函数为1,0,()0,0.xexF xx 1xF( x)0 xf ( x)0 指数分布通常

4、用于描画对某一事件发生的等待时间指数分布通常用于描画对某一事件发生的等待时间, 例如例如: 乘客在公共汽车站的候车时间、乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备某些元件或设备的运用寿命的运用寿命(等待用坏的时间等待用坏的时间) 、交换台收到两次呼叫之、交换台收到两次呼叫之间的时间间隔等间的时间间隔等.运用背景运用背景:例例6 电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布，即的指数分布，即(1)求该电子元件寿命超越求该电子元件寿命超越2年的概率；年的概率；(2)知该电子元件已运用了知该电子元件已运用了1.5年，求它还能运用年，求它还能运用2年的年的概率为多少？概率为

5、多少？33,0,( )0,0.xexf xx 故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻的分布永远年轻的分布.假设假设 X E(), 那么那么.P Xst XsP Xt 指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性现实上现实上,P Xs t XsP Xs tP Xs t XsP XsP Xs ()1 1().11( )s ttsP X s tF s teeP X tP X sF se 【注】指数分布通常用于描画对某一事件发生的等待时【注】指数分布通常用于描画对某一事件发生的等待时间间, 而在离散型分布中而在离散型分布中, 几何分布用于描画事件几何分布用于描画事件A发生发生(实实验胜利验胜利)所进

6、展的实验次数所进展的实验次数, 假设将每次实验视为阅历一假设将每次实验视为阅历一个单位时间个单位时间(离散时间离散时间), 那么直到实验胜利为止那么直到实验胜利为止, 实验总实验总次数相当于直到实验胜利所等待的时间次数相当于直到实验胜利所等待的时间. 在此意义上在此意义上, 指指数分布可视为离散情形下的几何分布在延续情形下的推数分布可视为离散情形下的几何分布在延续情形下的推行行.指数分布与几何分布都具有指数分布与几何分布都具有“无记忆性无记忆性延续型延续型离散型离散型3. 正态分布正态分布 (亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布)记作记作 X N ( , 2 ).假设假设 X 的概率密度为的

7、概率密度为22()21( )2xf xex 那么称那么称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的正态分布的正态分布. , 为实常数为实常数, 且且0, 正态分布是实际中运用最为广泛，在实际上研讨最正态分布是实际中运用最为广泛，在实际上研讨最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的位置多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的位置.(1)( )0;(2)( )1.f xf x dx 2xy （ ）的的证证明明思思路路： 令令 ，22()21( )2xf x dxedx 222yedy ( )1f x dx 正态概率密度的合理性正态概率密度的合理性202yedy 2202yyedyedy 2212

8、yedy 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称对称的钟形曲线的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右对称对称, ,由此特点知正态分布描画随机变量由此特点知正态分布描画随机变量取值中间概率大取值中间概率大, ,两头概率很小的随机景象两头概率很小的随机景象. . 正态分布正态分布 图形特点图形特点2( ,)N 22()21( )2xf xex 运用背景运用背景(可用正态分布描画的实例极多可用正态分布描画的实例极多)各种丈量的误差；各种丈量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量

9、；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成果；学生的考试成果；假设假设 r.v. X 受大量相互独立的随机要素影响受大量相互独立的随机要素影响; 每一要素的影响都是微小的每一要素的影响都是微小的, 无主导要素无主导要素; 且这些正、负影响可以叠加且这些正、负影响可以叠加,那么以为随机变量那么以为随机变量X 服从正态分布服从正态分布 另一方面另一方面, 有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布. 所以所以, 无论在实际中无论在实际中, 还是在理还是在理论上论上, 正

10、态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf 位置参数位置参数.思索 ?P X = -= -2 2.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大

11、大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xf 外形参数外形参数. ( 大小与曲线峻峭程度成反比大小与曲线峻峭程度成反比)1max( )( )2x Rf xf 正态分布的分布函数正态分布的分布函数22()21( )ed2txF xt 问题问题 正态分布下的概率计算问题如何处理正态分布下的概率计算问题如何处理? ?此时,原函数不是初等函数!).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 规范正态分布的概率密度表示为规范正态分

12、布的概率密度表示为221)e,2(xxx 规范正态分布规范正态分布规范正态分布的分布函数表示为规范正态分布的分布函数表示为221ed.2( ),txxtx 【注】规范正态分布的密度函数为偶函数【注】规范正态分布的密度函数为偶函数. .规范正态分布的图形规范正态分布的图形【几个常用结论】【几个常用结论】(1)()1( ).xx 对于规范正态分布的分布函数对于规范正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有规范的函数值，书后附有规范正态分布表正态分布表(教材教材P439). 表中表中只给出了只给出了x0的函数值的函数值.当当x0时，可利用时，可利用(x)=1(x)计算计算得到得到.xxxxde21)

13、(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 证明证明2(0)0.5（）3|2 ( )1PXaa （）4( )( )().xxx （）是是偶偶函函数数， 经过线性变换将普通正态分布转化为规范正态分布经过线性变换将普通正态分布转化为规范正态分布. 此引理处理了普通正态分布的概率计算问题此引理处理了普通正态分布的概率计算问题.).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引引理理).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引引理理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ xZP xXPxXP ,de21222)( xtt得得令令,ut xZP xuude2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故22(1,4),02.08;(2)( ,),50.045,30.618,3(0,1),0.01,.XNPXXNP XP XXNP Xaa ( (1 1) )设设随随机机变变量量求求设设随随机机变变量量且且试试求求；（ ）设设随随机机变变量量 7 7且且求求例例例例8 3 原理原理设设 X N ( , 2), 求求| 3 P X 解解| 3 33 PXPX 33 231 2 0.99871 0.9974 【结论】【结论】 一次实验中一次实验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.