定积分的应用94125

1、1定积分的应用定积分的应用定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 badxxfA)(

2、 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长

3、弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为为线线密密度度x (7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF232

4、2)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体体积积及及表表面面积积体体它它绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转它它的的弧弧长长它它所所围围成成的的面面积积求求星星形形线线已已知知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性

5、,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再将将满满池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半径径为为以

6、以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时时水水池池内内水水的的体体积积为为为为的的球球缺缺的的体体积积即即水水深深故故半半球球内内高高为为的的立立体体轴轴旋旋转转而而成成圆圆绕绕因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时时已已注注水水的的时时间间为为又又设设水水深深,)(athV 则则有有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2

7、adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功约约为为所所需需降降到到抽抽水水时时使使水水位位从从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素oxyRh故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3在第一象限内求曲线在第一象限内

8、求曲线 上的一点，上的一点，12 xy使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积。图形面积为最小，并求此最小面积。解解 设要求的点为（设要求的点为（x1，y1），）， y1= - x12+1 ,.2|11xyxx 过（过（x1，y1）的切线方程为）的切线方程为)(2111xxxyy 令令x=0,y=0得切线的截距得切线的截距 :, 1210 xy121021xxx 于是，所求面积为于是，所求面积为.32)12(41)1(21)(1131210001 xxxdxxyxxS, 0)1)(13(41)123(41)(:11112

9、1211 xxxxxxxS令令311 x, 0)26(41)(3113113111 xxxxxS又又面面积积取取最最小小值值处处所所以以在在,311 x)332(9231 S唯一驻点唯一驻点:解解 ,21xy xy 在点在点),(tt处的切线处的切线l方程为方程为)(21txtty 即即221txty 所围面积所围面积3241221)(20 ttdtttxttS令令, 02121)(2123 tttS得得t=1。又又, 0)1( S故故t=1时，时，S 取最小值。此时取最小值。此时l的方程为的方程为212 xy 求曲线求曲线xy 的一条切线的一条切线l，使该曲线与切线，使该曲线与切线 l及直线

10、及直线x=0， x=2所围成的图形面积最小。所围成的图形面积最小。故此切线方程为故此切线方程为22100 xyxx)(2212000 xxxxy 又因该切线过点又因该切线过点P（1，0），所以），所以)1(21 xy)(2212000 xxxx 即即30 x从而，切线方程为从而，切线方程为因此，所求旋转体的体积因此，所求旋转体的体积6)2()1(4132231 dxxdxxV解解 设所作切线与抛物线相切于点设所作切线与抛物线相切于点 ，因，因)2,(00 xx 过点过点P(1,0)作抛物线作抛物线2 xy的切线，该切线与上述抛物的切线，该切线与上述抛物线及线及x轴围成一平面图形，求此图形绕轴围

11、成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。轴旋转一周所成的体积。1. 求曲线求曲线 所围的面积所围的面积. 2cossin22rr及及1)求交点求交点. 6,31tan2cos)sin2(22 2)算面积算面积. 23162cos21)sin2(21 24/6/6/02 ddA2. 设平面区域设平面区域D由由x=0, x=1, y=a(oa 0 是常数。是常数。解解 ,sin)( ar dadadrrdS|2cos|2)sin()cos1()(2222由对称性得由对称性得aadaS82sin82cos2200 8. 半径为半径为R的球沉入水中的球沉入水中,求得上部与水面相切求得上部与水面

12、相切,球的比重球的比重与水的相同与水的相同, 问问: 将球从水中取出需做多少功将球从水中取出需做多少功?解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 在小区间在小区间y, y+ y上上, oxy对应球体的一小薄片对应球体的一小薄片, 要提高要提高2R高度高度, 水上的行程水上的行程: R+y, 则则 dw=g (R+y) x2(y)dy 1 RRdyyRyRgw)(2242234)(gRdyyRgRRR xaaxbxaxybaP)2(2)38. 69922 （,11 aax两两抛抛物物线线的的交交点点. 1, 010, 01 aaxa即即dxxxxxxasx)2(2)(2021 23)1(6aa 0

13、)03(0)03(. 3, 0)1(6)3(32 ssaaaas，且且.893min sa时时补充补充.210;2,2)(49. 610 bsasbbadxbaxs)(33)()(33103102102bbaabaxadxbaxdxyv )3(22baba ; 00)22232()232( aasaasabbbabav0)21132( v., 02minsvsba 时时， 设函数设函数f(x)在区间在区间a，b上连续，且在上连续，且在(a,b)内有内有. 0)( xf证明在证明在(a,b)内存在唯一的内存在唯一的，使曲线，使曲线 y=f(x)与两直线与两直线 y=f()x=a所围平面图形面积所

14、围平面图形面积S1是曲线是曲线y=f(x)与两直线与两直线y=f()，x=b所围平面图形面积所围平面图形面积S2的的3倍。倍。证证 (存在性存在性)在在a,b上任取一点上任取一点t，令，令dxtfxfdxxftftFbtta)()(3)()()( ),)()( 3)()(tbtfdxxfdxxfattfbtta 则则F(t)在在a,b上连续上连续, 又又, 0)( xf故故f(x)在在a，b上单调增加上单调增加(a,b)内取定点内取定点C，则有，则有6.40由介质定理知，在由介质定理知，在(a,b)内存在内存在，使，使F( )=0，即，即213SS 唯一性唯一性 因因, 0)(3)()( tb

15、attftF故故F(t)在（在（a，b）内单调增加，）内单调增加，因此（因此（a，b）内只有一个）内只有一个，使，使213SS 0)()(3)( dxafxfaFba0)()()( dxxfbfbFbaxxxxPx20sectansincossintanlim)19. 5(78 xxxxxxtansinsintanlimtansinsintanlim00 1tansinlim0 xxxxetePxtxx 0222)1(lim)3(19. 578 （212)1(lim)1(lim222222022 xxxxxxtxexeexxeettxP 19)53. 5(88令令）（ 11ln)(211 td

16、ttFdttt 2111ln 2)1ln()(22 F一、一、 选择题：选择题：1 1、 曲线曲线xyln 与直线与直线ex1 ，ex 及及0 y所围成所围成 的区域的面积的区域的面积 S（ ） ；） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .2 2、曲曲线线 sin2 r与与 2cos2 r所所围围图图形形公公共共部部分分 的的面面积积 S（ ） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .测测 验验 题题3 3、曲曲线线,cos3 ax 3sinay 所所围围图图形形的的面面

17、积积 S（ ） ； （A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx与旋转锥面与旋转锥面2228zyx 之之 间包含间包含z轴的部分的体积轴的部分的体积 V( )( )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .5 5、用一平面截半、用一平面截半r径为径为的球，设截得的部分球体高的球，设截得的部分球体高 为为)20(rhh 体体V积为积为，则，则 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D

18、 D）)3(42hrh . . 6 6、曲线、曲线422 xxy上点上点)4,0(0M处的切线处的切线 TM0 与曲线与曲线)1(22 xy所围图形的面积所围图形的面积 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （D D）421. .7 7、抛物线、抛物线pxy22 )0( p自点自点)0,0(至点至点),2(pp 的一段曲线弧长的一段曲线弧长L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .8 8、曲线、曲线xhry ，hx 0，轴轴绕绕 x旋转所得旋转体旋转所得旋转体 的侧面积的侧面积 S（ ） ；） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二二、在在区区间间 e,1内内求求0 x一点一点，使使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所所围围成成两两块块面面积积之之和和为为最最小小 . .三三 、设设曲曲边边梯梯形形是是由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf，轴轴x与