10-1第一类曲线积分ppt课件

1、曲线积分与曲面积分 积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第一类曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分第一类曲线积分第一类曲线积分第一节第一节 第十章第十章 一、第一类曲线积分的概念与性质一、第一类曲线积分的概念与性质二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算设函数设函数 f (x, y) f (x, y) 在在 xOy xOy 面内的分段光滑曲线面内的分段光

2、滑曲线弧弧 L L的的长长度度为为个个小小弧弧段段记记第第iinAAiAAA110., iiiiiiiisfMAA ),(),(1作乘积作乘积上任取一点上任取一点的取法无关，的取法无关，的分法及点的分法及点iML 2. 定义 10.1上有界上有界. . 将将 L L 任意分成任意分成 n n 个小弧段，设分点为个小弧段，设分点为在在小小弧弧段段记记）（.max, 2 , 11iniisnis niiiisfni1.),(, 2 , 1并并作作黎黎曼曼和和）（即即极极限限值值与与曲曲线线若若此此和和的的极极限限总总存存在在，令令0一、第一类曲线积分的概念与性一、第一类曲线积分的概念与性质质则称该

3、极限值为函数则称该极限值为函数 f (x, y)f (x, y)在曲线在曲线L L上的第上的第一类一类 niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式弧微分弧微分被积表达式被积表达式曲线积分或对弧长的曲线积分，记作曲线积分或对弧长的曲线积分，记作注注 1 当函数当函数 f (x, y)在曲线在曲线L上连续时上连续时, 曲线积分曲线积分 Lsyxfd),(存在存在(充分条件充分条件).上上的的表表示示立立于于当当Lyxf),(),(yx柱面在点柱面在点,处的高时处的高时.d),( LsyxfS柱柱面面面面积积时，时，当当1),( yxf;d L

4、sL弧长弧长3 4 的的区区别别：与与 DLyxfsyxf d),(d),(LyxsyxfL ),(:d),(点点.不不独独立立与与 yx:d),( Dyxf Dyx ),(点点.彼彼此此独独立立与与内内，在在yxDxyOL(x, y)(x, y)7 1 若积分弧段为空间曲线弧若积分弧段为空间曲线弧 niiiiisfszyxf10),(limd),(3 如果如果L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),( Lsyxf推广推广, ,则函数则函数f ( x, y, z )在曲线弧在曲线弧上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为考虑：考虑： 定积分定积分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分但定积分

5、中但定积分中dx 可能为负可能为负.否！否！ baxxfd)(是否可看作对弧长曲线积分的特例是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? xO baab要求要求 ds 0, Lsyxfd),( LLsyxfsyxfd),(|d),(|特特别别的的有有 LLsyxgsyxfd),(d),( 21d),(d),(d),(LLLsyxfsyxfsyxf LLLsyxgsyxfsyxgyxfd),(d),(d),(),(组成组成和和由由21LLL1R ，),(),(yxgyxfL 上上在在3. 性质性质1 线性性质：线性性质：2 可加性：可加性：3 保序性：保序性： Ltttttfsyxfd)()()(, )(

6、d),(22基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理10.1),(yxf设设且且)()(tty 上的连续函数上的连续函数,是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL ,d),(存存在在 Lsyxf求曲线积分求曲线积分二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算1. 直接法直接法tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt ,1kkktt 点点将曲线将曲线L 任意分成任意分成 n 份，设各分点对应参数为份，设各分点对应参数为kt, ,1kkktt ),(kk对应参数为对应参数为 ),1 ,0(nk 证证根据定义根据定义 kknkksf

7、 ),(lim10 Lsyxfd),( Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 因而因而 nk10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf连连续续注注意意)()(22tt 那么那么 nk10limkkkt )()(22 )(, )(kkf注注xdydsdxyo, 0, 0 kkts因此积分限必须满足下限小于上限：因此积分限必须满足下限小于上限：! 2 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 1 那么那么2 如果如果L为极坐标形式为极坐标形式),()( 那那么么 L

8、syxfd),( )sin)(,cos)(f d)()(22 Lsyxfd),(xxd)(12 baxxf) )(,(),()(bxaxy 1 如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为推广推广 3 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx szyxfd),(则则ttttd)()()(222 tttf)(),(, )(,d Lsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 点点O (0,0)与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)

9、155(121 上点上点1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例1 计算计算 计算曲线积分 ,d)(222 szyx其中其中为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解 szyxd)(222tktatat ktatadcossin)()sin()cos(2222220222 ttkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka )20(,sin,cos ttkztaytax线线例例32. 利用对称性利用对称性上上连连续续，在在曲曲线线设设Lyxf),(轴轴对对称称性性)1( ),(),(,d),(2),(),(, 0d),(1yxfyxfsyxfyxfyxfsyx

10、fLL.0:1的的部部分分在在 yLL.论论轴轴对对称称时时，有有类类似似的的结结关关于于当当yL轴轴对对称称，则则关关于于若若xL轮轮换换对对称称性性)2(进进行行交交换换，与与的的方方程程中中，将将若若在在曲曲线线yxL的的方方程程不不变变，则则L LLsxyfsyxfd),(d),(例例4).0()()(,d222222 ayxayxLsxL常常数数为为双双纽纽线线：其其中中计计算算解解的的极极坐坐标标方方程程为为：L 2cos22a sd1 求求,2sin2)()(22 a )(2sin)(2 a d)()(d22 s d)()2sin()(224a xyO4 da)(2 由由轴轴对对

11、称称性性，2),(),(yxfxyxfxL 轴轴对对称称，关关于于),(),(yxfxyxfyL 轴轴对对称称，关关于于sxsxLLd4d1 ):(1在在第第一一象象限限部部分分LLsxLd41 d)(cos)(4240a 222a xyO4 . 0,d22222zyxazyxsxI为为圆圆周周其其中中求求由轮换对称性由轮换对称性, , 知知.ddd222 szsysx szyxId)(31222故故 sad32解解例例5将圆周表示成参数将圆周表示成参数方程的形式比较困方程的形式比较困难，由表达形式的难，由表达形式的对称性可利用对称对称性可利用对称性计算性计算点点(x, y, z)的坐标满足曲

12、线的方程的坐标满足曲线的方程323a ),d2(球球面面大大圆圆周周长长 saaxyx222 求圆柱面求圆柱面22224azyx 被被球球面面.A所截部分面积所截部分面积解解 曲面对称于曲面对称于面，面，xoy截取的柱面面积截取的柱面面积A是第一卦限是第一卦限部分面积部分面积倍。倍。的的41A圆柱面的准线圆柱面的准线L的参数方程：的参数方程：,sin),cos1(taytax .dd,0tast LszAd1 Lsyxad4222ttad)cos1(202 .4d2sin2202atta 柱面面积柱面面积.16421aAA 1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2

13、. 性质性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( d),(),()1(szyxgzyxf 21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf szyxfd),( szyxgd),(内容小结内容小结3. 计算计算 对参数方程形式, )( , )(, )(:ttytxL Lsyxfd),( 对显函数形式, )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,(),()(: L Lsyxfd),( )sin)(,cos)(f 对极坐标形式tttd)()(22 xxd)(12 d)()(22 ttf)(),( 1.例例5中中 改为改为 0)1()1(2222z

14、yxazyx如何计算如何计算?d2sx 解解 令令 11zZyYxX 0 :2222ZYXaZYX, 那那么么思考题思考题sx d2 sXd)1(2 sX d2 sX d2 sd , 0d)( sZYX sZsYsXddd0d sXaa2323 .d)432(,1342222 LsyxxyayxL求求，其其周周长长为为是是椭椭圆圆设设故故时时当当,1243),(22 yxLyx Lsyxxyd)43222（ LLssxyd12d2 Lsxyd)122().(12对称性对称性a 解解例例1-2备用题备用题 其其中中计计算算,d222szyxL 解解),1 , 2 , 1( sL的的方方向向向向量

15、量直直线线 tzttytxL210211的的参参数数方方程程：故故tzyxsdd222 ttd6d121222 ttttszyxLd62211d10222222 tttd6266102 69 例例3-1 .312211的的直直线线段段，到到点点，是是点点 L例例5-2. 3, 4,d2222 zzyxLsxL为为圆圆周周：计计算算解解关于关于，且，且为圆周：为圆周：因为因为LzyxL3, 122 有轮换对称性，有轮换对称性，yx, Lsx d2,2 又知圆周长为又知圆周长为.221d2 Lsx，即即2d Ls Lsyxd2122）（.d21 Ls.dd22 LLsysx例例6-120),cos1 (),sin( ttayttax求求柱柱面面。截截取取部部分分的的面面积积及及平平面面被被马马鞍鞍面面Azxyz0 解解 柱面的准线柱面的准线L L的参数方程是：的参数方程是：20),cos1 (),sin( ttayttaxttytxsdddddd22 ttad2sin2 szALd 面面积积sxy