高等数学上册知识点

1、高等数学上册第一章函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在 x0 连续lim f ( x) f ( x0 )x x0第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二） 极限1、定义1）数列极限2）函数极限左极限： f ( x0 ) lim

2、f ( x)右极限： f ( x0 ) lim f ( x)x x0x x02、极限存在准则1）夹逼准则：1） ynxnzn ( n n0 )2） lim ynlim znalim xnannn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量1）定义：若 lim0 则称为无穷小量； 若 lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1o() ;Th2, , lim存在，则 limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：lim sin x1lim (1 1 )xa)1

3、b)lim (1 x) xex 0xx 0xx）无穷小代换：（ x0 ）5a)ex1 x（ ax 1 x ln a ）b)ln(1x) x（ log a (1 x) x）ln a第二章导数与微分（一）导数1、定义： f (x0 ) limf ( x)f ( x0 )xx0xx0左导数： f( x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0右导数： f( x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函数 f (x) 在 x0 点可导f( x0 ) f ( x0 )2、几何意义： f ( x0 ) 为曲线 yf ( x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率。3、

4、可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法。5、高阶导数1）d 2 yddy定义： dx2dxdxn2）Leibniz 公式： uv (n )Cnk u( k )v(n k )k0（二） 微分1） 定义： y f ( x0x)f (x0 ) A xo(x) ，其中 A 与 x无关。2） 可微与可导的关系：可微可导，且 dyf(x0 ) x f ( x0 )dx第三章 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x

5、)C a,b ； 2） f ( x)D(a,b) ；3 ） f (a)f (b) ；则(a, b), 使f ()0 .2、 Lagrange中值定理：若函数 f (x) 满足：1） f ( x)C a, b ； 2） f ( x)D (a, b) ；则( a, b), 使 f (b)f (a)f ( )(b a) .3、 Cauchy 中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：1） f ( x), F ( x) Ca,b ； 2 ） f (x), F ( x) D (a, b) ；3）F ( x)0, x(a, b)则(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)

6、F ()（二） 洛必达法则（三） Taylor公式n 阶 Taylor 公式：在 x0 与x之间 .当0时，成为阶麦克劳林公式：在 0与x之间 .常见函数的麦克劳林公式：1） ex1 x1 x21 xnexn 12!n!(n 1)!在 0与 x 之间，x；2）sin x xx3x5x7(1) m 1x2m 1sin( 2m1)2x2 m 13!5!7!(2m1)!(2m 1)!在 0 与 x 之间，x；3） cosx1x2x4x6( 1)m 1x2m2cos2m2x2 m2!4!6!( 2m2)!( 2m)!在 0 与 x 之间，x；4） ln(1x)xx2x3x4(1)n 1 xn(n( 1

7、)n xn 1n 1234n1)(1)在 0与 x 之间，1x15）(1 x)1x(1) x2(1)(2) x3(1)(n 1) xn2!3!n!( 1)(n)(1) n 1n 1(n1)!x，在 0 与 x 之间，1x 1.（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：f (x)Ca, b，f ( x)D(a,b) ，则若f (x)0 ，则f (x) 单调增加；则若f (x)0 ，则f (x) 单调减少。2、 极值及其判定定理：a)必要条件： f (x) 在 x0 可导，若 x0 为 f ( x) 的极值点，则f ( x0 )0.b)第一充分条件：f (x) 在 x0 的邻域内可导，且 f (x0

8、 ) 0 ，则若当 x x0 时， f( x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极大值点；若当 xx0 时， f ( x)0 ，当 x x0 时， f(x) 0 ，则x0 为极小值点；若在 x0 的两侧 f ( x) 不变号，则 x0 不是极值点。c)第二充分条件： f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f ( x0 )0 ，f ( x0 )0，则若 f( x0 )0 ，则 x0 为极大值点；若 f ( x0 )0 ，则 x0 为极小值点。3、 凹凸性及其判断，拐点1） f (x) 在区间 I上连续，若 x1, x2I , f ( x1 x2 )f ( x1 )f (x2 )

9、 ，则称22f ( x) 在区间 I上的图形是凹的；若x1 , x2 I ,f ( x1x2 )f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f ( x) 在区间 I 上的图形是22凸的。2）判定定理：f (x) 在 a, b 上连续，在(a, b)上有一阶、二阶导数，则a)若x(a,b), f( x)0 ,则f ( x)在a, b上的图形是凹的；b) 若 x(a,b), f (x) 0 , 则 f ( x) 在 a, b 上的图形是凸的。3）拐点：设 yf (x) 在区间 I 上连续， x0 是 f ( x) 的内点，如果曲线y f ( x) 经过点 ( x0 , f ( x0 ) 时，曲线的凹

10、凸性改变了，则称点( x0 , f (x0 ) 为曲线的拐点。（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）。（六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性。（七） 渐近线1、 铅直渐近线： lim f ( x)，则 xa 为一条铅直渐近线；xa2、 水平渐近线： lim f (x)b ，则 yb 为一条水平渐近线；x3、 斜渐近线： limf ( x)k lim f ( x)kx b 存在，则 ykx b 为xxx一条斜渐近线。（八） 图形描绘步骤 :1. 确定函数 y f (x

11、) 的定义域，并考察其对称性及周期性；2. 求 f (x), f ( x) 并求出 f ( x) 及 f (x) 为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .第四章不定积分（一） 概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数 F (x) 可导，且 F (x)f ( x) ，则F (x) 称为 f (x) 的一个原函数。2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。3、基本积分表（ P188，13 个公式）；4、性质（线性性）。（二）换元

12、积分法1、 第一类换元法（凑微分）：f ( x)( x)dxf (u)duu( x )2、 第二类换元法 （变量代换）： f ( x)dxf (t )(t )dtt1( x)（三）分部积分法： udv uvvdu（四）有理函数积分1 、“拆”；2 、变量代换（三角代换、倒代换等）。第五章 定积分（一） 概念与性质：bn1、定义：f ( x)dxlimf (i)xa0i 1i2、性质：（ 7 条）性质 7 （积分中值定理）函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，则 a, b ，bbf ( )af ( x ) dx f ( )( b a)（平均值：使 af ( x) dx）ba（二） 微积分基

13、本公式（ NL 公式）变上限积分：设 ( x)x( x)f ( x)1、f (t) dt，则ad( x)f ( x)( x)f ( x) ( x)推广：f (t)dtdx( x)2、NL 公式：若 F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则bF (b) F ( a)f ( x) dxa（三） 换元法和分部积分1、bf ( x) dxf (t )(t )dt换元法： abuv abb2、分部积分法：udvvduaa（四） 反常积分1、无穷积分：2、瑕积分：bbf ( x ) dxlimf ( x ) dx （a 为瑕点）at atbtf ( x ) dxlimf ( x ) dx （b 为瑕点

14、）at ba两个重要的反常积分：dx,p1a1p1)axp, p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a (xa)qa (bx) q,q1第六章定积分的应用（一） 平面图形的面积b1、 直角坐标： A f2 ( x )f1 ( x ) dxa2、 极坐标： A122 ()12 () d2（二） 体积1、 旋转体体积：a) 曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积： V xb2 ( x ) dxfab) 曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积： Vyb2 xf ( x) dx（柱壳法）a2、 平行

15、截面面积已知的立体： VbA( x) dxa（三） 弧长1、 直角坐标： sb1f( x)2 dxa2、 参数方程： s(t )2( t )2 dt3、 极坐标： s( ) 2( ) 2 d第七章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。（二） 变量可分离的方程g( y)dyf ( x)dx ，两边积分g( y)dyf ( x)dx（三） 齐次型方程dy(

16、y ) ，设 uydxxx或dx( x ) ，设 vxdyyy，则，则dyux dudxdx ；dxvy dvdydy（四） 一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：P( x)dxQ(x)eP( x) dxy edx C（五） 可降阶的高阶微分方程1、 y( n )f ( x) ，两边积分 n 次；2、3、yf (x, y ) （不显含有 y ），令 yp ，则 yp ；yf ( y, y ) （不显含有 x ），令 yp ，则 yp dpdy（六）线性微分方程解的结构1、 y1, y2 是齐次线性方程的解，则 C1 y1C2 y2 也是；2、 y1, y2 是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 y C1 y1 C2 y2 y* 为非齐次方程的通解，其中 y , y为对应齐次12方程的线性无关的解，y* 非齐次方程的特解。（七）常系